CRE
demi-droites —-9 —(2k +1) — sont les branches de R— 1.
: J ps MR j. DE SN etre Dans les angles (24 +1) Te <—0<(2k + 3) ne cos V, est néga-
uf et R est compris entre zéro et l'unité. Dans les angles SALE) es) En ee =\ DE
cos V, est positif et R varie de l'unité à + .
Dans chacun de ces angles, pour les valeurs de R suffisamment grandes ou suffisamment petites, suivant que l’angle est un angle R— 0, où un angle R=— + +, à chaque valeur de R il correspond une branche de rosace à n branches, tangente en O aux demidroites
—0= (2841) br)
R croëssant à partir de R— 0, les familles ou les branches de R, dans les angles R—o, croissent, se raccordent entre elles, aux points ji de P(z), pour venir se confondre, R sujjisamment grand, avec les n familles ou avec les branches de KR, dans les angles R = «.
Courbes V :
NE ASINN\Ee
au voisinage de z — 0, et dans une circonférence de centre 4 — 0, et de rayon suffisamment petit, les courbes V, — kr sont les demi-
droites 9 — = (2h +i)z er. 2(h +1)r nr = = It
Dans les angles + , sin V, est négatif
el V est négatif; tandis que dans les angles
2(h+1)z, (2h +3)r ñn … 7
IA
sin V, est positif, V est positif. Sur les demi-droites
(2h +1)z 2(h+1)z — (le ES; = Q =”, /t /è
V est nul, V —o. Il y aura donc des angles V > 0 et des angles V0:
Pour les valeurs de V très grandes en valeur absolue, mais négatives, la courbe V à n branches, qui sont n branches de rosaces, formant une famille dans chacun des nr angles V Lo, et
tendant vers z—0, V tendant vers — x. Ces rosaces sont tan- : ; DRE O AR OT gentes en £ := 0, aux demi-droiles — 3 - .
De même, pour V très grand positif, la courbe V à 2 branches, qui sont encore z branches de rosaces, formant une famille tendant vers 3 — 0, dans chacun des x angles V > 0, V tendant vers + w; el tangente aux mêmes demi-droites que précédemment.
Le sens croissant pour R, sur les courbes V, va des angles R == o, aux angles R — +00.
Quand V croît à partir de V =—, les courbes V, dans le voisinage de z —0, ferment n familles dans les angles V <o; ces n familles s’accroissent avec V, se raccordent entre {elles aux points ji de P(3:), pour venir coïncider avec les n familles des n angles V => 0, quand V positif est suffisamment grand.
En lousles cas, toutes les courbes V sont complètes.
CHEMINS DE DÉTERMINATION. — T'oute courbe V suivie dans le sens croissant est un chemin de détermination infinie ; et dans le sens décroissant, de détermination nulle.
CELLULES D'UNIVALENCE. : 1° Cellules montantes. — Considérons l'aire balayée par une branche de V, quand V croît de 247 à 2(% +1)r. Si, dans le balayage, V rencontre un point 7;, elle se casse et nous gardons les deux branches V7; de la cassure au point 7; sur V};, dont le module est le moins élevé. L'ensemble des courbes V —2#kr, V:=(4k—+1)r, et des cassures conservées
- . P æ délimitent une cellule montante de e (@
no En prenant toutes les courbes V — 2/7, partant des angles
. Pr R — 0, on obtiendra toutes les cellules montantes de e (5)
2° Cellules descendantes. — On considère les domaines balayés par V, tournant autour de son extrémité R—%. Les courbes V—2/r, V —92(k+1)r, et les deux branches de toute cassure, à partir du point Ji de V7; dont le module est le plus élevé, R allant en décroissant, forment les frontières d’une cellule
(ee :
descendante de e ci En prenant toutes les branches de V —2K7 partant des angles R = + «, on obtient toutes les cellules descen-
dantes de … G ) à
Hypergroupe d’'automorphie. — Dans chacun des nr angles V <o, faisons croître V, et marquons les branches de V —2K7, que nous obtenons jusqu’à la première cellule montante d’univalence contenant un point Ji.
Faisons de même dans les z angles V = 0. Nous aurons ainsi 2 n domaines, dans chacun desquels nous pourrons trouver les transformations qui font passer d’une cellule montante à une autre cellule montante.
En prolongeant de toutes les manières possibles ces transformaions, nous aurons des fonctions multiformes, et le tableau de composition de ces fonctions multiformes ne donnerait plus un groupe, mais un hypergroupe.
Pour cet exemple encore, en se basant sur le fait que toutes les courbes V sont complètes, nous pourrions établir la propriété fondamentale, à savoir que :
Toute transformation de l'hypergroupe représente une cellule sur une somme de cellules.
Vu et approuvé :
Paris, le 3 décembre 1937.
Le Doyen DE LA FACULTÉ DES SCIENCES, Ca. MAURAIN.
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 3 décembre 1937.
Le RecTEUR DE L'ACADÉMIE DE PARIS,
