III. — Expérimenta Crucis
A. Équations du mouvement d'une particule dans un champ de gravitation.
Le lecteur qui a suivi attentivement les considérations qui ouvrent le présent chapitre écrira tout de suite ces équations sous la forme
En se référant aux calculs précédents on comprendra la manière de procéder qui de-
meure la même. En fin de compte on aboutit aux équations
2 ,2m. hr
avec r -r = '*>
où A et c sont des constantes d'intégration.
Comparons ces équations aux équations newtoniennes du mouvement elliptique
dr\2 , „2/<M2 tn , 2m
avec
dtj \dtj a r
dt
On voit que ds représentant le temps propre de la particule, les nouvelles équations ne se distinguent des anciennes que par l'addition
d'un terme supplémentaire en— •
B. Le mouvement du périhélie de Mercure.
On n'a pu expliquer jusqu'à Einstein ce déplacement. Suivant une méthode facile et qui avait fait ses preuves, Le Verrier l'avait attribué à une certaine planète qui fut par contumace baptisée Vulcain ; mais Vulcain n'a jamais paru. L'ingéniosité des astronomes trouve là une excellente matière à exercices. Tisserand proposa l'addition d'un terme additionnel, d'autres envisagèrent le changement du coefficient delà for-
mule de Newton. Aucune de ces modifications n'a donné de chiffres concordant avec la réalité. Il était donc particulièrement intéressant de voir si la nouvelle théorie pouvait, sans hypothèse complémentaire, fournir la solution du problème, autrement dit si le calcul correct, conduit d'après les nouvelles formules générales, et, pour les diverses planètes, delà même façon, donnait un chiffre correspondant aux observations. Une application numérique montre qu'on peut sans erreur appréciable écrire l'équation du mouvement
rdf/ r~ r r
ou, en posant u = — -,
r du\~ , o , c2 — i , 2 mu
(du\
\dJ
-r- imii
dvj kl lil
Résolvant cette équation différentielle par rapport à u et négligeant h2 u* qui est de l'ordre
m w = ^-,[i-t-ecos(<p — «)].
Portant cette valeur de u dans l'équation précédente et recommençant on obtient ainsi, par approximations successives, la valeur
u = — [i -}-ecos(<p — w — So))].
2o4 LES THÉORIES D EINSTEIN
On voit donc que, tandis que la planète effectue une révolution, son périhélie avance d'une fraction de révolution égale à
8o> 3m2 1 2TC2a2
où T est la période de la planète et c la vitesse de la lumière.
L'application de cette formule a donné le résultat que l'on connaît. Comment elle a été établie, le lecteur le sait maintenant et que la préoccupation du mouvement de Mercure n'a été pour rien dans le calcul. La force probante de cette concordance en est singulièrement accrue.
C. Déviation d'un rayon lumineux. — En l'absence d'un champ de gravitation et la vitesse de la lumière étant prise pour unité, nous pouvons écrire l'équation fondamentale sous la forme
(tHINS)'
Mais ds* =z — dx% — dy> — dzl -J- dâ, donc ds2 = o.
Et, d'après le principe de l'équivalence, cette équation invariante doit aussi convenir dans le champ de gravitation.
Ici nous pouvons expliquer ces faits paradoxaux que nous avons déjà notés dans les deux premiers chapitres au sujet d'un observateur
voyageant avec la vitesse de la lumière. Pour celui-ci ou plutôt pour les axes entraînés avec cette vitesse et auxquels il est rattaché, les déplacements élémentaires sont nuls, autrement dit dx = dy = dz = o. En sorte que ds = d(=o. Il n'y aura donc pour cet observateur aucun déplacement dans le temps. On peut théoriquement jrégler le décalage de sa vitesse sur celle de la lumière de façon à régler également son vieillissement par rapport au temps terrestre.
Revenons à nos rayons lumineux.
Portons ds = o dans l'expression de la loi de gravitation. Le mouvement dans un plan sera donné par
Et si v est la vitesse de la lumière dans une direction faisant un angle V avec le vecteur radial
v2 [y-1 cos2 V H- sin2 V] = y, d'où t> = y[i — (i — y)sin2V]-?.
Faisons un changement de coordonnées = rx -h m et négligeons les carrés de — •
Il vient r = r\ fi +2 -1 =t~Vï.
Et, en substituant dans (i)
â)^ '{di) '
en sorte que, pour ces coordonnées,
v = y = i = sensiblement i — —
r rx
dans toutes les directions.
Quelle est la trajectoire de ce rayon lumineux dont nous connaissons maintenant la vitesse? Elle est, d'après Huyghens, définie par l'équation
pp — constante (2)
où ijl est l'indice de réfraction et p la longueur de la perpendiculaire menée du centre de l'onde sur la tangente.
Or l'indice de réfraction a pour valeur
1 " . im
ix= — = H
d'où, approximativement,
Ces deux équations (2) et (3) définissent le mouvement d'une particule avec une vitesse ^ sous l'attraction d'une masse 2m l'orbite étant une hyperbole d'axe km.
L'angle des asymptotes est— ^L=z , soit, ap-
proximativement — • (R distance du foyer au
sommet.)
Ainsi un rayon lumineux allant de — oo à -f- oo et passant à une distance R d'une particule de masse m subit une déviation
km
Pour une étoile paraissant toucher le limbe du soleil a = i'!"jlx.
Ainsi que je l'ai déjà indiqué, l'observation a confirmé ce résultat.
On peut être tenté de l'attribuer au fait que la masse électromagnétique est soumise à la gravitation, mais un calcul très simple prouve que cette hypothèse seule ne donnerait que la moitié de la déviation constatée.
D. Déplacement des lignes du spectre. — Considérons un atome vibrant en un champ de gravitation. C'est une horloge naturelle qui doit nous donner une mesure invariable de l'intervalle ds ; c'est-à-dire que l'intervalle ds correspondant à une vibration de l'atome est toujours le même. Laissons l'atome momentanément au repos dans notre système de coordonnées (bien que sujet à l'accélération du champ). Alors on a
dx = dy = ds = o
et, d'après ce que nous avons vu
Si alors dt et dt' sont les périodes de deux atomes semblables vibrant aux différentes parties d'un champ on aura
Si t se rapporte à un atome vibrant dans la photosphère du soleil
^f'-TT
Si t se rapporte à un atome vibrant dans un laboratoire terrestre
g'u = pratiquement i.
D'où -— =1 environ i -f- — =1,00000212.
dt R
Donc les atomes solaires vibrent plus lentement et leurs franges spectrales doivent être déplacées vers le rouge.
Le lecteur voudra bien se reporter à ce que nous avons dit au deuxième chapitre des expériences tentées sur ce sujet.
