DOIGT

STADt,

limite, diamètre du soleil.

COCDtB.

HECRE.

jour.

Rapports I

/ temps . . .

Valeur en|

(degrés...

Ih

N. B. Les astérisques indiquant les nombres donnés; les autres en sont déduits.

(1) Hist. de l'astr, moderne ^ Eclairciss., L I, § 36.

(2) G. Beveridge, Institut, chronologies j I, viii, p. 8.

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CHEZ LES GHALDÉENS. 265

La division de Téquateur et du jour se faisait donc, chez les (Jialdéens, par 24% 720% 8640« et25920\ Il est vraisemblable qu entre le 24® et le 720* il y avait quelque mesure intermédiaire. Nous pouvons conclure en effet de YAlmageste que les Chaldéens comptaient aussi par coudées (1), qu*Hipparque paraît avoir quelquefois employées diaprés eux (2) : elles répondaient chacune à 4 diamètres ou à 2 degrés (3) ; conséquemment elles étaient contenues 180 fois dans la circonférence.

Il résulte des recherches précédentes que la division du cercle en 360 parties peut tenir à une cause qu'on n'a point encore soupçonnée.

Cette division a pour base, selon les uns, le nombre de jours contenus dans l'année solaire (4), non compris les épagomënes ; selon d'autres, un terme moyen entre la durée de l'année solaire et celle de Tannée lunaire (5), ou bien la propriété même du nombre duodécimal, qui a dû être choisi de préférence, à cause de la facilité qu'il offre au calcul (6). Tous s'accordent en un point, c'est qu'une division du cercle a été amenée par la nécessité de déterminer avec exactitude les distances angulaires des astres. Il est clair qu'on la doit à l'astronomie.

Or j'ai fait voir que les Chaldéens non seulement avaient cru le diamètre du soleil la 720^ partie du cercle, mais s'étaient servis de ce diamètre pour diviser la sphère : n'est-il pas alors naturel de penser qu'un degré n'est autre chose que le double diamètre ou le diaide (double stade) astronomique? Car de db'e qu'on a d'abord imaginé la division en 720 parties, et qu'ensuite le diamètre du soleil s'est trouvé contenu juste 720 fois dans le cercle, c'est faire inutilement une supposition peu probable, quand il est si simple d'admettre, au contraire, que la division est postérieure à l'observation et a été amenée par elle.

(!) Plol., Almag,, IX, p. HO, 171.

(2} Sirab., IT, p. 128, A, B, et 197, D.

(3) Montignot, i^/a/ du ciely p. 6; Gossellio, Hecfi, sur la géog. syst,, !, p. 27.

(4) AchlUes Tallas, Isagog., § 26.

(5) Riccioli, Almag. nov., p. 6, col. 1.

(6) Bailly, Htst, de tastr. ancienne, 1. III, § 9,

Ici on peut me faire une objection : s'il est vrai, dirait-on, que le diamètre du soleil soit le module primitif de la division du cercle, pourquoi cette division a-t-cUe été composée de 360, et non de 720 parties? Je répondrai à cette objection en présentant sur la division du cercle quelques aperçus qui me paraissent avoir échappé aux historiens des mathématiques et de Tastronomie.

Je commencerai par observer que la méthode de partager le cercle en 360 parties n'est point aussi ancienne parmi les Grecs et n'a jamais été aussi générale qu'on paraît disposé à le croiro.

On n'en trouve aucun vestige dans les auteurs antérieurs à Autolycus et à Aristote. Ces deux auteurs eux-mêmes n'en disent jamais un mot; on n'estimait alors les angles que par le rapport de l'arc intercepté entre leurs côtés avec la circonférence. C'est ainsi qu'Eudemus, disciple d'Aristote, dans un fragment de son Histoire de V astronomie cité par Anatolius, dit que la distance du tropique à Téquateur est égale, au côlé d'un polygone à quinze faces ; ce qu'Anatolius explique par 24 degrés (1).

Il en est de même d'Aristarque de Samos ; cet astronome, selon Archimède, disait que le diamètre du soleil est compris 720 fois dans le cercle décrit par cet astre ; ailleurs il dit que la lune sous-tend la 15®, partie d'un signe (2) ; et dans tout le cours de son traité des grandeurs du soleil et de la lune^ il ne suit pas d'autre méthode (3).

