trsrÉME ÉLECTROSTATIQUE

Il s'ensuit (^ue la quantité de chaleur dégagée est égale à ■s-C{V, — V,)* et à -TT-fT-- ("es résultats sont conformes aux expériences de Kiess, qui ont démontré que la quantité de chaleur dégagée par la décharge d'une batterie est proportionnelle ou carré de la charge ainsi qu'au carré de la distance explosive.

48. Cycles réversibles. — Lignes isopotentielles.— Lignes d'égales cbargea. — Xous allons maintenant étudier quelques cas de transformations d'énergie suivant des cycles réversibles.

Considérons deux rvsen'oirs électriques, c'est-à-dire deux corps de grandes capacités : l'un d'eux, par exemple, sera la terre; considérons un troisième corps de forme et de position variables, que l'on pourra successivement mettre en communication avec les deux réservoirs. Nous aurons, puisque le cycle est réversible :

iS = 'g'.

Supposons que la forme et la position du corps soient définies par une variable x. Portons en abscisses {fi^. 28) les valeurs de j^, en

Flg. .S.

ordonnées les valeurs correspondantes de V. Nous aurons ainsi une courbe décrite par le point représentatif de l'état du corps. Si le corps est mis en communication avec la terre, V est constant, la courbe est une droite parallèle h l'axe des x. La série Ae courbes iso/^o/e/i(ieHes est donc constituée par des droites parnl- IMçs à Ox.

Au lieu de faire varier x en laissant le corps en communication

KyERGIE ÉLECTHIQVE 67

avec lit Icnc, on pcul, penduiit ce temps, le laisser isole. CVst alors la chnrgc tjui demeure constante; le potentiel varie, et on obtient des courbes particulières nommées lignes tidùiùtUùjiies ou </e charge constante.

Cela posé, constituons un ejcle ferme au moyen de deux portions (l'isopotentiollesct de deux portions d'iidiabutiqucs; soit AB(IDun cycle ainsi conslïtué; il est réversible, car chacune de ses parties est réversible séparément. On voit qu'il est l'onalogue d'un cycle de (larnot.

A9. Exemples de cycles. — Électropbore. — On peut faire décrire un de ces cycles pur un électropbore. Soit un électro-

pbore ififf, 2'J: formé d'un gâteau de résine élcetrisé négativement, et d'un plateau conducteur supporté par un mancbc isolant. Nous prendrons comme paramètre variable la distance .r qui sépare bi surface supérieure du gâteau de la face inférieure du plateau, en supposant que ces surfaces restent toujours parallèles.

Supposons le plateau en communication avec la terre ; alors, j-= b,\ =U. 1,0 point figuratif est A Ifîg. .'«);.

Rapprochons le plateau du gâteau élcetrisé; j- diminue, et si nous avons soin de maintenir pendant ce temps la communication du plateau avec la terre, V reste constant. Donc le point A se meut de droite it gauche sur lu droite AV, i V, = 0\

68 SrSTEME ELECTSOSTATIQVE

Une fois iiu point B, supprimons la conimunicntion avec la terre; alors x = a, V augmente ; le point figuratif décrit donc une adiiibatique à mesure qu'on éloigne le plateau de nouveau, et nous avons la courbe HC ; cette adiabatîque va en montant, autrement dit, le potentiel augmente, car le plateau a une charge négtitive ; la dislanee r augmente : par conséquent les termes négatifs du potentiel diminuent; la courbe montera donc jusqu'au

Fig. 3^

moment où nous mettrons le plateau en communication avec le second corps au potentiel V,; ensuite, le potentiel demeurera constant ; nous aurons une droite V,CD parcourue de gauche à droite, et, si nous continuons ii éloigner le corps, nous arriverons ainsi il un point D.* Nous isolons alors le plateau et nous le rapprochons : le point décrit la courbe DA. La différence des travaux ainsi elTcclucs est le travail total '^; nous sommes dans un cas OÙ l'on a :

Le cycle parcouru étant réversible, nous pourrions le par en sens inverse ; nous aurions alors un travail moteur.

