C.R.,t. V, p. 357. (4 septembre
- La méthode que je vais exposer est tellement simple qu'il y a lieu de s'étonner qu’elle ne se soit pas présentée plus tôt à l'esprit des géomètres. D'un autre côté, elle est tellement générale qu’elle fournit immédiatement des valeurs aussi approchées qu’on le désire de toutes les racines réelles des équations algébriques, souvent même des équations transcendantes. Enfin les approximations successives sont, non seulement très faciles, mais encore très rapides, pour le moins aussi rapides que dans la méthode newtonienne, et il arrive bientôt un moment où le nombre des chiffres décimaux est plus que doublé à chaque opération nouvelle. Tous ces avantages réunis ne me permettent pas de révoquer en doute la nouveauté de la méthode, quoique je n’aie en ce moment à ma disposition aucun Ouvrage écrit sur le même sujet. Mais ils sont tellement sensibles que la méthode, une fois livrée au public, ne pourrait manquer, ce me semble, d’être adoptée et mise en pratique par tous les amis des sciences. Je commencerat par énoncer
deux des principaux théorèmes sur lesquels elle s'appuie; puis je déduirai de ces théorèmes la méthode elle-même.
THÉORÈME [. — Supposons que les deux fonctions
ob ee
tant l’une et l’autre positiwes pour x — à, restent finies et continues entre
les limites MN, RD,
et vérifient constamment, dans cet intervalle, la condition
Fix) <F(x).
St la seconde des équations (1) | .f(z)=e, (2) Fiæ)— 0
offre une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites données, et si l’on nomme c celle de ces racines qui est la plus voisine de la limuie à, l'équation (1) offrira elle-même une ou plusieurs racines réelles comprises. non seulement entre les limutes
a et b,
mais encore entre les limites plus resserrees
Gel aC:
Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, la condition fix) <F(x}, étant vérifiée pour æ — ce, en même temps que l'équation (2), donnera
FEI RS et, comme on aura d’ailleurs J(a)>0,
la fonction f(x) passera du positif au négatif, tandis que la variable x passera de la valeur æ — a à la valeur x — c. Done cette fonction, va-
OŒEuvres de C.—S.I, 1. 1V. V2
riant dans l'intervalle par degrés insensibles, puisqu'elle reste continue, s’évanouira pour une valeur de # comprise entre & et €.
Le théorème I, dans lequel on peut supposer à volonté b <a, ou b >> a, entraine évidemment la proposition suivante :
Tuéorème Il. — Sort
une équation dont le premier membre reste fonction continue de x, entre
Titi
/ des limites donnees (2) RE En Ne pe
Soient encore
quatre fonctions qui restent continues entre ces limites, et se réduisent à des quantités affectées du même signe que f(x), les deux premieres pour x — x, les deux dernières pour x — X. Supposons d’ailleurs qu'entre les
lumites données ces diverses fonctions vérifient constamment les conditions
| ma) flæ) le) (3) Fed € fla) flæe) Mix) flæ) L Ya).
. nn
le signe << pouvant être remplacé par le signe — quand la variable x se réduit, dans la formule (3), à la limite x,, ou, dans la formule (4), à la lémite X. Enfin concevons que, dans le cas où des valeurs de x renfermees entre x,, X vérifieraient, comme racines, soit l'équation (1), soit une où
plusieurs des équalions auxiliaires
(5) w(æ)=0, (6) Six) =o, (7) He) =, (8) titine,
on nomIne
£et Z la plus petite et la plus grande de ces racines, pour l'équation (1,
EXTRAIT N° 16. 91 x, + v. la plus petite, pour l'équation (5), x, + v la plus petite, pour l'équation (6), X — M /a plus grande, pour l'équation (7), X — N /a plus grande, pour l'équation (8).
St l'équation (1) admet effectivement des racines réelles comprises entre les limites x,, X, l'existence de ces racines entraînera l'existence des racines
Lo + Le; X — M,
qui pourront étre substituées avec avantage aux limites x,, X, attendu que
l’on aura (10) | EX M.
les deux racines Ë, £ pouvant être distinctes ou se réduire à une seule. De plus, l'existence de la racine x, + entrainera toujours l'existence des
racines €, À distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite des racines
To + (L X—M
qui vérifieront la condition (10) ainsi que la suivante : (ra) Lo + LE Lo + v.
Pareillement l'existence de la racine X — N entrainera toujours l'existence des racines £, Æ, distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite des racines
À 287 Dam 1 Ds X—M qu vérifieront la condition (9) avec la suivante :
(12) KeNeTAX: M.
Corollaire I. — Si la limite x, était racine de l'équation (r), elle devrait être pareillement racine de l’équation (5); et, en excluant cette racine, on pourrait énoncer encore le théorème If, pourvu que l'on remplacât, dans la formule (3), la quantité /(x,) par f(x, + +), « désignant un nombre infiniment petit.
Corollaire II. — Si la limite X était racine de l'équation (1), elle devrait être pareillement racine de l’équation (7); et en excluant cette racine, on pourrait encore énoncer le théorème IT, pourvu que lon remplaçât, dans la formule (4), la quantité f(X) par J'(X — ec), e désignant un nombre infiniment petit.