Larnême observation s'applique à Archimède, qui ne fait nulle part mention de la division en 360 parties, quoique, dans le traité sur la mesure du^ cercle et dans YArénaire^ il y ait vingt endroits où il n'aurait pas manqué d'en dire un mot, si elle avait été en usage. Partout c'est le côté du polygone inscrit qui lui sert à déterminer la mesure des angles.

Dans tout ce qui nous est resté d'Ératosthène", on ne trouve aucune trace de cette division. Sa détermination de la double

(1) Analol., Fragm. ap. Fabric. in Biblioih. grxc., lU, 462, éd. Harles.

(2) AriBt. Sam., De magnit. solis et lu7iXy prop. 5, p. 22 de Téd. de M. de Fortia.

(3) Id,, prop. 5, 8, 12, 13, p. 23, 35, 48, 52, 36, etc.

obliquité (s'il est vrai qu'elle soit de lui, ce que je ne crois pas) n'est estimée que par une fraction de cercle ^ (1). Quant à la distribution qu'il a faite des stades pour fixer les latitudes et longitudes géographiques, elle n'a rien de commun avec une division quelconque du cercle (2). Il comptait 252,000 stades pour la circonférence de la terre ; mais nulle part on ne voit quil ait mis 700 stades dans un degré.

Il semble que ce soit entre Ératosthène et Hipparque que cette division a commencé à s'introduire. Hipparque remploie dans le Comtnentaire sur Aratus^ qu'on lui attribue, et dans tout ce que Ptolémée nous a conservé de ce grand observateur. Il adopte la mesure de 252,000 stades, et compte 700 stades pour un degré, nous dit Strabon (II, p. 194, D) ; c'est sans doub en se servant de la division en 360 parties qu'il avait exprimé la diminution de l'intervalle des méridiens sur la carte qu'il soumit à la projection stéréographique (3).

C'est ainsi que l'histoire de* la science concourt avec le raisonnement à montrer que l'astronomie seule rend indispensable l'établissement d'une division constante du cercle, et que la géométrie peut être trèâ perfectionnée sans qu'on éprouve le besoin de cette division : d'où résulterait une nouvelle preuve que les Grecs, avant Hipparque, avaient fait très peu d'observations (4).

Quoique la division en 360 degrés ait dû se répandre rapidement, il est prouvé par des faits postérieurs qu'elle fut tou-

(1) Ptol., Almag,, I, n, p. 49.

(2) GosseUin, Géog, des Grecs analysée, p. 7-19.

(3) GosselUn, Rech, sur la géog. syst., I, p. 5 et 48.

(4) On pourrait objecter qu'AristyUe et Timocharis, cinquante ans avant Ératosthène, ont employé la graduation en 360 parties, du moins si Ton en juge d'après la position de quelques étoiles fixes qu'Hipparque compare à celle qu'elles avaient de son temps. Je répondrai qu'Hipparque, qui nous a transmis ces observations, a pu fort bien les réduire à sa graduation, pour en rendre la comparaison avec les siennes plus facile et plus claire. Qu*Aristylle et Timocharis aient employé une division quelconque du cercle pour indiquer la place de ces étoiles, cela est certain. Mais quelle était cette division ? On l ignore. Dans tous les xsas, on voit que leurs indications manquaient de précision et de certitude (xa\ Ta^Taiç oyStz âdtardcxToiç o(^t' eicE^ipYa^liévai;. Ptol., MI, I, t. Il, p. 2}, et même qu'elles étaient grossières (ndcvu hXoaxepiaç EiXvipLaiva;, p. 15).

jours de peu d usage. Posidonius, un siècle après, exjHrimait encore les ai*cs k la manière d'Arislarque : il exprime Tare intercepté entre Rhodes et Alexandrie en parties de la circonférence, et non pas en degrés (1). Strabon fait mention de deux manières de partager le cercle : Tune en 60 parties, dont parlent Géminus et Achilles Tatius (2) ; Taulre en 360 parties. A propos de cette dernière, il dit : « Si Ton voulait diviser le cercle en 360 parties, le degré contiendrait 700 stades (3)» ; ce qui n'annonce nullement une division généralement adoptée. Ptolémée partage le cercle, comme il Tannonce (4), en 360 parties ; mais ce qui démontre que Tusage de cette division n'était pas commun, c'est qu'il s'exprime presque toujours ainsi : Tel angle est de tant de parties de celles dont 360 sont contenues dans la circonférence. Les expressions de son coifimentateur Théon sont même dans un endroit remarquables : « Ptolémée, dit-il, suppose le cercle divisé en 360 sections, qu'il appelle parties^; puis, pour la facUité du calcul, il veut que nous partagions les parties en 60 autres (5). » Ainsi Théon semble avoir regardé Ptolémée comme l'inventeur de cette division, ou tout au moins comme celui qui a le plus contribué à l'introduire; et l'on s'en étonnera d'autant moins que, dans un autre endroit, Théon s'exprime de manière à nous faire voir qu'il croyait qu Hipparque se servait d'une division en 83 parties (6) ; parce qu'il prenait le dénominateur 83 de la fraction jj , par laquelle Ératosthène et Hipparque estimèrent la double obliquité, pour une division du cercle, tandis que ce n'est qu'une expression fractionnah*e réduite aux moindres