L'équation des courbes adiabatiqnes ou de charge constante s'obtient facilement si l'on admet que la charge du plateau mobile se réduit ii lu charge M accumulée sur sa face inférieure. On a, d'après la formule du condensateur plan :

VS

ÉyERGIf ÉLECTRIQIE 69

pour M = constante, V est proportionnel ii ,r ; ri'-i{Uiiliun précédente représente donc, pour chaque valeur de M. une droite qui passe par l'origine.

Si l'on tient compte, au contraire, de la charge accumulée sur le reste de la surface du plateau, il faut ajouter au second membre de l'équation précédente une fonction de .r, et les lignes adîabatiques cessent d'être des droites.

Au lieu du plateau d'un élcctrophore , on peut employer comme conducteur variable un corps déformahle (une sphère de

Fig. !..

layon variable, une bulle de savon que l'on peut goniler ou dégonfler). Soit j' le rayon de cette sphère et sa capacité. Les lignes isopoteutielles sont toujours des lignes droites parallèles il l'axe des .r. I.es lignes udiubatiques sont définies par l'équation :

équation qui représente une série d'hyperbcdns éqnihitères ayant pour paramètres les valeurs de M '/îf;. '.iV.

Supposons maintenant que lactipitcîlé du ccinductenr sur lequel on décharge le corps mobile ne soit pas infinie, que ce ne soit plus un réservoir, mais que le potentiel y iiii^nienle en même temps que la charge.

;o Sl'STEME ÉLECTROSTATIQUE

l'i'onuiis pour corps mobile, comme précédemineiil, un électiophorc : l'abscisse s fig. 32 , paramètre ^iirîable, représculci» comme plus Iiaut la distance du plateau au gâteau; elle variera entre deus limites, a et h.

lïapprochons le plateau en maintenant la coniniiinicatii)n avec

Fin, 1'.

la terre : le point fii^uratil' décrit ainsi la droite AB, Suppu- 5<ins que le corps que l'on charge soit une batterie de condensateurs : isulons-le et établissons la communîciition avec la batterie ; en soulevant le plateau, le potentiel croit, pour la niônic raison (]ue plus haut ; on aura donc une courbe lïC, jusqu'il l'éloignénient maximum, C. Arrivé ii ce point, supprimons la communication avec la batterie et abaissons le plateau; le point décrit alors une courbe CD; eu D rétablissons la communication avec

la tern

nous parcouront

alors le segment DB ; en B éloi-

gnons le plateau et isolons-le, nous parcourons une porlîci

E,\E«GIE fJLECTHlQLE 71

d'iidiabutiquo DD^; à piirtii- de D, nous recommencerons sur risopotcntiellc D^D',, le même cycle d'opérations; et ainsi de suite, en remontant de proche en proche jusqu'au puint K. L'expérience que nous venons de décrire est réversible : on peut réaliser, avec un clectrophorc dont le plateau est équilibré à

l'aide d'un contrepoids et se relie par une bielle a un petit volant, un véritable moteur éleitros(aliqiie[/if!. 33).

50. Calcul des forces et des couples en fonction de l'énergie. — Soientrfj-p (/j-,,rfj',... des déplacements inTiniment petits des pointsd'un système électrisé. Soient/j,^j,^,lesforces mécaniques extérieures qui, appliquées en ces points, et comptées suivant les déplacements dj\, etc., sont capables de faire équilibre aux forces électrostatiques. On a

-d'S=f,d.,;+fjl.,, + ..

par conséquent

'* 0.f, " Oa-,

rfs as

etc.

On obtient donc l'expression des forces en calculant les dérivées partielles de l'énergie.

On exprime d'une manière analogue les couples dus aux actions électrostatiques. Désignons par f, l et d% une force, un

71 SrSTÈME ÉLECTROSTATIQUE

bras de levier et un déplacement angulaire infiniment petit autour de l'axe de rotation correspondant. On a : — tfS^flJn (fig. 34), ou — <F^=^=M(fyL, M étant le moment fl. D'où

■^ — ,1a (^omrne première application de ces théorèmes, calculons

l'attraction qui s'exerce entre les plateaux parallèles d'un condensateur plan. On a :

d'où, en dérivant par rapport à e

^, iV — v-vs

Comme deuxième application, nous allons calculer le couple moteur et la sensibilité de Y éleclromèlre à i/uaclranls.

