DL ER RNCE PITA

En ji, l'équation est singI—0, ou 9 — A il y a donc 2q demi-tangentes et 2 branches de V, formant en 7; = 0, une étoile régulière. Ges 2g branches constituent un point multiple d'ordre 4, puisque les 24 demi-tangentes sont deux à deux en ligne droite formant q tangentes distinctes.

ee. — Mais

|P(z) = R?= a+ 2ar7cosg0 +... (1);

2kT : Ê —, R croît, tandis

quand 3 s'éloigne de y; sur les branches ÿ —

En ji, R—a> 0; lorsque R < x, R tend vers « le point z qui cor-

4 2k +1)x respond à R se trouve sur l’une des branches 0 — CEE, que nous

que R décroîit quand 3 s’éloigne sur les branches 0 —

appelons les branches d'accès à j;, R continuant à croître à partir de R=— x, le point 3 correspondant à R passe sur une des

deux branches 4 — ae qui encadrent chaque branche d’accès,

ce sont les branches d’éloignement.

Quand donc z suit une branche d’accès de V = V;, dans le

sens R croissant, arrivé en , R continuant à croître, z passe sur l’une des deux branches d’éloignement qui encadrent la branche d’accès

. Pi - .

et font avec elle, chacune respectivement un angle ré Nous disons

() Voir p. 5.

que la branche d'accès s'est cassée en j, et c’est ce phénomène

que nous appelons une cassure. En Ji, on trouve q branches ) x 2 . .

d’accès et q branches d’éloignement qui s'alternent autour

. . ñ a TT de j; en faisant un angle égal à —.

; sl

Etudions maintenant la distribution des courbes V autour de j. Reprenons l’équation (7)

o=asinV + r#sin(V — 96) +...

r4 Sin(g0—V)+...—asinV;

à un infiniment petit d'ordre supérieur près l'équation des courbes V se réduit à l'équation

(9) r7 sin(g0—V)=asinV; |

et en posant © = 67

(10) | r4 sing? = asinV.

Discussion miSinN eo LE En ES CES Go q

2° sin V <o e PA re T z = (2k+1)r Poe VeeCEr)r (7 ” FAT q Donc sin V <o, et tendant vers zéro, il y a g branches de V 2 k c 2(Æ c

ane les anele ne CD, y q q arrivent au contact et forment, en /;—0, un point multiple

d'ordre q à tangentes distinctes; sin V > o, on trouve de nouveau

—0, ces g branches

q branches dans les angles . <O< (k+i)s.

Le point jiest un col multiple d'ordre q pour la famille V, — Dans le cas particulier g —1, le point 7; devient un point ordinaire a de P(z). Par ce point, il passe une seule branche de V,

Ni —

admettant en & une tangente unique; et au premier ordre près, la famille R au voisinage de a prend l’aspect d'une famille de droites parallèles à cette tangente.

Etude de la famille V au voisinage du point à l'infini — Reprenons la relation (5) (!), et écrivons-la sous la forme

Ce) R= (ANR

en posant l = x5+ 1yo.

On trouve immédiatement pour l’équation des asymptotes

0 =] | —— = tang | ———— |.

Les asymptotes aux courbes V vont donc toutes passer le point [to + éyo |, affixe de F.

Au point à l'infini il aboutit z branches de V — o, formant une

() Voir page 8.

4 2 A LC . oi 27 A étoile régulière. Il y a donc n angles égaux à = quand V croit

de o à 27, chacun de ces angles est balayé par une branche de V tournant dans le sens négatif autour du point à l'infini.

DériniTion. — Pinceaux descendants. — Les courbes V dans chacun des x» angles forment un pinceau. Ce sont des pinceaux descendants, car R décroit quand 3 s'éloigne du point à l'infini sur l’une quelconque des courbes du pinceau.

Le point à l’infint est un nœud de la famille V et de ce point il part n pinceaux descendants.

Etude d’une branche de la courbe V = à. à partir d’un zéro a; ? L de P(z), R croissant de o à +. — Sur la branche de V -— &, on ) ) peut suivre le point z correspondant à R sans être Jamais arrêté, R croissant. En un point ordinaire a, on a P ;

P(a) dR

PCA) rare

et l’on passe du point 3 au point (3 + h) correspondant à (R + dk). En un point 7; chaque branche d’accès se casse en donnant deux

branches d’éloignement sur l’une desquelles R continue à croître :

Lo EU) PERS ar PIC RER

et l’on passe du point j; au point 7;+ h, sur l’une des deux branches d’éloignement.

