APS HO

et supposons que l’on cherche ses racines positives. Comme on aura (voir l’Analyse algébrique) x° + 7 >> 2V7x*, les racines positives de la proposée seront inférieures à la racine positive de l'équation auxiliaire

ln 2 = 7 * à-di d'tee ap 2072 = 7æ, c'est-à-dire à ; — 1,75. De plus la formule (1) donnera, Dour 4 = 100.

(X3— 7X + 7)+(3X2—3){(r —X)—0, Pt. CNVITON, RÉDOUTA—1:,7...; ; (X3—5X +7) +(3X2— 7x —X)+3X(x— X)?—0, = +1,36...

En posant de nouveau x — 1,38, on trouvera æ — 1,3569.... En po-

‘OEuvres de C. — S.I, t. IV. 1e:

sant æ — 1,70, on trouvera 1,692. Les deux racines de la proposée sont en effet 1,3269 et 1,692.

Ajoutons : 1° que les conclusions précédentes subsisteront lors même que /(x) sera une fonction transcendante, si cette fonction est décomposable en deux parties o(æ) et (x) telles que chacune des dérivées v’(x), y'(x) acquerra des valeurs positives toujours croissantes pour des valeurs positives de æ; 2° dans cette seconde méthode les équations auxiliaires ne sont plus linéaires, mais du second degré; et aussi les approximations sont plus rapides.

On démontre facilement que les méthodes de résolution des équations que nous venons d’indiquer, méthodes applicables dans tous les cas, comprennent, comme cas particulier, la méthode newtonienne; de plus, pour que cette dernière fournisse des valeurs de plus en plus approchées des racines de l'équation f(x) — 0, comprises entre des limites données x — Lo, æ = X, il faut et il suffit, en conservant les notations précédentes, que les quantités

p'(zo)—X’\X); P'(X) — (20)

offrent les mêmes signes. Ce résultat si simple excitera sans doute l'attention des géomètres.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Détermination des racines réelles des équations :

méthode linéaire.