TE
perpendiculaire AS au plan P sur lequel on a distingué deux faces, une face positive et une face négative, avec
AS — logR ;
si R=rlorR=R, AS est du côté positif du plan P; si au con-
traire, R< 1, logRESS, AS est du côté négatif du même plan — >
R—=1, AS — 0, S se confond avec À; R — + , AS est infini, S
est à l'infini du côté positif; R — 0, AS est encore infini, mais du
côté négatif du plan P.
Dérinirion. — Lorsque À parcourt le plan P, les points S décrivent une surface que nous désignerons par Sk(z) ou surface S de la fonction F(2), ou surface des modules de la fonction F(z) ().
Taéorème VII. — La pente du plan tangent à S au point f or , LF°(2)] d’affixe z est égale à TAC Ce résultat, à rapprocher de celui de Jensen, s'obtient facilement, car si F(z)=P(xy)+iQ(xy), L= Log|F|= :Log(P?+ Q@), on à oP 9Q oP 0Q pe és es de OZ dx po dx OZ à dy pe dy DS EN Re PT gx Prod e 720 PE O0
(*) JENSEN, Acta Math., 36, 1912, p. 195.
nor
or, d’après une formule connue de géométrie différentielle, la
À | dz \? É :
pente lang À est donnée par la valeur det/ (5) + ni + D'où / (28
dy oP 90 \? oP 90 \ ?
PENMO TE PO m ( Ro mal dy © pa w (P?+ Q2}
ce qui, en vertu des formules bien connues :
DR, op )Q Ne Pa: ) = IN RQ & »
dæ — dy ? dy re 0 } dx
est équivalent à
; MERE | At tang?y — TFC) E ou tan OIC TEE THéorkue VIIL -— Pour qu'en un point commun les deux surfaces Sr, et Sr, soient tangentes, il faut et il suffit que l’on art ; " DE UE outre |F,;|—=|F, | {a relation F=F" 1 2 En effet D tq ne TES SES MÉONE) COMME Di — qi —= Pr — Ego, il vient :
La surface S,(3) d’un polynome a une seule nappe; la surface S,(z) où Q(3) est la fonction inverse d’un polynome, a, en
général, plusieurs nappes.
Cependant le nombre de nappes distntes n’est pas toujours égal au nombre de branches distinctes de Q(3).
Exemple : P(z) — 3"; Q(z)— V3. La fonction Q(z) a une nappe bien que Q(z) possède r branches distinctes. Appelons Z;, L2, .…. Zn ces n branches, on a
r AN} = Ci VZ,
où e; est une des n racines n°" de l’unité. Si donc Z; et Z4 sont deux branches quelconques, pour toute valeur de z, ces deux
branches ont le même module :
[Zi =|2x},
et les nappes correspondantes de So(z) coïncident. La surface S:- a donc une seule nappe; mais l’on peut considérer Ÿ
qu’elle à À nappes confondues. On démontre d’ailleurs facilement
le théorème suivant.
Taéorème IX. — La condition nécessaire et suffisante pour que deux branches distinctes, Z; et 2;, de Q(:), donnent deux nappes confondues de S(z) est que l’on ait la relation Z;= eit2; (o réel et constant).
ue ; . Z; En effet, Zi] —]|7Z%|; la fonction analytique 7, à Son module à x
constant. Cette fonclion se réduit donc à une constante;
Gt o — const.
Le réseau isotherme de la surface des modules. — Le réseau [logR, V] de F(z) est la projection sur le plan P du réseau topographique de la surface S (3).
Les courbes de niveau se projettent suivant les courbes logR — const.; les lignes de plus grande pente, suivant les courbes V = const.
Supposons donc tracé le réseau topographique de Sk(:); et numérotons logR; la courbe du niveau qui se projette suivant logR — logR;; de même V;, la ligne de plus grande pente qui correspond à V = V;.
Au point situé à l'intersection de la courbe deniveaulogR —logR;, et de la ligne de plus grande pente V = V;, F(2) prend la valeur Ryet"r. La surface S,(:), une fois cotée, donne donc une représentation concrète de l’ensemble des valeurs que prend F(:), quand 3 se déplace dans le plan P.
Dans le cas particulier d’un polynome P(2) =S,;,. se subdieise soit en cellules d’univalence montantes ayant leurs origines aux points logR — —; admettant comme lignes frontières uniquement des courbes V = const.; et aboutissant toutes au point logR = +; et coupant le plan P, suivant les courbes logR —0,
ST soit en cellules d'univalence descendantes, ayant comme origine logR — + , et aboutissant aux points log R = —00.
Surface Syy de Q(z), la fonction inverse de P(z). — À chaque cellule montante de P(2:) (il en serait même pour les cellules descendantes) correspond une branche de Q(z:). Si P(2) est du degré », P(z) contient » cellules montantes; S4, possède n nappes N..
Ainsi P(z)— 3" a n cellules d’univalence; à chacune de ces cellules correspond une branche de Q(z) = \/3; les nappes Nc correspondantes de S,(z), sont confondues et S4,, ne présente qu'une nappe. Cependant les » nappes de S,4,, sont tout à fait distinctes du point de vue de la théorie des fonctions; pour une même valeur de z, sur chaque nappe on trouve une même valeur de R, mais des valeurs de V deux à deux distinctes, puisque le réseau Re’ de Q(3:) est univalent.
