C.R.,t. IX, p. 184 (5 août

On sait que je me suis déjà occupé, à diverses reprises, de l'intégration des équations du mouvement de notre système planétaire, et que tel a été l’objet direct ou indirect de plusieurs des Mémoires que j'ai publiés à Turin et à Prague, dans les années 1831, 1832, 1833 et 1839. Parmi ces Mémoires, il en est un qui a surtout attiré l'attention des géomètres, les résultats qu'il renferme ayant paru assez nouveaux et assez importants pour que des savants distingués aient voulu en reproduire une traduction italienne, en joignant au texte des Notes fort étendues, propres à familiariser le lecteur avec les méthodes dont j'ai fait usage. Je veux parler du Mémoire qui, comme l'indique son titre, a spécialement pour objet la Mécanique céleste et un nouveau calcul applicable à un grand nombre de questions diverses. C'est dans ce Mémoire que j'ai donné des formules pour la détermination directe de chacun des coefficients numériques relatifs aux perturbations des mouvements planétaires, et pour la simplification de -caleuls qui exigent quelquefois, des astronomes, plusieurs années de travail. Un des membres correspondants de cette Académie, M. Plana, m'ayant parlé du temps que consumaient de pareils calculs, je lui dis que j'étais persuadé qu’il serait possible de les abréger, et même de déterminer immédiatement le coefficient numérique correspondant à une inégalité

donnée. Effectivement, au bout de quelques jours, je lui rapportai des formules à l’aide desquelles on pouvait résoudre de semblables questions, et dont j'avais déjà fait l'application à la détermination de certains nombres qu'il est utile de considérer dans la théorie de Saturne et de Jupiter. Au reste, pour établir les formules dont il s’agit, et d’autres formules analogues renfermées dans le Mémoire ci-dessus mentionné, il suffisait d'appliquer au développement de la fonction, désignée par R dans la Mécanique céleste, des théorèmes bien connus, tels que le théorème de Taylor et le théorème de Lagrange sur le développement des fonctions des racines d'équations algébriques ou transcendantes. Mais il était nécessaire de recourir à d’autres principes et à de nouvelles méthodes pour obtenir des résultats plus importants, que je vais rappeler en peu de mots.

En joignant à la série de Maclaurin le reste qui la complète, et présentant ce reste sous la forme que Lagrange lui a donnée, ou sous d’autres formes du même genre, on peut s'assurer, dans un grand nombre de cas, qu’une fonction explicite d’une seule variable x est développable, pour certaines valeurs de x, en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de cette variable, et déterminer la limite supérieure des modules des valeurs réelles ou imaginaires de x, pour lesquels Le développement subsiste. De plus, la théorie du développement des fonctions explicites de plusieurs variables peut être aisément ramenée à la théorie du développement des fonctions explicites d’une seule variable. Mais il importe d'observer que l'application des règles, à l’aide desquelles on peut décider si la série de Maclaurin est convergente ou divergente, devient souvent très difficile, attendu que dans cette série le terme général, ou proportionnel à la nie puissance de la variable, renferme la dérivée de l’ordre x de la fonction explicite donnée, ou du moins la valeur de cette dérivée qui correspond à une valeur nulle de +, et que, hormis certains cas particuliers, la dérivée de l’ordre »? prend une forme de plus en plus compliquée à mesure que x augmente. |

Quant aux fonctions implicites, on avait présenté pour leurs déve-

EXTRAIT N°58. LS5 loppements en séries, diverses formules déduites le plus souvent de la méthode des coefficients indéterminés. Mais les démonstrations qu’on avait données de ces formules étaient généralement insuffisantes : 1° parce qu'on n’examinait pas d'ordinaire si les séries étaient convergentes ou divergentes, et qu’en conséquence on ne pouvait dire le plus souvent dans quel cas les formules devaient être admises ou rejetées ; 2° parce qu'on ne s'était point attaché à démontrer que les développements obtenus avaient pour sommes les fonctions développées, et qu'il peut arriver qu'une série convergente provienne du développement d’une fonction sans que la somme de la série soit équivalente à la fonction elle-même. Il est vrai que l’établissement de règles générales propres à déterminer dans quels cas les développements des fonctions implicites sont convergents, et représentent ces mêmes fonctions, paraissait offrir de grandes difficultés. On peut en juger en lisant attentivement le Mémoire de M. Laplace sur la convergence ou la divergence de la série que fournit, dans le mouvement elliptique d’une planète, le développement du rayon vecteur suivant les puissances ascendantes de l’excentricité. Je pensai donc que les astronomes et les géomètres attacheralent quelque prix à un travail qui avait pour but d'établir, sur le développement des fonctions, soit explicites, soit implicites, des principes généraux et d’une application facile, à l’aide desquels on pût, non seulement démontrer avec rigueur les formules et indiquer les conditions de leur existence, mais encore fixer les limites des erreurs que l’on commet en négligeant les restes qui doivent compléter les séries. Parmi ces règles, celles qui se rapportent à la fixation des limites des erreurs commises présentaient dans leur ensemble un nouveau calcul que je désignai sous le nom de Calcul des limites. Les principes de ce nouveau calcul se trouvent exposés, avec des applications à la Mécanique céleste, dans les Mémoires lithographiés à Turin, sous les dates du 15 octobre 1831, de 1832 et du 6 mars 1833. L'accueil bienveillant que reçurent ces Mémoires, dès qu'ils eurent été publiés, dut m'encourager à suivre la route qui s'était ouverte devant moi, et à exécuter le dessein que j'avais annoncé (Mémoire du 15 octobre 1831), de faire

