C.R., t. IX, p. 283 (26 août

Les principes exposés dans mes précédents Mémoires, comme j'en ai fait l'observation, et comme on le verra de plus en plus par les développements que je donnerai, sont applicables à la solution d'un grand nombre de problèmes de Physique mathématique. Mais, parmi les conséquences qui se déduisent de ces principes, il en est plusieurs qu'il me paraît utile de signaler dès à présent. Ainsi, en particulier, je suis parvenu à reconnaître qu'il existe, entre les lois de propagation de la chaleur et les lois de la polarisation de la lumière réfléchie, une connexion intime qu'on n'aurait pas soupçonnée au premier abord, et que je vais établir en peu de mots.

Dans mes Leçons données au Collège de France en 1830 et dans les Mémoires que j'avais déjà publiés à cette époque sur la Théorie de la lumière, j'ai prouvé que les mouvements par ondes planes, qui peuvent se propager dans un système de molécules zsotrope où l’élasticité reste la même en tous sens, sont de deux espèces, savoir : des mouvements dans lesquels les vibrations moléculaires restent parallèles aux plans

des ondes, et des mouvements dans lesquels les vibrations sont perpendiculaires à ces plans; c’est-à-dire, en d’autres termes, des mouvements qui ont lieu sans que la densité varie, et des mouvements qu'accompagne un changement de densité du système. Ainsi s’est trouvée détruite l’objection qu’on avait élevée contre la supposition admise par Fresnel, savoir que, dans les rayons lumineux, 1l existe des vibrations transversales. J'ai remarqué d’ailleurs que, dans le cas où la propagation du mouvement ne s’effectuait pas en tous sens suivant les mêmes lois, les vibrations cessaient d’être rigoureusement parallèles aux plans des ondes, et j'ai montré, d’une part, dans les Exercices de Mathématiques, d'autre part, dans les Mémoires présentés à l’Académie les r7 et 31 mai 1830, comment on pouvait, dans ce cas, obtenir ce que Fresnel appelle la surface des ondes, soit en la considérant comme une surface enveloppée de tous côtés par les ondes planes, qui représentent alors les plans tangents, soit en intégrant généralement les équations des mouvements infiniment petits d’un système de molécules dont quelques-unes, renfermées dans un très petit espace, se trouvent seules, au premier instant, écartées de leurs positions d’équilibre. Lorsque le système de molécules donné devient isotrope, les deux espèces d'ondes, relatives aux vibrations transversales et longitudinales, se propagent avec des vitesses indépendantes de la direction des plans de ces ondes; mais les deux vitesses de propagation, relatives aux deux espèces d'ondes, diffèrent généralement l’une de l’autre. Si, en supposant les équations des mouvements infiniment petits réduites à des équations homogènes du second ordre, on les faisait coincider avec Les formules qu'avait proposées d’abord M. Navier, le rapport des deux vitesses de propagation serait celui de ÿ3 à l'unité. Mais cette valeur particulière du rapport des deux vitesses de propagation ne parait pas devoir être admise dans la théorie de la lumière, et, au contraire, en comparant à l'expérience les formules établies dans mon Mémoire sur la réflexion des mouvements simples, on en conelut que, dans le vide et les milieux dont la surface polarise complètement la lumière réfléchie, la vitesse de propagation des ondes relatives aux

vibrations longitudinales doit s’évanouir. Ainsi, lorsque, dans la théorie de la lumière, on se borne à la première approximation, en négligeant les termes qui peuvent être omis quand on ne tient pas compte de la dispersion des couleurs, on arrive à cette conséquence digne de remarque, non seulement que les vibrations transversales peuvent subsister, mais encore qu'elles sont les seules qui se propagent. Voyons maintenant suivant quelles lois pourront se propager les vibrations longitudinales, et de quelle nature elles pourront être si l’on pousse plus loin l’approximation.

