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hr —
Pour passer de = io tpar Vies ñ x passer de la cellule limitée Pan Mc NET attoutes les autres cellules, il faut avoir recours aux transformations
hi l m
ces transformations forment un groupe cyclique d'ordre infini. C’est le groupe périodique simple; litération indéfinie d’une quelconque des fonctions de ce groupe conduit au point z — 0.
Etude de la fonction entière : = ef. — Posons z:—R, ei",
nous trouvons Z = ReiY — ekcos VipiRisin Va :
en ramenant le point singulier essentiel à l’origine par la tansfor-
formation, z—-; on pose encore -; — Re", et l’on trouve de
même 9 Mr Z — 6°" — eRacos Vs piRisin Vs ER À, Vi #0 OL Fort LAVE Il vient ; I Ion RER co VE cos 20; D op" 7 2 A 7 ! = M—=R; sinVM —— — sin n 0.
fe]
Courbes KR :
LogR = R; cosVi= — cosn0.
eo)
I $ 3 Traçons les n cellules descendantes de = —; à parur :
de z — 0. Sur chacune de ces n cellules e‘” se conduira comme e’ sur le plan P tout entier.
; Fe Lee 27 Soit la première cellule G,, limitée par 0 — 0 et = — En que
l’on décrit en faisant tourner la demi-droite 0 — const., dans le
sens négatif autour de l’origine d’un angle 0=——.
= 3x Fr 2
Les demi-droites 0 = — RE Tr sont les courbes logR — 0,
= R=—1. Dans l’angle 0 — = 202— 2, cosn estnégalif, log R est
aussi négatif, on est dans la portion de cellule C, comprise entre
Z=<V,< 7, R prend toutes les valeurs comprises entre o et 1; DIT = ©
R= 0, logR = — w, R,:— + , on est au point O.
Dans l’angle + = >9> logR> 0, R prend toutes les
91 —= = valeurs comprises entre 1.61 + co. Il y a donc alternativement des
angles R—o et R—, égaux chacun d’eux à is el séparés par
les demi-droites R = 1.
Les courbes logR — const. forment dans chacun de ces angles une famille composée d’unc branche de rosaces à 2 2 branches, tan- ; . (2k—1)7 2k+1)r gente en O, aux deux demi-droites 0 — Ê = — qui encadrent l’angle. Les branches de rosaces R — 1 se réduisent
: ; (ok —Æ1i)r aux demi-droites 4 — Re
Courbes V (fig. 25
V = RisinVi—— — sinn0.
o!t - : à kx Les branches de V — 0 sont les demi-droites 0 — Sa Sur les (2h +1)z
demi-droites 9 — - » R croît à partir de R — 0, en s’éloi-
gnant du point O; et en O, R — 0. Sur les demi-droites 9 — ,
R = « en O, et décroît à partir de l’infini, quand on s’éloigne de O. — (2h +1)z
- » Vest positif et croît de
Dans les angles . 202
AE . 2h +1)r zéro à + co, tandis que dans les angles — ne 0e : V est négatif et décroît de zéro à — c.
V— Ho, les courbes V correspondantes se réduisent au
2hir TE anne D) É TRES 2
point O. Dans un angle quelconque —
branche de V — const. est une branche de rosace à 2 branches. V variant, cette branche de rosacc forme une famille, tangente en O 2hT 22 (2h +1)r AE D
» sc réduisant
aux deux demi-droites 0 — —
V—o au point O,et V — 0 aux deux demi-droites précédentes.
Dans le sens R croissant, les courbes V prennent naissance en O dans les angles R = 0, pour aller aboutir en O, R— +, dans les angles R — co.
Fig. 25.
+x CELLULES D'UNIVALENCE : 1° Cellules montantes. -— Faisons
varier V de V—2kr, à V—2(k+in; si À est positif dans chacun des » angles V = 0, nous balayons une cellule d’univalence, ayant son origine en O, R — 0, et son extrémité également en O, R = «. En donnant à Æ toutes les valeurs entières de À — — «,
à K—-+c, nous obtenons le pavage de P en cellules mon- Es tantes de e°”.
° Cellules descendantes. — Ce sont les cellules montantes parcourues de R — + œ à R — o, c’est-à-dire en sens inverse.
Groupe d'automorphie. — Dans un même angle
AT pin TE. 7
ES, pes on obtient facilement les transformations qui permettent de passer d’une cellule quelconque à une autre cellule quelconque.
Mais les transformations élémentaires ne sont plus des fonctions uniformes. en les étendant à tout le plan, on obtient des fonctions multiformes., Et le tableau de composition de ces fonctions multiformes donnerait un hypergroupe. Toutefois, comme pour le polynome, les éléments de l’hypergroupe transforment chaque cellule en une somme exacte de cellules.
{2. Les fonctions entières de la forme Z — 6e"). Nous ramenons le point singulier essentiel à distance finie par la transforma-
Lion y — -; el nous posons
d’où
1 COS Vu.
R; sin V1.
Les nr cellules descendantes de P(2); qui partent de z—0, \&S
, ee : de (2 x =
jouent vis-à-vis de la fonction entière e <) le même rôle que le T
plan P joue vis-à-vis de ef.
Dans une circonférence de centre z — o, et de rayon suffisam-
ment petit, le réseau fondamental de P(=) se rapproche d’aussi
près que l’on veut du réseau de = et tend vers lui le rayon de la
circonférence tendant vers zéro.
P(- + Nous pouvons donc dans l'étude de e () au voisinage et autour , I ; A de 4 — 0, remplacer le réseau de P(:) par le réseau de —. Z
; Ë Sao , A Courbes R. — Pour simplifier, faisons A, — 1, le réseau de
gt R YA I coïncide avec le réseau de —: Quand A, /1, on passe du réseau
de — au réseau de —; par une rotation autour de z —o, et par la
multiplication des modules par un nombre fixe.
me
On a donc