51. Èlectromètre à quadrants de Lord Kelvin [fig. 35). — L'clectromètre à quadrants de Lord Kelvin se compose essentiellement d'une boîte plate divisée en quatre secteurs égaux, isolés les uns des autres. A l'intérieur de cette boite peut se mouvoir, dans un plan parallèle à celui de ses faces, une aiguille très légère, ayant la forme d'un double secteur circulaire {^(ig. 35) (et non pas en forme de 8, comme on le dit généralement).

Pour calculer la sensibilité de l'électrométre, remarquons que le momeut du couple antagoniste est fonction de l'angle de rotation a..

Nous pourrons donc, en vertu de la formule (1), arriver k cal-

culer I

J-.\ERaiE ÉLECTRtQVE ;3

voleur de ce couple résultant pnr une différentîation.

Les secteurs opposés par le sommet communiquent métalliquement entre eux et sont isolés des deux autres.

Pour étudier l'instrument, remarquons qu'il est symétrique

autour du centre et qu'il nous suffît d'en étudier la moitié j nous te supposerons donc ramené à sa plus simple expression : il se réduira alors [fig. 36) îi une aiguille taillée en quart de cercle, OABCD, mobile autour du point O entre deux quadrants (1) et (2* ;

le quadrant (1) est mis eu communication avec une source au potentiel V,; le quadrant (2) avec une source au potentiel V,. Quant à l'aiguille, clic est mise, par rintermcdiaire de sa suspension qui est métallique, en communication avec une source au potentiel V,. L'aiguille est alors attirée par l'un des quadrants et repoussce par l'autre.

Calculons l'énergie du coiidensutcur plan formé par l'aiguille et une des faces des quadrants.

7! SrSTKME ÈLECTROSTATIQIE

Soit S lii surface AOB <Ic t'aiguille comprise sous le quadrant (I); l'éuergic correspondanle sera :

a étant lu distance qui sépare l'aiguille de la face du quadrant.

On aura de même pour le second quadrant, en désignant par S' la surface 0(ID de l'aiguille cumprisc sous le second quadrant :

en supposant le potentiel Vg assez grand pour <{u'il soit toujours supérieur aux deux potentiels V, et V,.

Nous avons donc :

Pour avoir le moment, il faut exprimer l'énergie S en fonction de l'angle a; S varie avec a, quand l'aiguille tourne de d^. La quantité dont croit S est égale a celle dont décroît d S'.

Xous aurons donc :

f/S = — 1. RV«

Remplaçant S et S' par ces valeurs (/S et rfS' dans l'expression de d&, et divisant pur (fx, nous aurons :

ÉXERCIK ÉLECTRIQUE 7Î

Si V, est tri's gi'iiiiil roliitivcmciit il V, et ii V,, on peut négliger V, et V, vis-ii-vi» Je V^; on aura donc .ippioximativcmcnt :

^„-K-V.(V,-Vj

Cette expression nous montre que pour augmenter la sensibilité de l'instrument, il faut augmenter le rayon de l'aiguille, R , uccroitre le potentiel V» de l'aiguille, et diminuer la distance a qui sépare l'uiguille des quadrants.

Pratiquement, on ne peut pas faire croître indéfiniment le rapport — ^ . Il faut d'abord éviter que l'étincelle n'cclute

entre l'aiguille et les quadrants. En outre l'aiguille ne peut pas être construite exactement plane ni maintenue parallèle aux faces des quadrants. Il y a toujours de petites dyssimétries de construction, et, par suite, des forces perturbatrices dues ii des attractions électrostatiques; ces perturbations croissent rapidc-

ment avec le rapport — , et peuvent arriver u diminuer la sensibilité et la précision de l'instrument.

On augmente hi sensibilité de l'instrument en donnant » l'aiguille la forme d'un double secteur, et en employant comme quadrants fixes la boite circulaire plate représentée [fiji. 35], afin de faire agir sur l'aiguille les deux faces de chaque quart de la boite circulaire.