Dans une lettre écrite à M. Ampère le r9 février 1836, et insérée dans les Comptes rendus des séances de l’Académie, j'ai dit qu'il serait intéressant d'examiner sé les vibrations longitudinales ne pourraient pas représenter le mouvement de la chaleur. Or la question que je proposais alors aux physiciens me parait aujourd’hui devoir être résolue par l’affirmative. Je vais en donner les motifs.

Si la chaleur est un mouvement vibratoire, comme tout porte à le croire, et si elle peut se propager dans le vide, c’est-à-dire dans l’éther considéré isolément, il faut qu'elle y soit l’un des mouvements de vibration dont l'éther est susceptible. Or, lorsque des vibrations propagées dans l’éther parviennent à de grandes distances du centre d’ébranlement, en sorte que les surfaces des ondes, prises dans une étendue limitée, puissent être sans erreur sensible considérées comme des surfaces planes, ces vibrations se réduisent nécessairement à celles que comportent des mouvements par ondes planes, c’est-à-dire à des vibrations ou transversales ou longitudinales ('). Donc, puisque les vibrations transversales, qui s'exécutent sans que la densité varie,

(1) S'il restait quelques doutes à cet égard, il suflirait, pour les faire disparaître, de discuter les valeurs que les intégrales générales des mouvements infiniment petits, réduites à leur forme la plus simple, fournissent pour les déplacements et les vitesses des molécules, à de grandes distances du centre d’ébranlement, comme nous l'avons fait, M. Poisson et moi, dans la théorie des ondes propagées à la surface d’un liquide, et comme l’a fait M. Poisson à l'égard des équations proposées d’abord par M. Navier. J'ajouterai que la discussion des intégrales générales des équations homogènes est précisément l’une des deux méthodes par lesquelles j'étais parvenu, en 1830, à former les équations générales des ondes sonores, lumineuses, et à retrouver ce que Fresnel appelle la surface des ondes.

représentent la lumière, 1l ne reste pour représenter la chaleur que les vibrations longitudinales, ou, ce qui revient au même, les vibrations accompagnées d’un changement de densité.

D'autre part, on sait que l’équation aux différences partielles, par laquelle on a réussi à représenter, d’une manière satisfaisante, les lois de la propagation de la chaleur, est, si l’on peut s’exprimer ainsi, une équation boiteuse, cette équation étant du second ordre par rapport aux coordonnées, et du premier ordre seulement par rapport au temps. Comme d’ailleurs, dans les problèmes de Mécanique, les dérivées relatives au temps sont généralement du second ordre, il est naturel de supposer, et c'était, je crois, la pensée de M. Ampère, que l’équation du mouvement de la chaleur tire son origine d’une autre équation dont elle représente une intégrale particulière, et qui serait du second ordre par rapport au temps, mais du quatrième ordre par rapport aux coordonnées. Or, il est remarquable que cette supposition s'accorde parfaitement avec l'hypothèse que la chaleur est représentée dans l’éther par des vibrations qu’accompagne un changement de densité. En effet, dans les mouvements infiniment petits d’un système isotrope, la dilatation du volume se trouve séparément déterminée par une équation aux différences partielles qui ne renferme que des dérivées d'ordre pair, le premier membre étant la dérivée du second ordre relative au temps, et le second membre étant composé de termes qui renferment des dérivées relatives aux coordonnées, savoir, trois dérivées du second ordre, six du quatrième ordre, et ainsi de suite. Or, d’après ce qui a été dit plus haut, la vitesse de propagation des ondes longitudinales sera nulle si l’on réduit les équations des mouvements infiniment petits de l’éther à des équations homogènes. Donc les dérivées du second ordre disparaitront d’elles-mêmes, et les premières, dont on devra tenir compte, seront les dérivées du quatrième ordre. Si d’ailleurs on néglige alors les dérivées d’un ordre supérieur au quatrième, la formule que l’on obtiendra sera précisément l’équation aux différences partelles, dont l’équation connue du mouvement de la chaleur est une intégrale particulière. |

Ainsi, en résumé, si l’on admet que les vibrations de la chaleur dans l’éther sont des vibrations accompagnées d’un changement de densité, alors, en partant de ce fait unique, qu’il existe des corps qui polarisent complètement la lumière par réflexion, on se trouvera conduit à l'équation du mouvement de la chaleur telle que Fourier l’a donnée ; et réciproquement la forme généralement attribuée à l'équation de la chaleur entrainera la possibilité de la polarisation complète dont il s'agit.

