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— u mn = — = + JiBsze Ÿ Gr + jiB;e fn

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E . À) 0 .3 0 s 2 nn Ep =. l à ne | B>B;e rt BsBie Cr BiBe 7 Cx 3 0 5.0 CAES Mi ml & — UE = B, B,€ TEr+pBse TTr+ jbB;e DMC SET où QD 0 0e do Die TE D mo Dé D O0 010 D DCI 6 0 oo D'OE0 0 0 DD

el l'équation des coupures du type K s’obtiendra en égalant à zéro la différence de (15) et de (14) :

à 0 0) { UE Fer. — Gi) 0 pres THB —ie 7

À .2 0 22e : / DEN Me . = 0 us rte #l BCE de I | ; .Ô 20 » £ = dvez- - Lo eue. D BEP Cie fi .30 AUDE 5 PRINT ss DS) M CNT HBTenteut aybui ciel | .20 .20 à ONE < PEN Ve ir e ar: Ar (re 1 +B: B; (4 = ohes «1 10 400 / ! ve ns AN JB, —G)e 1+7B(1—G)e 7 | È .Ô 1 3 0 æÆ, ! — / == = Dies = / mn { + 95 Lin, c 1— re + BB 3 (1 — tx)e T+ BBQ — Ci)e # EM) PAL 1

2 a er Re Û =.

BB; (reti}e T +] B;(1—64)e f +piB;(1—ÿi)e s.

Discussion. — 1° j<o. — Le premier membre de l'équation (15) est une fonction analytique de 6, réelle quand 6 est réel. Lorsque p tend vers zéro, l’équation (15) peut être remplacée par

l'équation limite

6) . 0) ACT = 7 + (16) JBitr= to eN +R OT) US:

De cette équation, on üre

lorsque À varie nous avons deux valeurs de 8 dans un intervalle de longueur 297. Nous en déduisons que l’on a deux coupures d’un type donné; car quand p est très voisin de zéro, l’équation (15), d’après un théorème connu, admet une racine voisine de 0 — 65, et qui tend vers 6,, p tendant vers zéro.

Comme il y a g— 1 types et que chaque coupure est comptée deux fois, il y a lieu d’en déduire que le nombre total des coupures est de q—1. :

Si qg est pair les deux coupures d’un même type sont des tangentes superposées, si qg est impair leurs demi-tangentes sont opposées. Mais de toutes façons si nous prenons l’ensemble de

. . I 4 toutes les coupures, les projections de leurs ; tangentes se répartissent sur deux directions, la moitié sur chacune pour g impair,

co. JL de I . .

la moitié + ; sur l’une et la moitié — > Sur l’autre si q estpair.

Considérons le cylindre droit de base C;, (C;, étant la circonférence de centre J, et de rayon p), et sur le cylindre suivons | 4 /?. En utilisant dans la formule (13) seulement le terme du premier

ne

degré en p, nous trouvons :

(18) |z{= | 7:P+ 20] J:B1| cos > (D — do) +...;

6 — 0 = 0 décore tee |z2= | 7;P+20]7:B1| (maximum); (Em SR Ce |zP2= | 7: P+ 20 | 7:B1icos-; 0—G—=+2r DO Pare ji P+2e | fiB| cos 0—D=+gx CrOit er |3/P=|J;2+20]7:B1|l (minimum); DE El 1)T. 95. Le ji P+ 2e je 00 EDS, 0—6=297 Dee 13/2= | 7;P+20|7iB1l (maximum).

La figure 21 donne la disposition relative des différentes nappes autour de S;, et dans le voisinage de ce point. On trouve bien q nappes et (gq —1) coupures.

2° Ji 0, B:3£ 0. — L’équation limite tirée de (15) devient

(19) BiB:t1— je D B:B;(1 le

et l’on retrouve le résultat trouvé en (17).

La relation (13) donnani | z |? devient

10) .Ô (20) |z/2= 9°B1B1+ Et de EVpre 3] 2 D +...,

c’est-à-dire en conservant les termes en p? el p* seulement, une relation approchée analogue à la relation (18).

Il y a encore (q — 1) coupures partant de S;, et q nappes présentant autour de S;, le même aspect que sur la figure (21).

DB —=0. 7 B1—0, bD.-<0,, 7; 0 "[L'équation

limite tirée de (15) est pour les indices # tels que &;-" soit racine

ellecuve de l'unité

Ur Di0 ta— 110 N TT % { ra si C (21) B, Bree EP bi CNE TANT on —41( EE dal gli 1 ; 2(n— 1) AT ELLE et B,B, test, ir LE e mA — = = Le 1 :

B,B, = y o(n—1)0 (nn —1)KT orne > K Ts; q € CPP qT hq7 (22) (== ( — are L + TR ee nie NE: DPUE UN) HOT) (y)

Le nombre des valeurs de © dépendant du terme (22), il y aura done 2(n—1) coupures du type Æ; nombre susceptible de s'élever encore si €! est égal à 1. La discussion complète nous entrainerait trop loin.