(1) Posid. ap, Cleomed,, I, iO, p. 51.

(2) Strab., II, p. 174, A. — GemÎD. ad Arat., § 30. — Ach. Tatias m Araf., § 26, 29, 30.

(3) Strab., II, p. 194, C : El 8iq ti; etç Tpiaxiaia Mi^xovTa TitT^iiaxa tI|*oi tov (liyitfTOV xOxXov, ^orai lirraxofffcov (rradicov exa^ov tûv TjAtuAaTfov.

(4) Ptol., Almag., 1, 9, p. 26, t. I.

(5) Comm. in Ptol,, p. 39 med. TwoTÎBexai xbv ptèv xvxXov $iap»T<i69ti eî; t<n x|iiQ|iaTa x\t xa\ xaXeî exa^tov 6ta7TV}(Aa (totpiaiov - EvxaOOa «àXiv tow t\t\i.exaxti' pJOTOu npovoou(i$voc, ^o^Xerai r,tiac xà |iépv) tcov (lotp&v ei( eliQxoorà Xat{i6avEtv.

(6) Ou yàp auTOîc àpiOfiotc ote "Iiticap/o; s^pi^aaTO xa\ à IlToXâtuiloc * aXX* 4 i*.^ Iwitapxoç «ç Sy {koipaç xbv iiéyiorTOv xuxXov ôigîXev • à 8i IltoXeiiaîoc elç tÇ xa\ çr.fft {Comm, m Ptol, y p. 167, 1. 30).

termes. Cette méprise montre du moins que ce commentateur regardait comme très récente la division du cercle en 360 parties. C*est encore ce qui résulte de ce passag^e d'Ach. Tatius : « Quelques-uns partagent le cercle en 360 parties {Isag, , § 26). »

Mais, outre la division en 360 parties, Ptolémée en emploie encore une autre en 720 parties, principalement dans les livres III, IV, Y et YI, qui traitent de la théorie du soleil et de la lune : il y compare les deux modes de division en ces termes : Telanffle est^ par exemple, de 4<> iO' de ceux dont 360 font deux angles droits^ et de 2<* 20^ de ceux dont 360 font quatre angles droits. Cette manière de s'exprimer, qui revient une quarantaine de fois dans les livresque j*ai cités, et plusieurs fois dans la même page (1), prouve sans réplique qu'on s*est servi fréquemment de la division du cercle en 720 parties, qui a son fondement dans un objet naturel ; auti*ement, Ptolémée aurait-il pris tant de soin de la comparer avec celle qu'il adoptait de préférence ?

Il n'est pas possible de douter que les deux divisions en 360 et en 720 parties niaient une origine commune, puisqu elles ne sont évidemnient que le doublement ou le dédoublement Tune de l'autre. J'ai prouvé que leur usage fut tout à fait inconnu aux Grecs avant l'établissement de Técole d'Alexandrie, peut-être même avant Hipparque, qui fit des observations chaldéennes un usage bien plus général qu*aucun de ses prédécesseurs ; d'où Ton se trouve naturellement conduit, par la seule analogie, à conclure que les Alexandrins en auront puisé la connaissance chez les Chaldéens ; et quand on vient à considérer qu'en effet les Chaldéens partageaient la circonférence en 720 parties, dont chacune était déterminée par la grandeur du diamètre du soleil, on ne saurait refuser une grande probabilité historique à cette proposition : La mesure du diamètre du soleil, contenu 720 fois dans féquateur, est le principe de la division du cercle en 360 parties.

J attribue la préférence qu'Hipparque et d'autres mathéma-

(i) Àhiag.^ t. I, p. 187-301, 333, 348 et passim.

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