Si l’on adopte les principes que nous venons d'exposer, la lumière pourra se propager, sans être accompagnée de chaleur, soit dans le vide et les espaces célestes, comme M. Herschel l'avait pensé, soit dans les corps parfaitement transparents etisophanes. Mais il n’en sera plus de même lorsque la lumière traversera un corps transparent non isophane, ni surtout lorsqu'elle pénétrera, en s’éteignant, dans une couche très mince d’un corps opaque, située près de la surface de ce corps. Alors, en effet, il n’existera plus de vibrations qui, étant sensiblement parallèles aux plans des ondes, s'effectuent sans changement de densité. |

Au reste, pour déterminer d’une manière précise et la nature et Les lois de propagation de la chaleur dans les corps, il pourra être utile de recourir aux équations que j'ai données précédemment et qui représentent les mouvements infiniment petits d’un double système de molécules sollicitées par des forces d'attraction mutuelle. C'est là une question sur laquelle je reviendrai dans de nouveaux Mémoires, où je montrerai de plus comment les équations dont il s’agit peuvent représenter les mouvements des fluides, et en particulier le mouvement du son propagé dans l’air ou dans un autre fluide élastique.

Je joins ici le calcul très simple sur lequel se fonde la théorie cidessus exposée.

Considérons un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle; et soit v la dilatation du volume, au bout du temps #, pour le point (x, y, 3). Si le système est isotrope, alors, en vertu des principes développés dans un précédent Mémoire,

k96 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la dilatation v pourra être séparément déterminée par une équation aux différences partielles de la forme

(&i FU 0 .Ÿ désignant une fonction entière de D,, D,, D,, et même du trinôme Dr +PD; FD;

- mais généralement composée d’un nombre infini de termes. On aura

donc V= a(D2 + D? + D?) + b(D2+ D? + Di}?+...,

a, b désignant des coefficients constants; en: sorte que l'équation (1) deviendra

(2) D'u= a(D? + D; + Di)v + b(DS + D; + Dij'u +...

Si l’on se borne à la première approximation, l'équation (2), réduite à une équation homogène du second ordre, prendra la forme

D'ailleurs, de ce qui a été dit dans le Mémoire sur la Réflexion des mouvements simples, 11 résulte que le coefficient & sera nul pour tout système de molécules dans lequel la lumière réfléchie pourra subir une polarisation complète, par exemple, dans le vide ou l’éther considéré isolément; et qu’alors la formule (3), ou celle que donne une première approximation, deviendra

(4) Fume,

Donc alors, dans Le second membre de l'équation (2), le premier terme dont on devra tenir compte sera celui qui renfermera les dérivées du quatrième ordre, savoir

Si l’on néglige les termes suivants, l'équation (2) pourra être réduite à

EXTRAIT N° 60. h97 ou, ce qui revient au même, à 2 1 [De + 6? (D2 + D? + D?)][D, — bŸ (DE + D? + D?)]Ju — 0. Or on vérifie cette dernière formule en posant $ [De — L(D2 + D? + D2}]u — 0

ou, Ce qui revient au même,

(6) Dev = b*(D£ + D; + Di)u

ou, enfin,

sJ Re

| Sal

dv + CS APR rÉ\astoeton)

et l’on reconnait immédiatement ici l'équation du mouvement de la chaleur telle qu’elle est généralement admise par les physiciens.

Mémoire sur la réduction des intégrales générales d'un système d'équations

linéaires aux différences paruelles.