On est donc jamais arrêté, et R croissant, indéfiniment l’affixe du point 3 correspondant à R s’éloigne à l'infini.

Nous citerons encore quelques propriétés importantes des courbes V.

Taéonème II. — {ne peut exister à distance finite aucune boucle fermée, soit formée exclusivement de portions d’une même courbe V, soit de portions de différentes courbes V.

La première partie du théorème se démontre immédiatement en remarquant que arg V est une fonction harmonique égale à R{ilogP(z)]; donc V — à ne peut pas être une courbe fermée.

Pour démontrer la deuxième partie on fait la représentation conforme du domaine limité parles différentes courbes V sur le plan Z en utilisant la relation Z—P(z). L'image du domaine fermé serait un domaine ouvert limité par des portions finies de demidroites : ArgZ — const; l’image contiendrait le point Z —. Le domaine lui-même contiendrail 2—, ce qui est contraire à

l'hypothèse.

Taéorèue IV. — Sur une courbe V = à, qui joint un zéro a; de P(2) à un autre zéro ax de P(2), il y a au moins un point ji.

En effet, le long de cette courbe PACAIREN SE

f(ai)= 0, f(ar) = 0; la somme (P?+ Q?) passe par un maximum, el l’on a, en ce point,

dP dQ P RAT 7 Q ds 0; et comme ü —= Const.

dP dQ RE 2e) 0 == ds ; das à

on en conclut

dP dQ FA —= FE = O0.

Or dP oP oP A = D ct Dpt dQ 9P dP .

F , C + — sin, avec Cosa — cr sin a — Lo ds USE donc oP oP = = dy = 0, c’est-à-dire J'(JD) = 0.

Sens de circulation sur les branches fermées de R — const. — Sur une branche fermée de R au voisinage d’un zéro de P(z), le point z correspondant à V tourne dans le sens positif par rapport au zéro quand V croît.

Ce sens de circulation se conserve de proche en proche R croissant, se perpétue à travers les raccordements aux points J; pour devenir le sens négatif autour du point à l’infini.

Description globale de la famille V. — Prenons V Z V;, la courbe V admet nr branches, qui ne présentent pas de cassures. Quand V croît de o à 27, les n branches tournent autour des zéros a; de P(z3) et autour du point à l'infini, se cassent aux points 7;, et balaïent le plan P tout entier.

Réseau de P(3). — L'ensemble des deux familles R et V forme dans P un réseau orthogonal. Sur les mailles de ce réseau P(3) prend n fois toute valeur réelle ou complexe.

4. Cellules d’univalence. Étude détaillée de la juxtaposition de pinceaux montants (!). — Considérons un pinceau montant parlant d’un zéro à; de P(z). Si a; est racine simple, il

(:) Voir page 11.

THÈSE HIBBERT 9

Lio

part de a; un et un seul pinceau montant; la branche V—0o coïncide avec la branche V — 27. Si au contraire a; est racine d'ordre g, de P(z) il part de &;, g pinceaux. La courbe V —0, de l’un des g pinceaux, ne coïncide pas avec la courbe V =27, du mème pinceau; ces deux courbes limitent le pinceau, et font en à;

-; en tournant autour de a; dans le sens positif q

un angle égal à

et dans le voisinage de a;, on voit que la courbe V = 27 d’un pinceau est la courbe V—o du pinceau suivant. Nous allons examiner séparément le cas de a;, racine simple, et le cas de a; racine d’ordre q:

1° a; racine simple. —-1l part de a; un seul pinceau; la branche V —0o de V, coïncidant avec la branche V — 27. Afin de donner au pinceau des courbes limites, au voisinage de 4;, nous regarderons la branche V — o en a; comme ayant deux bords, un bord V—o, et un bord V — 27; ces deux bords forment les frontières du pinceau au voisinage de @;.

Suivons R croissant le point 3 qui correspond à R sur chaque branche de V intérieure au pinceau. Sur une au moins de ces branches, soit la branche de V — 2x, comprise dans le pinceau o<a<ar, on doit rencontrer un point /;. Si, en effet, on ne rencontrait pas un tel point, le pinceau d’origine a; couvrirait tout le plan P, et le polynome P(2) serait du premier degré.