k86 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

voir comment le nouveau calcul peut être appliqué aux séries qui représentent les intégrales d’un système d’équations différentielles linéaires ou non linéaires. Tel est effectivement l’objet d’un Mémoire lithographié à Prague en 1835, et dans lequel je montre, d’une part, comment on peut s'assurer de la convergence des séries en question; d’autre part, comment on peut fixer des limites supérieures aux modules des restes qui complètent ces mêmes séries. Toutefois, quoique les résultats auxquels je suis parvenu dans le Mémoire de 1835 paraissent déjà dignes de remarque, cependant ils ne forment qu'une partie de ceux auxquels on se trouve conduit par la méthode dont j'ai fait usage. C’est ce que j'ai déjà observé dans une lettre adressée à M. Coriolis, le 28 janvier 1837. Cette lettre, insérée dans les Comptes rendus de nos séances, renferme l'énoncé de quelques théorèmes importants que je me propose maintenant de développer, surtout sous Le rapport de leurs applications à la Mécanique céleste, à laquelle ils semblent promettre d’heureux et utiles perfectionnements. Pour ne point abuser de l'attention de l’Académie, je me bornerai aujourd’hui à donner l'énoncé précis et la démonstration d'un théorème fondamental inséré dans la lettre dont il s’agit.

TaéorÈME. — x désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonclion réelle ou imaginaire de x sera developpable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, tant que le module de'x conservera une valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la

fonction ou sa dérivée cesse d’être finie et continue.

Démonstration. — Soit J\x) une fonction donnée de la variable +. Si l’on attribue à cette variable une valeur imaginaire z dont le module soit Z et l’argument p, en sorte qu'on ait z = LerV-1, on aura identiquement

(1) Le a AE À 2

EXTRAIT N°58. k87

Supposons maintenant que l’on intègre les deux membres de l’équation (1): 1° par rapport à Z et à partir de Z — 0; 2° par rapport à p entre les limites p = — 7, p — 7. Si la fonction de Z et de p, représentée par /(z), reste, avec sa dérivée f’(z), finie et continue, quel que soit p, pour la valeur attribuée à Z, et pour une valeur plus petite, on trouvera

(a) Ê fs)d= ar flo)

Si, de plus, la fonction f(x) s’évanouit avec x, l’équation (2) donnera simplement

(3) F f(z) dp = 0.

Enfin, si, dans la formule (3), on remplace /{(z) par le produit fts)— ft) z FREE L

æ étant différent de 7, et le module de x inférieur à Z, on en conclura

‘2 (z + (x) L VA x?

LE œ=] M Eap=fte) f (1+2+5 +...) dp = 27 f(x), et par suite

(4) fai | 2,

EAU ot à

L'équation (4) suppose, comme les équations (2) et (3), que la fonction de Z et de p, représentée par f(z), reste, avec sa dérivée f(z), finie et continue pour la valeur attribuée à Z et pour des valeurs plus petites. D'ailleurs, comme le rapport

est la somme de la progression géométrique

k8S COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

qui demeure convergente tant que le module de x reste inférieur au module Z de 3; il suit de la formule (4) que

sera développable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de +, si le module de la variable réelle ou imaginaire æ conserve une valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction f(x) et sa dérivée f’(x) cessent d’être finies et continues.