Dans la théorie donnée plus haut, on suppose que la densité électrique est uniforme, tant sur l'aiguïHe que sur les faces opposées des quadrants. Il n'en est rien, et la variation de densité est surtout notable le long des bords de l'aiguille.

Mais il est facile de voir que l'accroissement de charge qui a lieu le long des bords rcctilignes de l'aiguille n'introduit dans la valeur de S qu'un terme indépendant de oc et qui disparait dans la difTérentiation. Quant ïi la perturbation qui a lieu le long du bord circulaire de l'aiguille, elle n'introduit qu'un terme proportionnel il U; ce qui en revient à corriger la valeur de R, et ne change pas la forme de l'expression de M.

52. Conatamce de Vg. — Pour assurer la constance du potentiel V, auquel est portée l'aiguille, Lord Kelvin emploie les mêmes

;6 srsrksiE électkostatiqle

moyens que ilaiis l'clcctromètre absolu ; rînstrunient tout piitici' est placé dans une cage métallique contenant une jauge servant à constater la constance de V«. Quand la jauge accuse une variation de V«, on corrige cette variation avec un Reproducteur lôiKUtique il celui de rélectromètre absolu.

Pour observer commodément les petites variations de l'instrument, l'aiguille porte un miroir; un ravon lumineux tombe sur ce miroir et va se rétléchir en faisant une tache lumineuse sur un<' règle graduée. Quand le miroir tourne d'un angle t, le rayon réiiéchi tourne d'un angle 2 a, et les petits déplacements sont facilement accusés sur la règle.

On peut faire varier ii volonté la sensibilité de l'instrument : pour cela on peut employer deux procédés :

1° On peut faire varier la valeur du potentiel V^,

2° On peut faire varier la sensibilité de la torsion ; ce procédé se trouve plus facilement applicable dans la pratique, au moye:i du système de suspension A\W suspension bifilaire. Dans ce système si l'on veut faire varier la sensibilité de la torsion, ou rapprocbc les deux fils, qui ont d'ailleurs toujours la même tension, car ils passent sur une poulie très petite placée sur le supportde l'appareil .

La sensibilité pouvant être réglée à volonté, il faut encore pouvoir régler l'instrument lut-mi^me :

Pour cela, l'un des quadrants est mobile au moyen d'une vis à tète divisée. Au moyen de tous ces dispositifs, on arrive à une sensibilité bien supérieure îi celle de l'électromètrc absolu di' l.ord Kelvin.

M. Mascart a cbercbé à simplifier l'électromètre ii quadrants, tout en lui conservant ses qualités essentielles, de façon il en faire un instrument de mesures pratiques.

11 a substitué ii la suspension bifilaire un simple iil de torsion : le replenisher et la jau((e sont supprimés. Ils sont remplacés par une pile de IIH) :i 400 éléments dont un des pôles est à la terre.

Tout l'Instrument est de plus enveloppé dans une boite métallique jouant le rôle d'écran électrique ; une petite ouverture laisse passei'un rayon lumineux tombant sur le miroir mobile.

53. DimenaionB des unités électrostatiques absolues. — .\pi-ès avoir ublcnu l'expression numérique d'une grandeur éleo-

tjyEBGIE ÉLECTRIQVE 77

li'tque en l'uticliun des unités fondnnipntul<>s ('. G. S, on poul vouloir transformer l'expression obtenue, c'est-à-dire trouver sn Videur en fonction d'un autre système d'unités fondu men tilles, ou inversement. 11 fout donc connnitre le module de tritnsformation ; iiutremcnt dit, les formules de dimension [voir § 5) des unitôs élcctrostiitiqucs absolues.

La quantité d'électricité Q est hv seule gniudeur que l'on définisse directement dans le système électrostatique. Les uutres grandeurs électriques sont définies en fonction de Q. Le potentiel V est le quotient de Q pur une distiincc, c'est-ii-dîrc pur une longueur; on a donc V-^-?-. De même, l'intensité d'un courant est la quantité d'électricité qui passe par unité de temps; c'est le quotient de Q par le temps.