On doit, par conséquent, rencontrer un point 7;; la rencontre se fait sur une branche V == > de V dans le pinceau ou sur la frontière du pinceau. En ce point j;, la branche de V — « se casse en deux branches ou éléments de cassure V — &, qui font partie de la frontière du pinceau à partir de 7;. R croissant, on suivra le point correspondant à R sur les deux branches de la cassure en Ji jusqu’à l'infini, en restant sur la frontière du pinceau. À chaque valeur de R, R > R;, il existe un seul point sur chacune des deux branches où P (3) prend la même valeur ReïV;. L'ensemble des deux branches à partir de la cassure en j; délimite un domaine, qui forme une Lone n’Eencrave dans l'étendue occupée par le pinceau. Cette zone d’enclave s'étend toujours jusqu’à l'infini, puisque les deux branches de cassure ne peuvent pas se rencontrer à distance finie, sans donner naissance à une boucle fermée,

limitée par les branches d’une même courbe V — +, ce qui n’est

pas possible.

Donc, en chaque point ji, le premier j; rencontré par le point 3 représentatif de R, R croissant à partir de à; sur une branche de V — à, il apparaît une zone d’enclave du pinceau. Les points ji étant en nombre limité, le nombre des zones d'enclave sera aussi limité; il y en aura au moins une et au plus (n—1). , Toutefois, si V;—o, ou 27, la zone d’enclave déterminée ne sera plus enclavée dans le domaine même du pinceau, mais sur la frontière du domaine. A partir de 7;, V —0 ne coïncidera plus avec V — 27, dans le pinceau.

Tout pinceau prenant naissance en une racine simple de P(z), couvre tout entier un domaine du plan P au voisinage de cette racine; et est limité dans ce même voisinage par les bords V — 0, V —27, de la branche de V — 0, de V qui passe par la racine. St sur V=o, il n'y a aucun point ji, le pinceau comprendra dans l’intérieur de son domaine au moins une zone d’enclave; si au contraire sur V = 0, il y a au moins un point ji, il se peut qu'iln'y ait plus de zone d’enclave à l’intérieur du pinceau; la zone d’enclave se trouvera sur la frontière du pinceau.

2° a; est racine d'ordre q. —- Considérons dans le voisinage de ai, un des q pinceaux d’origine &;; la branche V — 0, du pinceau choisi, sera l'origine du pinceau; et la branche V — 27, l'extrémité du même pinceau. Et suivons les branches V — à de V, 0<a<+2r, comprises dans le pinceau. Sur les courbes V — 0, V— 27 du pinceau, le point représentatif z de R peut être suivi de R— 0 à R—+; le pinceau extérieurement est complètement délimité. A l’intérieur du pinceau, il peut se présenter deux cas. Dans le premier cas, il n’y a pas de point 7; dans le pinceau; le pinceau est un pinceau uni qui s'étend de a; jusqu’à l’infini; dans le second, il y à un ou plusieurs points 7;, d'arguments distincts, le pinceau présente une ou plusieurs zones d’enclave.

L'ensemble des q pinceaux d’origine a; présentera donc des zones d’enclaves, soit intérieures aux différents pinceaux,

soit sur la frontière des pinceaux, ces dernières provenant des points ji, où V; = 0; car s’il n'en était pas aïnst les q pinceaux couvriratent le plan P et P(z) serait de la forme (z— a).

Relations avec les cellules d’univalence de M. Marty. — Soilun pinceau montant tel que nous venons de le définir, prenant naissance en &, zéro simple ou multiple de P(z3), limité extérieuremént par une branche V — 0, de V en a;, etune branche V — 27, de V au même point; et limité intérieurement par les deux éléments V;, de la cassure au premier point J;, que le point représentauif & de R rencontre sur V;, quand R croît à partir de zéro. Il peut exister, en effet, sur une même branche de V — & d’un pinceau, plusieurs points ;; celui de ces points 7; à parur duquel les deux éléments de la cassure V; font partie de la frontière du pinceau, est le point 7; quiest de module |J;| le moins élevé. Aux autres points 7; sur V;, un seul des deux éléments de la cassure forme la frontière du pinceau.

La portion de la famille R, découpée par le domaine du pinceau comprend toutes les valeurs de R, depuis zéro jusqu’à l'infini, puisque sur chaque branche de V —c, intérieure au pinceau R varie de zéro à +; les éléments de R qui la constituent forment avec les branches de V du pinceau un réseau orthogonal. Excluons du pinceau la courbe V = 27; et à partir de chaque point j; point de départ de cassures, excluons celui des deux éléments de la cassure qui se Lrouve à la gauche d’un observateur, qui debout en 7; sur le plan P regarde à l’intérieur de la zone d’enclave créée par la cassure. Nous obtenons un domaine du plan P, dans lequel P(3) prend une fois et une seule chacune des valeurs complexes du plan P, y compris zéro et la valeur infinie.