Ainsi, en particulier, puisque les fonctions COSx, :sinæ, 67, 1e, O0 2

et leurs dérivées du premier ordre ne cessent jamais d’être finies et continues, elles seront toujours développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x. Au contraire, les fonctions

y y >) logfi+ x), arctangz, :.:; IX 1+ÿi— x?

qui, lorsqu'on attribue à x une valeur imaginaire de la forme Zerv=1,

cessent d’être, avec leurs dérivées du premier ordre, fonctions continues de +, au moment où le module Z devient égal à 1, seront certainement développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable x si la valeur réelle ou imaginaire de æ offre un module inférieur à l'unité; mais elles pourront devenir et deviendront en effet divergentes si le module de x surpasse l'unité. Enfin, comme les fonctions

per |

es e” , COS — ?

deviennent discontinues avec leurs dérivées du premier ordre pour une valeur nulle de +, par conséquent lorsque le module de x est le

plus petit possible, elles ne seront jamais développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.

Nota. — La démonstration précédente du théorème énoncé suppose que, si les conditions indiquées dans ce théorème sont remplies, l'équation (1) entraînera toujours l’équation (2). Or c’est ce dont on ne sau rait douter. En effet, admettons que le module Z de z conserve une

valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction f(z)etsa dérivée f’(z) cessent d’être finies et continues. Pour une telle valeur de Z, la valeur commune des deux membres de la formule (x)

savoir epV-1f'(3) — ePV-1f'(Zer V1),

restera finie et déterminée; et l’on pourra en dire autant des fonctions réelles

(2 p}= 2er f(Zen Ti) + env f{ze-nVT)],

(2 p)= = Lerv=r f'(ZerV1) — e-pV5 f'(Ze-r-1)]

et, par conséquent, des intégrales doubles

F Z Z Fr à . eZ pldpaz= [ k o(Z,p) dZ dp, ei 0 0 —T 3 Z Z L L [ 22 p)dpdz= | vi 4(2,p) dZ dp.

—rv0 0 —T

Donc, puisqu'on aura identiquement ef (z)= (2 p) + V—ix(2p), l'intégrale double

Las [ef da [ Feria 3) dZ dp

rv0

conservera elle-même une valeur finie et déterminée. D'ailleurs, la fonc-

tion /(z) restant par hypothèse finie et continue pour les valeurs attri- OEuvres de C.—S,. 1, t. IV. G2

buées à Z et pour une valeur plus petite, on aura encore

f er(s)a= | A) = #2) —f(o)

Car) 0

Le Fo f(s)

ePV=1 f' (2) dp = —— ——— dp = 0, f F (3) P Ze La 0p P 9

comme on le conclura sans peine des principes établis dans le résumé des leçons données à l'Ecole Polytechnique sur le Calcul infinitésimal. Donc, dans l'hypothèse admise, l'équation (1) entrainera la formule

î f{2) dp = (o)dp—2rTf{o),

qui est précisément l'équation (1).

Nous remarquerons en finissant que les fonctions ci-dessus prises pour exemples, et leurs dérivées du premier ordre, deviennent toujours infinies ou discontinues pour les mêmes valeurs du module de la variable indépendante. Si l’on était assuré qu'il en fût toujours ainsi, on pourrait, dans le théorème énoncé, se dispenser, comme nous l’avions fait dans le Mémoire de 1831, et dans la lettre à M. Coriolis, de parler de la fonction dérivée. Mais, comme on n’a point à cet égard une certitude suffisante, il est plus rigoureux d’énoncer le théorème dans les termes dont nous nous sommes servis plus haut.

Ce serait ne pas répondre suffisamment à l'attente de l’Académie, que de terminer cette Note sans payer un juste tribut de regrets à la mémoire de celui dont la perte récente laisse un grand vide au milieu de nous (!). Si, au jour du deuil et de la tristesse, j'ai cru devoir me borner à joindre mes humbles prières à celles que la religion offrait pour lui, je n’en serai que plus empressé à m’acquitter des devoirs si doux que la reconnaissance m'impose envers un illustre confrère qui jadis parut prendre quelque plaisir à me compter au nombre de ses élèves, et voulut bien applaudir à mes premiers travaux.

(1) M. de Prony.

D'autres vous ont dit et vous diront encore tout ce qu'il a fait comme savant, comme ingénieur, et les nombreux monuments de ses doctes veilles suffiraient pour l’attester. Pour moi, ce que je me plairai surtout à rappeler aujourd'hui, c'est celte bienveillance naturelle avec laquelle il abordait, il recherchait ceux qui cultivaient les sciences, ceux-là même dont il n'aurait pas partagé toutes les convictions. Il me souvient encore de l’aimable accueil que je reçus de lui après une absence de huit années. Pour la consolation de ma patrie, il y a deux sentiments qu'en France on aime à voir profondément gravés dans les cœurs, et auxquels, je le sais par expérience, on se plaît à rendre justice, je veux dire, le dévoûment à l’infortune et l'amour sincère de la vérité.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Memoire où l’on montre comment une seule et

même théorie peut fournir les lois de propagation de la lumière et de la

chaleur.