La résistance a été définie comme le quotient de la difTérence de potentiel pur l'intensité; lu capacité comme le quotient de la charge pur le potentiel. On a donc les relations

Or Q est défini par cette condition que le produit de deux quantités d'électricité divisé par le carré de la distance soit égal à lu force répulsive F. dette équation de définition est de la forme ^

on a donc Q=;l:Lv'F pour formule de dimension de Q. Les dimensions des unités dérivées V, 1, R, i'. se déduisent de ce résultat- On peut laisser en évidence le module F de la force, ML T

ou bien remplacer ce module par sa valeur -rp-- On a ainsi le

tableau suivant :

Quantité d'électricité Q = L/F=M~ LTT"'

Potentiel V = V'^F^M T L T^ T"'

Intensité I = L /FT-' = M "T L T T»

Résistance R = TL~'

Capacité C ^=: L.

-s srSTÈME ÈLECTROSTATIQLE

La résistance spécifique f d'une su))stance est la lésistunc-iiriiiie maRsc cubique de cette substance ayant l'unité de longueur pour côté. Si le conducteur employé, au lieu d'être ctibique, est un cylindre de secliuii s et de lungucur /, on a pour sa résistance

et pour l'orinule de dimensions, R-='iL~' ou ^;.^LIl. Ou u vu ([ueR=r^TL~', I,a formule de dimensions de i est done, en unités électrostatiques :

5i. Emploi des formules de dimenaions. Critérium de 1& simplicité d'une méthode. — 1. es formules de dimensions donnent la valeur du module de transfurmatîon pour un résultat numérique obtenu en ftmction dos modules <les unités fondamentales. Ainsi l'on u pour lu capacité C^L; cela veut dire qu'il faut transformer l'expression numérique d'une capacité comme <in le ferait ptmr l'expression numérique d'une longueur, lorsqu'on change l'unité de longueur.

Ces formules ont encore une autre utilité : elles indiquent de (]uelles unités fondamentales dépend une mesure électrique et aussi de quelles unités elle ne dépend pas.

Ainsi on n Cii=L; il en résulte qu'on peut réduire la mesure d'une capacité à des mesures de longueur : les unités de temps, etc., qui ne figurent pas dans la formule n'interviennent pas dans la détermination, ou bien les grandeurs correspondantes n'interviennent que par leurs rapports.

De même on a trouvé V^=V'"F\ U est donc possible de mesurer un potentiel en mesurant seulement une foive, et sans que l'on ait à s'occuper de l'unité de longueur. Kt en effet on a vu que le potentiel communiqué a un électrométre spbérique a pour valeur

F étant la force répulsive qui s'exerce entre 1rs deux hcniisplières; le rayon de la sphère n'intervient pas.

A-,V£flG/jr ÉLECTRIQUE :<)

t-nc-iiro, si l'on ompluie rélcotroiiii-tie ubsulu de

Loid Kelvi

Les langueurs u'iiitpi-vicnucut que par leurs rtipports ; Ir <piutient — j- ne dépend pas du choix de l'unité de longueur; deux électrouiètres géoniétrii|iionieut semblables ont 1» même constante.

Considérons réijuation de dimension p=:T. Cette équation exprime que l'expression numérique de a ne dépend que du ehuix de l'unité de temps. La résistance spécifique d'une substance quelconque — le mercure, par exemple — est une Traction de l'unité de temps employée. Ainsi, pour le mercure, ^3^=1,0688.10 — " secondes. Invcrscnicnt, la seconde est égale il 9,3.10" fois 3. On obtient donc lu seconde, qui est une unité arbitrairement choisie, en (onction de a qui est une constante spécifique, comme ou le ferait en fonction d'un intervalle de temps. On peut donc considérer o comme une unité almoliie de temps, au môme titre que la durée de vibration des rayons rouges émis par la vapeur de cadmium ou de mercure.

55- Application d'une formale de dimensions à la mesure absolue du temps. — \uus .allons démontrer que l'on peut prendre la constante spécifique a comme unité de temps, et qu'il est possible de réaliser un appareil chronuniétrique fondé sur ce principe.

