CHAPITRE II Propriétés générales du potentiel
11. Propriétéa des dérivéeB premièrea. — Considérons un point électrique M [fig. 2), contcnitnt une charge m. Soit un
second point variable P ; appelons r la distance qui sépare 1 deux points. Considérons la fonction :
c'esl \e potentiel au point P, dû au point M.
En prenant la dérivée de V par rapport îi r, on obtient la valeur de la force changée de signe.
On peut exprimer V en fonction des coordonnées des deux points M et P. Nous avons évidemment :
■ YJ
l4 SYSTEME ÉLECTROSTATiqVE
et les trois projections de In force sur les trois ax nées seront, comme nous venons de le dire :
si au lieu d'un seul point M, ngissant, on en a plusieurs, M', M". . on définit le potentiel au point P par la fonction :
et les propriétés du potentiel sont encore les mêmes, car d'une part la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées de ses termes; d'autre paît, la projection de la résultante sur O.r, de toutes les forces, est la somme algébrique des composantes parallèles à Oj'.
Telles sont les propriétés des dérivées premières du potentiel ; rappelons maintenant les propriétés des dérivées secondes.
12. Propriétés des dérivéeB secondes du potentiel. — Dans le cas de points élcctrîsés, un a identiquement :
dr' d^* 0;- ~~
Mnis habituellement nous n'avons pas affaire à des points électrisés isolés ; le cas ordinaire est celui de corps éleclrisés; et de plus le point influencé, P, peut lui-même se trouver à l'inlérieur de ces corps ; il est alors indispensable d'introduire la notion de continuité ; la valeur du poleutici, dans ce cas, est encore facile à trouver.
En effet : soit ABCDE {/ig. .'t} le paralléHpipède élémentaire, enfermant rélcment de volume des corps considérés ; ce volume a pour expression r
di' = d% d^ d-(
PROPniETÉS Gf:yHH.ll.F.S DU POTENTIEL i5
et la charge de cet élément putit'i-a s'exprimer psir :
m = i- (Ix dp rfyj) est ce qu'on appelle la densiti- clettn'f/iie au point A. C'est
une fonction des coordonnées de ce point ;!«■ potentiel en tin point P sera :
et le potentiel, au point P, dû ii l'ensemble des points tels que A, sera :
'' =J j J ij7^Tft$^+^^r
si donc on suppose que le radical ne s'annule jamais, l'intégrale du second membre reste finie ; diins ce cas, on vérifie encore l'identité :
ù.r di/- à':
habituellement, on pose :
dJ oy oc
i6 srSTèME ÈCECTROSTATiqVE
de sorte que l'équation précédente devient :
(2) iV = 0.
13. C»B où le point P ast intérieur aux masBee agiBBantea. — On démontre que, même dans ce cas, la fonction V reste finie. Quant à l'expression des composantes, elle subsiste encore : on
le vérifie en calculant, d'une part X, de l'autre r — ; et l'on
' ox
constate que les deux valeurs sont égales. Mais, dans ce cas, l'identité (2) est remplacée par celle-ci :
(2 A(») ---î- + — -ï- + -— j- = — 4 KO
p étant la densité électrique au point (j^, y, z).
Ce dernier cas est le plus général et comprend le premier, car si le point P ne fait pas partie des masses agissantes, la densité y est nulle ; p ^ 0; donc alors A V ^ 0.
Les théorèmes précédents sont des identités purement analytiques qui résultent de la définition même du potentiel. Ils sont applicables, qn'il y ait ou non équilibre, que le milieu considéré soit, ou non, conducteur. Nous allons considérer maintenant le cas des corps conducteurs.
14. Cas des corps conducteurs. —Distribution euperûcielle. — Dans l'intérieur d'un corps conducteur en èquHihre, le potentiel est constant.
Supposons un corps conducteur (l) [fg- 4) de forme quel-
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES OU POTENTIEL i;
conque, et l'électricité en équilibre dans ce corps conducteur ; soit P un point intérieur au corps (1); dire que ce point etit en équilibre, c'est dire que la résultante des forces électriques agissant sur lui est nulle ; donc :
dV àr '
dV
ày ''
ces équations devant être vérifiées identiquement pour un point P quelconque à l'intérieur du corps électrisé, il faut que l'on ait :
V ^ constante ^= V,
donc, à l'intérieur du corps (1), le potentiel a une valeur constante V,; de même, à l'intérieur d'un second corps (2), il aura une nouvelle valeur :
et à l'intérieur d'un troisième corps (3) :
Théorème. — Dans un corps conducteur, f électricité se porte tout entière à la surface.