Le domaine ainsi défint est une cellule d’univalence au sens

de M. F. Marty (*).

Tuéorème V. — Dans chaque zone d'enclave, il existe au

moins une racine de P(z:), et par conséquent au moins une cellule d'univalence.

(1) F. Marty, Sur la répartition des valeurs d'une fonction méromorphe (Annales de la Fa. des Sciences de Toulouse, 1931). — Paur Moxrer, Lecons sur les fonclions univalentes ou multivalentes, Chap. I, p. 10, Paris 1933.

En effet, la représentation conforme de la zone d’enclave sur le plan des Z par la relation Z = P(z), applique les lignes frontières, branches de V = V;,, sur les demi-droites V — V, du plan des Z, demi-droites joignant le point Z — 0 au point Z=— ; et l’application se fait sur les parties de ces demi-droites comprises entre R,, et l'infini. L'image dans le plan des Z, d’un point 3 — « de la zone d’enclave, V,;:£ V;, sera en dchors de la demi-droite V — V.. De ce point, que nous désignerons par 4, nous pourrons tracer un lacet continu aboutissant à Z —0, et ne rencontrant pas la demi-droite V = V;. L'image de ce lacet sur le plan P sera un chemin complètement intérieur à la zone d’enclave et conduisant en un point à; racine de P(:).

La zone d’enclave comprendra donc toujours au moins une racine a; de P(=), qui sera l’origine d'au moins une cellule d'univalence tout entière située dans la zone.

Taéorème VI. — L'image d’une cellule d'univalence est une étoile de Mittag-Leffler.

L'image comprend, en effet, tout le plan des Z, moins les coupures. qui sont les demi-droites V — 0, à partir de Z — 0, pour les racines multiples; et les portions de demi-droites V = V;, depuis les points R;, images des points 7; où la cassure se fait jusqu’au point à l'infini.

Découpage du plan P, en cellules d’univalence par les pénceaux montants. — Soit a; une racine d’ordre qg de P(z), nous supposons construites les qg cellules d’univalence partant de ai. Considérons ce qui se passe en une cassure au point 7;, cassure dont les deux branches forment la zone d’enclave, dont Ji est le sommet. En supposant 7; racine d'ordre (g—1) de P(z), il ya q directions à partir de 7; sur lesquelles R décroît quand le point représentatif de R s'éloigne de 7;, et qui sont des branches de V = V, et aussi qg directions, également des branches de V — V;; sur lesquelles R croît à partir de 7;. Les q branches d’accès de Ji conduisent à q racines distinctes de P(z); a; étant une de ces racines. Les (g— 1) autres racines sont dans la zone d’enclave.

Construisons les cellules d’univalence admettant ces (g—1) racines comme origines. Deux cas peuvent se présenter : ou bien la zone est remplie, ou bien elle ne l’est pas. Si elle l'est, il n’y a

ER Lu

plus qu’à s’occuper des autres zones d’enclave; si elle ne l’est pas, le domaine restant, après la construction des (g—1) cellules, forme une ou plusieurs nouvelles zones d'enclave. On recommencera sur chacune des nouvelles zones, l'opération que nous venons

Fig. 8.

À e ® K NC VV 4er , Ê V, 40% ?

V=0n Lou ; Si 0 CV-2r 3 V=V V=V Je V , a : VV, V=V,, ( 7 denc/ave) Vav, V .

V=?r %e V=2r . ai)

ue V=2r Fe V=2r

V=or 1 Ÿ=0

__rV=0 F à Von

d'indiquer. £t comme P(z) r'admet pas d'espaces lacunaires et que d’autre part le nombre des racines de P(2) est limité, au bout d'un nombre fini d'opérations de remplissage, les zones d'enclaves seront toutes entièrement recouvertes. Le plan P tout entier sera pavé de cellules d'univalence, que nous appellerons les cellules montantes.

Les branches de V — 0, ou V — V,;, rejetées par une cellule, sont absorbées par une cellule limitrophe, puisque toute branche de V—=V,,R>R;, à gauche pour un observateur debout en 7; et regardant dans la zone d’enclave, est à droite pour un observateur vis-à-vis duquel la première cellule est dans la zone d’enclave, de la cellule à laquelle il est lié.

5. Cellules d’univalence. Études de la juxtaposition des pinceaux descendants (!). — Considérons les n pinceaux descendants qui

(1) Voir page 15.