D'autre part, on obtiendra les coupures en suivant la variation de |3P, sur le cylindre de base C,,, par l'intermédiaire de la formule (33), où l’on aura gardé les deux premiers termes :

(tn —1) 0 ; l2— 10 : i ; — i —— PA re T +LB,Bse PES

Supposons que l'équation (22) ait donné 27 valeurs de 8,, formant autour de J; une étoile régulière. Une discussion analogue à celle faite au moyen de la formule (18) donnerait (g — 1) coupures pour chacune des Z valeurs de 9 obtenues en groupantles valeurs 0 ct (9 +7). En effet, si 9 est racine de (22), (9 + x) l’est aussi; le nombre des racines est pair, el l’on peut toujours désigner par 2/ ce nombre. Il y aurait donc (qg — 1) pour chacun des groupes 8 et (9 + 7x), au total /(q —1) coupures.

Par conséquent, une fois déterminé le nombre 2 l des racines de l’équation (22), le nombre des coupures en Sÿ, et au voësinage de S, est égal à l(q—1) au moins.

Si g n’est pas premier ce nombre est même susceptible de s'élever; 1l n’est enfin pas exclu qu'un type déterminé donne lieu à superposition des nappes.

Etude de l'intersection des nappes autour du point à l’infint.

my

— Posons Z—Reït;ilivient (5)

VA a 2 CE DE \4 TT | 2 - VAL — É RE : ELRSSVA Bo=2Z2 MB: +.

\2 Re?

CEA HT — \n (AoAo) = s ü - *: ”( > Î 7 - Bo = B, ne SEA À : sé Re / ne A / 7 m m ni x L AG \6 n \ \o 30 SEE I BA er By —i— + l—e + —e R 3 2 1 A \o \0 > 0 2» A ï[ ol De ot Bure + Bile “ +BiTe ! + roles Ce cu NE 2 M Fee \ \o

Pour obtenir les différentes nappes autour du point à linfini

9 [ee] 0 nous changerons e “en e = er Cr 1livicnt

BR? > (24 | = [ En LÉ nor 1 —+ FDA TR — A (1,2) ua) : û ; 20) 20 LR dia F EP à Bo impr, Bo pps 4 aa im an EN D er LÉ E (7 7 A1 71 Au 5 \5 A 0 : À 0 A 0 2 & 30 10 I B; de 2 mor 7 SE m dE (4 se F7 € sk ñn A2 A9 \6 e .20) 2 0 ES ea tr pd een RON B UT cn C7 à 10 10 B > Enr B ; —=i——} SRE, GES 16 DAS 1 = - À mn re 0 \o ] eco less

L’équation des coupures est la différence de (23) et (24) :

n ru A an

elle appartient au type déjà étudié plusieurs fois et nous donne deux coupures du type À donnant lieu à deux tangentes superposées ‘ou opposées (en projection); donc dans l’ensemble nous avons comme plus haut 7 —1 coupures exactement et sur un cercle de centre infini le module a un maximum et un minimum,

2° F—0o. — En ce cas si B, est le premier coefficient utile non nul, l'équation limite deviendra = .2m0 > mn 0 B 5» L UE, B 9 UE R (1— tr" )e ÈS 2 (1— Ge 7 0, A6 A

ce qui pour le type générique nous donne 2m coupures au lieu de I . = : d :

2 dont les à directions asymptotiques en projection forment une

étoile régulière à m ou 2m branches; mais pour certaines valeurs particulières de Æ il peut y avoir augmentation du coefficient m, voire même superposition.

Conclusion. — Si nous nous reportons à la signification géométrique de B, et T respectivement nous aurons en résumé pour apphquer à S,,., avec Q fonction inverse du polynome P(3) :

1° En un point de ramification permutant q nappes, si logR est fini il y à exactement q — 1 coupures;

2° Si logR = + ou logR — —æwrily «a en général q —1 coupures; mais ce nombre est augmenté (et peut même donner des superpositions de napves) si pour le point à l'infini (logR = + ), le centre de gravité des zéros du polynome P(3) est à l’origine; si pour le point logR — — [l'origine est zéro de la dérivée de PES) NAS "0.

Quant aux projections des tangentes (ou des directions asymptotiques), elles donnent une direction si g —2, deux directions pour g quelconque dans le cas normal, 2m(m>>1) directions pour les types génériques du cas exceptionnel, une étoile régulière à plus de m branches pour les types spéciaux du cas exceptiounel.

Autres cas d’intersections de coupures; coupures parasites. — Une coupure prend naissance si P(z3) = & a deux racines de même module. Généralement les deux nappes de la surface S ayant deux plans tangents distincts, en un point générique de la coupure, elle n’est pas recoupée par une autre.

Ayant vu ce qui se passe pour | F’}== 0 (le plan tangent disparaît), on peut se demander si les deux nappes peuvent être Lan-

< — pe à gentes. Cela entraîne la condition (") que le rapport + ait la même

valeur complexe sur les deux branches. Ce n’est pas possible vu le nombre de conditions exigées pour le polynome.

