CHAPITRE II
HYPERGROUPES D'AUTOMORPIIE (1) DES POLYNOMES.
8. Détermination des groupes locaux d’automorphie des polynomes. — Atude du renversement autour d'un élément d'une branche de courbe V constante. — Rappelons d’abord quelques conséquences du théorème de Schwarz sur le prolongement analytique. Soit
D) CM) EE C2 00) g(æ, y) g(r, y)
NESTOTONEr tangV = 0 = —
PÜr, 7)
Ve=ratanes
) qg(æ, J)=0;
quand on donne à V une valeur constante, y est une fonction analytique de x; et comme toute courbe V — const. à au moins une branche réelle, en développant en série y en fonction de + autour d’un point générique (x, y) de la courbe V, les coefficients du développement sont nécessairement réels.
Prenons donc x — t, y — g(t); il vient
RCE (0) (A)
G(t) est une fonction analytique que nous écrirons 3 = G(T),
() F. Marty, Ann. Écol. Norm., 3° série, 53, fase. II, 1937, p. 9.
La — )9D —
avec T = 4 + ir. Lorsque le points = x +ty décrit une branche de la courbe V = const., T — +, r —0, puisque T est réel, et la fonction G(T) est une fonction analytique qui existe sur un segment de l’axe réel du plan des T; la fonction T — H(z:), inverse de 3 — G(T), est, elle aussi, une fonction analytique, définie quand æ et y décrivent une certaine portion d’une branche de la courbe V = const. Pour ces valeurs de + et de y, la fonction analytique T = H(:) est réelle.
Considérons maintenant la surface S de la fonction T — H(2). La relation T — H(2) représente de façon conforme le plan des sur la surface S de T — H(2), ou sur une portion de cette surface. Pour plus de précision, supposons que nous ayons défini
STE art CD);
sur une portion de branche de V = const., telle que l’ensemble des valeurs de T correspondant à z (x et y décrivant V — const.), fassent partie dans le plan des T d’un domaine du plan des T, ne se recouvrant pas, à l’intérieur duquel z = G(T) est uniforme et univalente. La fonction T —H(z:) sera elle aussi uniforme et univalente, dans le domaine correspondant du plan des z.
À ce domaine du plan de z correspond une portion à une seule nappe de la surface S, Sy), de H(2). Entre le réseau [logR,, V] de cette portion de surface, et le réseau [logr, 0] du plan des z, qui en est l’image, et qui comprend l'élément de courbe V — const., qui a servi à définir la fonction 3 = G(T), il ÿ a une correspondance biunivoque. À la portion de courbe V — const., correspond sur Sr, un élément de l’axe réel, puisque le long de cette portion de courbe T est réel.
Appelons D, et D; les deux domaines, lun sur Sy, l’autre dans le plan des #, entre lesquels la correspondance biunivoque ci-dessus indiquée existe. L’un quelconque des deux domaines est l’image de l’autre. Le polynome P(z) est défini sur D;; le long de la courbe V — const., son argument est V; la fonction e-i"P(z) est donc réelle le long de V — const. sur D.
Par l’intermédiaire de T = H(2),e-"P(3z) est définie aussi sur D,. Et, de plus, elle est une fonction réelle le long de l'axe des T réels. Dans Dr, de part et d’autre de l'axe réel, e-i*P(3) prend donc des valeurs conjuguées, aux points symétriques par rapport
— D4 — à l'axe réel. À deux valeurs de T, symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe réel des T, correspondent deux valeurs de e"*"P(3), conjuguées l’une de l’autre.
Donc, si dans Dy, eYP(z) était connu d’un seul côté de T réel, le prolongement analytique de e-{"P(2) à l’autre côté se trouverait réalisé sans difficulté, puisqu'il suffirait de donner à e iP(z), en chaque point T.;, symétrique d’un point T, du domaine d’existence par rapport à T réel, la valeur conjuguée de celle que e"P(z) prend en 17.
Le prolongement analytique, une fois réalisé sur Dy, l’est aussi sur D,. De la sorte sur le plan des 3, P(3) se trouve prolongé de l’autre côté de la courbe V — const., en supposant qu’elle ne soit counue que d’un côté de cette courbe.
C'est à ce prolongement analytique d’un côté à l’autre de la courbe V — const. ou d’une portion suffisamment restreinte d’une branche de cette courbe, que nous donnons le nom de renversement autour de la courbe V — const.
Ce renversement est caractérisé par deux fonctions analytiques
PE Ont Ja);
Vo: (1,4),
qui transforment (z,, 71) en (æ», 2). Cette transformation conserve les angles, mais ne conserve pas les sens.
Par prolongement analytique des fonctions », et »,, le renversement peut être étendu de proche en proche.