Examinons maintenant comment l’on peut passer d’une cellule montante de P(z) à la nappe N de SQ(z) qui lui correspond. Soit une nappe N, de S,(2), liée à une cellule choisie parmi les x cellules de P(3). Au sein de la cellule et sur les portions de la frontière de la cellule qui lui appartiennent, P(z) prend une fois et une seule fois toutes les valeurs du plan complexe P, y compris la valeur zéro et la valeur co. À Z —P(z) correspond le plan P tout entier; et à 3, les valeurs de z, faisant partie de la cellule d’univalence. Z décrivant le plan P, log|z| décrit un élément de la surface Sy, de Q(z); l'élément qui correspond à la cellule d’univalence décrite.
Tant que l’on est à l’intérieur de la cellule d’univalence, aucune difficulté ne se produit; à chaque valeur de z, il correspond un et un seul point de S4, et le réseau Sy, est fonction uniforme de z. La relation entre s et le réseau de S;(z) est biunivoque. Mais sur la frontière de la cellule, il n’en est plus de même.
C'est ainsi que, dans le cas particulier de la figure 15 : en A, et en A: Za—h,;: en Bilet.embB:,7:—R;;cn CG: Get en-CG:, Péhclen Getten Gt Reis enD, e0DuZiR;: en D: et D, Re; en D, et D, Z—Ryei,. On tire de là,
pour la fonction inverse :
AM=Q(A), A=Q(A) (Aix) Bi—Q(Z:), Br=Q(2) (Biz B2)
Lana
Cr 02) O0) C; = Q(Z3) (Gi 2 C5 CG),
CG ONRR; es Ci = Q[RaeivA] (C5 < Ci),
et de même pour les autres points.
Dans l’inversion, les courbes V — const. viennent suivre les demi-droites 9 — const. du plan P; si l'on représente un point quelconque du plan P, À par exemple, par A — re, les courbes R == const. suivent les circonférences r = const. de centre O.
Fig. 17.
Appelons GC, 4, la cellule d’univalence d’origine àa;, et numérotée (1) autour de 4;; et Sc,,. la portion de surface S,,., qui correspond à cette cellule. Cette portion de surface S, se présente comme une nappe uniforme, excepté sur les demi-droites 0 — o. * a Es > dr . N = T à ns = Des St Dre :
à ‘partir de 70; sum apart der =) NN) 0 = V;, à Cparürde r RARES ponEtS See de Sc,as Sont des points de ramification de Se.
Les portions de S,, provenant des cellules contiguës à la cellule C1,a, admettent les mêmes points de ramifications Su, J1, J,, que Sea et aussi les mêmes cassures dans les plans verticaux passant par l’origine et contenant les demi-droites, 4 —=0,8=V,;.0= V; [cassures qui proviennent du fait que 5= V,,R>R;, à chaque
valeur de 3, il correspond deux valeurs de Q(z) sur S4,4l parur de O, J,, J,, et le long des cassures verticales, les S, des
cellules contiguës se raccordent au S, de C,,4,. Les raccordements se faisant de proche en proche, les différentes branches de 54 finissent par former une surface S, unique, qui est la surface S, de
la fonction Q(z).
Mais la foncuüon Q(2) est univalente, quand Z parcourt toutes
les cellules d’univalence de Z — P(3\, en prenant n fois l’ensemble JLEDP
des valeurs Re [R variant de zéro à +, V de zéro à +2r|,
z parcourt une et une seule fois le plan complexe P. Si donc nous
traçons le réseau [logR, V] de Sy., le réseau composé d'une
cellule montante et d’une cellule descendante s'étalera sur les
n nappes Ne de Sy; prendra naissance au point logz — — + de ce point, s’étendra aux n nappes Nc de Q(z), en passant par les coupures qui sont les intersections des nappes deux à deux pour aboutir au point logs :=—.
SAVE Il y a intérêt par conséquent d'étudier ces coupures. Etude de la surface Sy au voisinage d'un point Ji. — Si
Z=J+A,(3—j)+Air(s—j)1+...,
on à, suivant la théorie classique,
PR rm 2 PU GAP DCR 29 à An À er TN
lis
en posant Z — J = u1, et idenüfiant, uI—= AquI(Bi+ Bou +...) + AguaurTt(Bi+ Beu +... )tt+..., = A4Bf+(qBT'B;A,+ AZEBT EE:
Et l’on calculera, de la même manière, par récurrence B;, B,..., qui pourront «a priori être nuls pour certaines fonctions particulières.
La représentation analytique des différentes nappes de So au voisinage de L—1J;, est donc fournie par la relation
: > — A, 2 Z=/Ji+ en CARE) md de.
‘ f ‘ AY gA, /
et l’on passe d’une nappe à une autre en multipliant (Z —J;)7, 2KkTi pare T [k—o,1,...,(q—1)], c'est-à-dire par les différentes racines g\°"® de l'unité.
Étude de l'intersection des nappes autour de L=J;, et dans le voisinage de L—J;, quand qg2>2 [fig. 19, 20, 21]. — Nous
Fig. 19.
, TZ oupure 7 Z :
Coupure