Pour mesurer une résistance H en unités électrostatiques

absolues, on emploie le dispositif suivant. Kiitre les pôles d'une

pile présentant la différence de potentiel V, un intercale deux

circuits parallèles (1) et (2J. Le circuit (1) contient la résistance

R; il est donc parcouru pur un courant d'intensité constante

I =-,;-■ Le circuit (2) contient un condensateur de capacité C;

il contient en outre un commutateur tournant, animé d'une vitesse de rotation uniforme, que l'on peut graduer. Ce commutateur charge et décharge le condensateur à des intervalles de temps réguliers H. Les circuits contiennent les deux bobines d'un

ttu SrSTEME ÉLECTROSTATIQL E

giil van uni être difTérenliel. On règle la vitesse de rotation et l'intervulle de temps 4 de manière que raignille du galvanomëlre reste au zéro. Il faut pour l'équilibrer que les quantités d'électricité qui traversent les deux circuits pendant le même temps soient égales. Pendant le temps la quantité d'électricité qui traverse le circuit (1) est 1 & ^ — 0; pendant le même temps, le circuit (2) est parcouru par une décharge du condensateur, c'està-dire par la quantité d'électricité VC. Il faut donc pour l'équilibrer que -^ = VC ; en supprimant le facteur V, l'équation d'équilibre est donc

6 = CR. (i;

Le condensateur C est formé de deux gl.-ices planes argentées parallèles, de surface S, et séparées par un petit intervalle e. On obtient avec précision l'intervalle e en employant une argenture transparente, et en produisant entre les surfaces en regard le phénomène des franges de Fizcau. On a donc

d'autre part

/étant la longueur, s la

section de la résistance employée. D'où

en substituant dans (1)

-.=-?ëf-

Le facteur de ,3 est connu : c'est un nombre abstrait, indépendant en particulier du choix de l'unité de longueur, car il ne contient que le rapport de deux longueurs et le rapport de deux surfaces. Le temps 9 est donc un multiple de lu constante spécifique p.

Supposons d'abord, et pour fixer les idées, que 6 soît d'autre part mesuré en fonction de la seconde : l'équation (2) donne dès lors le rapport de la seconde à js. Si p se rapporte au mercure, on trouve ainsi que 1 seconde vaut 9,3 X 10" fois p- La constante f

ÊlfEBGtE ÉLECTRIQUE %t

est donc une unité avec laquelle on peut exprimer la seconde; on peut de même exprimer en fonction de p tout autre intervalle (le temps; p est une unité absolue, car elle ne dépend d'aucune convention ; c'est une constante spécilique qui définit un intervalle de temps.

Il peut paraître singulier, au premier abord, qu'une résistance spécifique puisse être considérée comme un intervalle de temps. Mais il faut remarquer que la résistance d'un conducteur est la propriété qu'il possède de ralentir la décharge, de faire durer le passage de chaque unité d'électricité pendant un temps plus ou moins long. C'est le point de vue oii se plaçait Riess, qui, à une époque où l'on ne savuit pas mesurer les résistances, les mesurait néanmoins en tant que durées imposées à la décharge. A ce point de vue, l'appareil décrit plus haut est une sorte de clepsydre à électricité : clepsydre absolue, parce que sn constante se trouve être une constante spécilïque.

Le commutateur tournant décrit plus haut constitue un chronomètre absolu. D'abord, sa vitesse étant réglée de manière à maintenir l'uiguille au zéro, cette aiguille dévie soit ïi droite, soit h gauche, dès que la vitesse varie si peu que ce soit par excès ou par défaut. L'appareil se contrôle donc lui-même, et cela avec une extrême précision, qui n'est égalée par aucune autre méthode: les méthodes des coïncidences, du diapason inscripteur et la méthode stroboscoptque sont loin d'avoir la même sensibilité (') Hn montant sur Taxe tournant une minuterie, on peut lire comme sur une horloge des intervalles de temps quelconques. Enfin, la constante de l'appareil est connue par construction. Le nombre de touches conductrices qui déchargent le condensateur étant de p sur la circonférence, chaque tour de l'axe dure/) — unités de temps absolues.

(') L'eipëriencc en a iKi tit\\.e plusieurs fois au laboratoire des recherches de la Sorbonnc, notamment par M. Liinb et M. Guillet.

LippNATin. Uniléa.