En effet, on a identiquement :
àjc* ày* à=' '
l8 SrSTÈME ÉLECTROSTATIQUE
dans l'intérieur d'un corps électrisé V ^ const; les premières dérivées sont donc nulles et les secondes aussi; donc:
Il + ^ + ^^o
dx* dy' dï'
il en résulte donc, à cause de (2 bis) :
4iïp =
donc la densité au point considéré est nulle ; par conséquent, il n'y a pas d'électricité libre à l'intérieur d'un corps conducteur en équilibre; elle s'est donc tout entière portée a sa surface; on exprime ce fait en disant que la distribution est superficielle.
15. Conditiona d'équilibre de plusieurs conducteurs rèunlB par un ûl. — Soient {fig. 5) deux corps électrlsés conducteurs, (1)
Fîg. ,1.
et (2), respectivement aux potentiels V, et V,, Réunissons deux de leurs points A, et A, par un fil conducteur ; si V, = V,, il y aura équilibre.
Si V, dlffcre de V„ il ne pourrait y avoir équilibre, car l'ensemble des deux corps constitue maintenant un seul conducteur dans l'intérieur duquel la condition d'équilibre est que le potentiel ait partout la m^me valeur. 11 y aura doue mouvement d'électricité jusqu'à ce que les potentiels soient égaux; si c'est V, qui est supérieur à V,, l'électricité s'écoulera du corps (2) vers le corps (1); en effet, dans le fil de jonction, le potentiel aura des valeurs décroissantes de A, vers A,; la valeur de la force prise suivant
rfV dW dV Ox est = — si V diminue, ~, — est < 0, donc r- est positif,
ax dx ' dj: ^ '
PROPRIÉTÉS GÉffÉRALES DU POTENTIEL nj
donc X est croissant dans le sens A,A,. La force sera donc toujours dirigée dans le sens des potentiels décroissants.
16. Éïectrisation par iaûuence. — La théorie du potentiel explique et permet de calculer les phénomènes d'électrisatîon par influence. Soit un corps conducteur chargé au potentiel V,, qui peut être égal à zéro. On en approche une charge électrique M. Le potentiel augmente par suite au voisinage de M, puisque les charges élémentaires ni qui constituent M fournissent
des termes de la forme — , termes d'autant plus grands que la
distance r est plus petite. 11 faut que la valeur du potentiel reste uniforme dans l'intérieur des conducteurs : c'est la condition d'équilibre. 11 est donc nécessaire qu'une nouvelle distribution ait lieu, que l'électricité de nom contraire à M s'accumule en plus grande quantité du côté de M, rélcctricitc de même nom du côté opposé, de manière à compenser l'action de M, et it rendre de nouveau le potentiel uniforme.
Remarque. — Les valeurs du potentiel ne sont jamais connues qu'à une constanle près, puisque V est fourni par une intégration. Soit donc une certaine distribution {V,) (V,) (V,)...; nous ne changeons pas les conditions d'équilibre en remplaçant respectivemcntces potentiels par V,-(- C, V,+ C, V,H- C..., puisque les constantes Cne figurent pas dans les dérivées qui expriment les forces. On peut ainsi donner en un point, an potentiel, une valeur arbitraire ; alors les potentiels aux autres points du système sont déterminés. En tout cas, la seule chose qui soit déterminée c'est la différence des potentiels de deux points.
Les résultats précédents fournissent l'explication d'une expérience célèbre de Faraday; ce savant prit une grande cage métallique isolée; il se plaça dans son intérieur, et là il put effectuer avec précision les expériences les plus délicates d'clectrométric, lors même que l'on venait ii cicctrîser fortement la cage; en effet, les charges accumulées sur la cage se font équilibre sur un point intérieur.
De même, si, comme le font certains météorologistes, on suppose à la surface extérieure de l'atmosphère terrestre une
ïo srSTÈME ÉLECTR0ST.IT1XIK E
charge électrique, cette charge sera sans action sur les puiiits de la surface de la terre, qui lui sont intérieurs.
Enfin, comme nous pouvons prendre arbitrairement l'un des potentiels d'un système électrisé, nous donnons arbitrairement ii la terre le potentiel V = 0. Cest une simple convention.
Corollaire. — Considérons un condensateur fermé [fi^. 6; ; s'il
y a équilibre, les potentiels V, et V, de ses armatures sont constants; je dis que la charge M de l'armature interne ne dépend
que
de V.— V..
En elTet, isolons tout l'instrument et chargeons l'armature externe, rien ne change dans l'intérieur; donc M ne change pas; par suite M et V, — V, varient ou restent constants en même temps : M est donc une fonction de V, — V,. la même que si la charge extérieure était nulle.
