DR NON 11—10, DA
ou aux deux droiles & — 0, y = 0.
La fonction Z:=— 3? — 4 divise le plan P en quatre demi-cellules d’univalence, que nous numérotons 1, Il, HT, IV. Les demicellules IL et [IV contiennent les branches de V, de V — 0 à V — 7; les demi-cellules I et IT contiennent les branches de V, de V — 7, à V—927r. Nous pouvons grouper les demi-cellules de deux manières différentes en cellules d’univalence.
Premier groupement. — 1° cellule, Eet I; 2° cellule, [IE et LV.
Deuxième groupement. — 1" cellule, Let IV; 2° cellule, IT et IT.
Toutefois, seul le premier groupement donne les cellules montantes.
Réseau de Z — 3 — 33? + 23. — Racines de ZL
AIO) Al, Az = 2.
L'or
Racines de L'
ñn=3085+V5l =:318-4v31.
Z(j1) = — pe) Z( je) = en Lo LI VW 0; V,= or)
IZ(H)I=R;=|2(p)|=R;,.
D'autre part
R=[ai—3xy?—3x+32+2xf+|32xy —y—Gxy +2y}P;
les courbes R == const. sont des lemniscates du sixième degré; et
puisque
32x2y — yi— Cry +2y
tang V EI TR ST RE 1 NP NT F di— 3xy?— 32? + 37?+02x
les courbes V = const. sont des cubiques planes sans point double.
EEL\ \ SE PÉEES 7 } [ \ RSR 7
Fig. 12.
NL E
Lorsque tang V est nulle, V—o ou r, la cubique se réduit à
l'hyperbole :
32 — Y— 6x Pi 10)
LE QU qui coupe l’axe des æ aux points 7, et 7», el qui admet cet axe comme axe de symétrie. Les deux asymptotes ont comme coefficients angulaires my — +- V3, mo —— \/3; et elles passent par le point æ — 1,
Il y a six demi-cellules numérotées I, IL, HE, IV, V, VI. Elles se groupent en cellules d’univalence de trois manières différentes :
Premier groupement. — [1, I]; [IH, VI}; [IV, V]. Deuxième groupement. — [IT, IT]; [IV, V}; [VE 1]. Troisième groupement. — |, I]; [E, IV}; [V, VI].
Le premier groupement donne les cellules montantes. Les
frontières des trois cellules du premier groupement sont marquées sur la figure.
Réseau de 1 = 3 — 632 53.
Racines de L'
ñ= 3[6— Var], j= 3[6+ Va]
Z(j)= Sl-27+7Vval= 3,37, À 2 = ASE
AGE il 25 + 7 Var] =— 39,37; argZ(ji)=0, argZ(jps)=+7.
Courbes R — const.
R=[ai— 3xy2— 6x2+ 6y7?+ 5x + 322y — y3—12xy + 57}. Courbes V — const.
SON = je CV nl
tangV = 25—3zy 62 + 67 +562
Courbe V — o ou r, tang V —0o ST NS T2 TV OV 0; elle se compose de la droite y — 0, et de l’hyperbole TEE = ©, dont les sommets sont en 7, et 7», et Le centre au point x — +2;
les deux asymptotes ont pour coefficients angulaires m, — + V3,
Mo ——> VE Demi-cellules. — X, IT, IE, IV, V, VI.
Cellules montantes. — [I, I}; [HIE, IV]; [V, VII.
Réseau deL= 2), 1 Vr. — Racines de LL: a; —=0, racine double; a; = 1.
DL
Racines de Da; = 07 “is
—. 14 Z{j9) #0, LIT) EE
A . - EN . pr argZ( 1) = indéterminé, argZ( Jr) = =.
Au voisinage de l’origine, Z est très rapproché de Z——52?;
. (87 Tr en posant z— re, on trouve Z—r?e ( Fr) V—=0—,; le
inceau de demi-droites, V — 29 qui part de O comme origine ) qui P sine,
. . 7 7 ri T subit une rotation de + -; V—0o, 6— -; V—or; 0 —7+ Ai nl 4 + Au voisinage de 2 — 1, Z=—(3—i)+..., z—i—= re, Z = reilb+n),
la rotation est de — 7.
Courbes R — const.
[ai— 3xy?+2xy] +i[3axy —3— 2x+ y], [
23— 32y?+2xy + [327 —yi— x?+ 7°},
Courbes V — const.
3 2?Y — Vi— x? re
tang V — Tu à ai—3xy?+2xy
La courbe V — - ou — a pour équation 2) 2
æi— 3xy?+2æy = 0,
elle se décompose en deux courbes x =0, &?—3y?+2y —o. La première æ — o est l’axe des y, la seconde est une hyperbole,
admettant mi = + V3, My =— V3, comme directions asympto-
tiques, les points [æ—0; y —o|, [2 0 0e — p comme
sommets; et la droite æ = 0, l’axe des y, comme axe de symétrie. La courbe tang V—o
322 — Yi— x?+ Y2= 0,
est une cubique unicursale, le point double est à l’origine; et les tangentes au point double ont pour coefficient angulaire m—=Æ#1.
Les autres courbes tang V — const. sont aussi des cubiques unicursales, avec l’origine comme point double.
Les cellules montantes 1 et IT sont séparées l’une de lautre En?
tandis que les cellules IT et IIT ont comme ligne frontière une branche de V — 0. C’est en général ce qui arrive; les branches des courbes V, servant de lignes frontières aux cellules d’univalence, peuvent correspondre à autant de valeurs de V distinctes de zéro qu'il y a de points 7; distincts.
par les deux branches de V — + 5) qui se casse en J»—
Le deuxième schéma, relatif aux cellules descendantes, montre bien qu’elles peuvent différer des cellules montantes.
Réseau de L' ——3:+"10.
Racines de Z,
AT, = DC A3 = — 9, a, =2e Racines de L': j,— 0, racine triple.
Zi = 16, NV; —0.
L=(x'+ 622 y2+ yi— 16) + Gixy(æ?— y).
re
Courbes R — const. :
R?—[xt— 6x2 y2+ yi— 16} +16[æ— y?|°x?y?;
ce sont des lemniscates du huitième degré.
Courbes V — const. :
PAIE ee de DE di + 6x2? + yi— 16?
tangV — ce sont des quartiques.
Courbe V — 0 :
Ga — ÿ°)2y = 0;
elle se décompose en les droites suivantes :