Par contre, si trois racines de P(z) — «a ont même module, nous aurons trois nappes deux à deux non tangentes qui vont se couper en donnant naissance à un trièdre de coupures issues d’un même point de S. Sur le polynome générique, ceci se produit en des points isolés. Sur des polynomes spéciaux il ÿ aura des lignes triples ou multiples, et des nœuds d’ordre plus élevé que 3, sur les lignes doubles.

(:) Cf. page 34.

THÈSE HIBBERT 4

En tous les cas il y a lieu de conclure ceci : sauf aux points d;, la théorie de l'intersection des surfaces montre que tous les arcs de coupure y aboutissant ont une demi-tangente et peuvent être groupés par paires (à demi-tangentes génériquement opposées, exceptionnellement confondues) qui se prolongent de telle sorte que les demi-morceaux de nappes qu'ils séparent se prolongent deux à deux continûment.

Car en tout autre point qu’un J; la coupure peut être traitée localement comme étant l'intersection de deux surfaces analytiques et ayant chacune un plan tangent déterminé. En un point S,, enfin il peut passer une nappe non ramifiée; il suffit que le point 7; correspondant ait un homologue de même module. Il pourrait mème arriver que deux 7; homologues aient même module. En ce cas il apparaîtrait en S7;, outre les bouts normaux de coupure déjà envisagés, d’autres bouts que nous appellerons branches de coupures supplémentaires.

Reste maintenant à poser le problème des coupures parasites.

DériniTiIon. — Les coupures parasites sont celles qui ne passent ni par les branches normales des S,; ni par le point à l'infini. — Une coupure parasite est tout entière à distance finie. Si l’on a Q(z) fonction inverse de polynome cette coupure est branche complète finie de courbe algébrique donc elle est fermée. I est manifeste que le long d’une coupure parasite et dans le voisisinage de cette coupure, on rencontre toujours au moins deux nappes de Soi

\ppelons C» la projection de la coupure sur le plan des Z;, et considérons sur So, le domaine intérieur à [SGp] qui ne contient pas z — æ.

Et soient (N, C) et (N>:C>) deux nappes s'appuyant sur la coupure (SC), qui se projette suivant C?. En appelant r, le module de z sur (N; Cr) et r le module de 3 sur (N,C), on a r,— r, le long de (S GC») et log 0e

Taéorèue 10. — 7! existe à l'intérieur de Cv, au moins un

: - 7 , ! ON point Z pour lequel log n'est pas régulière.

Er

< : À te A r se. ; En eftet, s’il n’en était pas ainsi, log . nulle sur (SG) et régu-

lière dans C», resterait toujours nulle, ce qui n'est pas possible puisque les deux nappes sont supposées distinctes. Ce point est soit le point z — 0, soit un point S,..

Vappes de la surface Sg. — Du point de vue local, au voisinage et autour d’un point Sy, de Sy, etau voisinage d’une coupure quelconque, il est facile de distinguer des nappes distinctes de So. Mais du point de vue global, peut-on toujours distinguer des nappes de Sy ? La réponse estaffirmative ; du point de vue global, on peut toujours distinguer n nappes de S,,. en dehors des nappes N4 (!) qui correspondent aux cellules d’univalence. Écrivons, en effet, les équations

= Ne teNee Nantes el considérons pour chaque valeur de Z, les n valeurs 4,, 3:,...,5,

de 3. En général. ces n valeurs sont distinctes, et supposons-les classées en module

Il y a plusieurs cas à considérer :

1 |3/>/21>123:, ... > [zl. — Cela seulement dans un domaine quelque petit qu'il soit. Il y a n nappes distinctes, que nous désignerons par N,,N:, ...,N,.

Dsl lzl=lz > 12,1... = |z,l — Ces égahités ont lieu pour toute valeur de Z; il y a seulement (7 — 2) nappes disuinctes.

3° |Z1]=|2:|—=..:—]|23,|. — Ce cas que nous avons déjà

vu (!), donne » nappes confondues eu une seule.

Toutefois P(:) étant générique en un point Z au moins, on AUTO SN dr Re NUM on oourromadtstinetuer

n.nappes. Ni, N:.,...,N; des:

Famille normale de surfaces Si: — La famille fi, fo, ..., fn: .. est holomorphe et bornée dans A; nous lui faisons corres-

(!) Voir page 37.

ue

pondre la famille de surfaces S;, Sr, ..., Sy, ..., et nous gardons les portions de ces surfaces qui correspondent au domaine A.

A toute suite extraite de la suite des fonctions fi, fs, .., fans ++, tendant dans A vers une fonction F(:), correspond une et une seule suite tirée de Sr, Sp, -.., Sp, -.., et tendant uniformément dans À, vers la surface S,.

Quand F est une constante finie ou infinie, S% est un plan parallèle au plan P sur lequel le réseau [logR, V] a disparu.

En général, à toute propriété de la famille fi, fo, .., fins +... normale dans À, correspond une propriété de la famille de surfaces mr SE OO IE Dr.