Étude du groupe local d’automorphie au voisinage de ai racine double de P(3). — Pour cela, construisons le réseau [log R, V}, au voisinage de à;, jusqu’à la première branche fermée de R autour de a;, qui passe par un point /;, ce sera une branche deR—R,.
Du point a; partent deux branches de V — o ou 27, opposées l’une à l’autre en a;; et admettant la même tangente en ce point. De même, il part deux branches distinctes de V = 7; elles aussi opposées l’une à l’autre, et ayant la même tangente en a;. Le domaine D, couvert par l’ensemble des branches fermées des courbes R autour de à;, depuis R, — 0, jusqu'à R —R,, est
divisé en quatre portions, numérotées I, IL, IL, IV sur la figure 22, en Lournant autour de a; dans le sens positif.
Par renversement autour de V—V,;, ou de la branche de V = V;, qui part de a;, et forme la frontière entre Let IT, le domaine | vient s'appliquer sur le domaine If. De même le renversement de [l autour de la branche de V — 27, qui forme la frontière entre IT et IT, applique IE sur IT. Le domaine IT vient sur IV, par renversement autour de la branche frontière V — 37. Et IV à son tour vient sur À, par renversement autour de la branche V — 27.
Mais deux renversements donnent une représentation conforme; un renversement conserve les angles, et change le sens; deux renversements conservent les angles et rétablissent le sens primitif. Deux renversements valent donc une transformation conforme.
Les renversements autour des branches de V, et V,,k en a; donnent la représentation conforme, qui applique [ sur Il; et c’est la même représentation conforme qui applique IT sur IV; IV sur; IV sur IT. Appelons-la z'— 9(1)(z).
Appliquons-la deux fois
g'= DNA z)| = OPI(2).
— D6 — Le domaine 1 revient sur lui-même, de même quel revient sur Il, [IT sur IIL, et IV sur IV GES;
6® (3) se réduit à la transformation identique.
La transformation z—0@)(z) conserve le point «i, et engendre autour de a; un groupe cyclique d'ordre 2. Mas 6 (2) est uniforme seulement dans le domaine D, Au delà de ce domaine 0( (3) existe toujours, et devient multiforme. Si l’on étudie 8) (z), et son prolongement en dehors du domaine D, qui a servi à le définir, il s’introduit non plus un groupe, mais un
hypergroupe.
Etude du groupe local, au voisinage d’une racine ai, d'ordre q, de P(z). — Construisons encore le réseau [logR, V] de P(z) au voisinage de à;, jusqu’à la première branche fermée
de R autour de à;, qui passe par un point J;, ce sera une branche
de R=R
an
Du point &;, partent q branches de V — 0 ou 27, et g branches ? ? q
de V — 7. Ces 2q branches prises dans leur ensemble, divisent le
domaine D,, compris à lPintérieur de la branche fermée
de R = R j;, qui entoure a;, en 2q domaines : [, 11, ..., (2Q—T), 2Q, de forme angulaire, admettant le même sommet à;, Ces domaines [, II, ... sont alternativement balayés par le
demi-faisceau unitaire d’origine a;, dans lequel les branches de V en &; prennent toutes les valeurs de V — 0 à V — 7, en tournant dans le sens positif autour de à;, et par le demi-faisceau unitaire, dans lequel V prend toutes les valeurs de V=— #7, à V —27, en tournant toujours dans le sens positif autour de a;. Le domaine [ comprend le demi-faisceau V — 0, V — 7; le domaine II, Le demi- Bisou NT NV —27:1le "domame IIL V=o, V=7r:;.et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on retrouve le domaine I.
Par renversement de I, autour de la branche de V = 7, en &;, qui lui sert de frontière, 1 vient en IL. De même IT va sur IE, par renversement autour de la branche de V = 27, en &;, qui lui sert de frontière. On passe par conséquent de I à IT, par une transformation conforme 3— 6(1)(3). C'est la même transformation, qui amène III sur V, V sur VII, (2Q — IT) sur 1, 2Q sur I.
Répétée deux fois, elle fait passer de 1 à V; répétée g fois, elle ramène Ï sur 1. La transformation 4(%) est donc équivalente à la transformation identique, et 4!1/(z) engendre un groupe de transformations d'ordre 4. Ce groupe conserve à;, et l’on a
BUÇz), 0®(z) = 0MEOM(z)], ..., OW(z)=1; c’est-à-dire qu'il est formé de 8(1)(z) et de ses itérées successives.
Dans D,,, tous les éléments du groupe sont des fonctions uniformes de z. Mais à l'extérieur de D,., 00 (x) ses itérées successives et leurs produits de composition deviennent des fonctions mulliformes.
Étude du groupe local au voisinage d’un point ji. — En un point 75, racine d’ordre (g—1) de P'(:), on à
PJ) Pa+1)( ji)
D AN ITS z ri) P(z) = Ji + Z— Ji + do