Corollaire HI. — Supposons la fonction f(x) décomposée en deux
- autres
dont les dérivées
soient, la première toujours croissante, et la seconde toujours décroissante, pour des valeurs croissantes de x, comprises entre les limites données; ce qui arrivera, par exemple, si, ces limites étant positives, et f(x) une fonction entière, on prend pour o(æ) la somme des termes positifs, et pour — (x) la somme des termes négatifs. En désignant par a une quantité comprise entre les limites x,, X, ou même équivalente à l’une de ces limites, on aura, en vertu d’une formule connue,
les quantités u, e étant renfermées elles-mêmes entre a et x, à plus forte raison entre les limites x,, X; puis, en ayant égard à l'équation identique
me | flal=ela) ze), on tirera des formules (13)
(5) fla)=fla) + (eg) 0 Comme on aura d’ailleurs, dans l'hypothèse admise, (16) pro) g(u) LY(X), x{ro) Lx(v) <xÂX),
la formule (15) donnera
(17) f(x) <a) + (x — a)? (NX) — x'(xo)], (18) fix) > f{a) + (x — a)Ce' (0) — (XI:
EXTRAIT N° 16. 93 puis, en divisant par /(a) les deux membres de celles-ci, on trouvera :
1° si /(a) est positif,
g'æe) — z'{X) 2 Re or n n Fo a
2° si f(a) est négatif,
EUX — z20) no oi ar.
Si maintenant on désigne, pour abréger, par
É le plus petit et le plus grand des rapports
(21) gro) = XX) D'(X) — x'(xo) J\æo) f(x) et par
A’ B le plus grand et le plus petit des rapports
p(zo)— XX) ?(X) — x'{ro)
(72) ee on tirera de la formule (19) ou (20) : 1° en y remplaçant a par x, L— x$ TE) 7% tar sn [6.4 < A dos 2° en y remplaçant a par X, à x. jJlx) x — X (24) ER A A) Rp
Comme les trois membres dont se compose chacune des formules (23), (24), sont trois fonctions de x qui offrent des valeurs égales à l'unité, par conséquent affectées du même signe, quand on pose æ — x, ou æ=—X, ces formules pourront être substituées, dans le théorème Il,
aux formules (3) et (4); et alors les équations (5), (6), (7), (8), réduites aux suivantes :
(25) : — nd?
a = (26) (27) eee A LUE, À (28) 1 + Bu 0
offriront pour les racines les quatre quantités (29) Lo+a, Lo+6, X—A, X —B.
Mais chacune de ces quantités ne pourra se confondre avec l’une de celles que nous avons représentées, dans le théorème Il, par
(30) Lots Xo+v, X—M, X —N,
qu'autant qu'elle restera comprise entre les limites x,, X. Cela posé, le théorème IT entrainera évidemment la proposition suivante :
THéoRÈME LIT. — Sort (1 flæ)=0
une équation dont le premier membre f(x) reste fonction continue de x,
entre les limites nn D VX.
Supposons d’ailleurs la fonction f (x) décomposée en deux autres
qu restent elles-mêmes continues entre les limites données, et soient tou-
Jours la première croissante, la seconde décroissante, tandis que l’on fait AE : ; 1
croitre x entre ces limites. Enfin, rommons — L le plus petit et — ë le plus
grand des rapports pro) —x(X), pK) —x'(xo), J\æo)
EXTRAIT N° 16. 95 Nommons, au contraire, + le plus grand et 5 le plus petit des rapports
le) —yIX) pK) — x (æe), FX) FX
St l'équation (1) offre des racines comprises entre les limites x,, X, les
quantites LEA » X —A seront elles-mêmes renfermeées entre ces limites, et comprendront entre elles
toutes les racines dont il s'agit. De plus, il suffira que l’une des quantités F0 6 , X — B
soit comprise entre les limites x,, X, pour que l'équation (1) offre certainement des racines renfermeées entre ces limites. Nommons € la plus petite, et = la plus grande de ces racines, les deux racines , pouvant quelque- Sois se réduire à une seule. St la quantité x, +8 est comprise entre les limites x,, X, on pourra en dire autant des quantités x, +2, X — A,
qu vérifieront les conditions (3:) Lo+aLE<Lro +6, (32) EX — À;
et si la quantité X — B est comprise entre x,, X, OR pourra encore en dire
autant des quantités x, + 2, X — À, qui vérifieront les conditions
(33) To + x LE, (34) UE, LR CE
Nota. — Lorsqu’à la formule (15) on substitue la suivante : flz)=f(a) +(z— a) f'(a) + ie — a)[e"(u) — x"(v)],
alors on obtient le théorème suivant, analogue à celui qu’on vient d’énoncer :
THÉORÈME IV. — Le premier membre de l “équation donnée
flz)=0
etant un polynôme en x du degré nr, supposons qu'on cherche la racine
positive immédiatement inférieure à une limite donnée X. On posera
et l’on prendra pour y la moitié du résultat qu'on obtient en écrivant X au lieu de x dans la dérivée du second ordre de la partie de f(x) qui se compose de termes affectés d’un signe opposé à celui de la quantité f(X);
puis on résoudra l'équation du second degré (34) a+B(rx—-X)+y(x —X)}?—0o.
Si l’on nomme X, la plus petite racine de die équation et X, Xi, Xo, X5,
une série de quantites dont la troisième se déduise de la seconde, la quatrième de la troisième, etc.…, comme la seconde se déduit de la premiére, la i racine ‘cherchée sera la limite vers laquelle convergera tres rapidement le terme général de cette série.
Si l'on prenait pour X une limite supérieure à toutes les racines positives, la méthode indiquée ferait connaître la plus grande de ces racines.
La méthode est applicable au cas même où X serait une racine positiwe déjà trouvée, et fournirait alors la racine positive immédiatement infe-
rieure.
Démonstration. — En conservant les notations du théorème IF, et supposant de plus x, —0, X > 0, on aura non seulement
pla)=e(x)+ (ex) 1x) + EL qu), u étant compris entre æ, et X, mais aussi g'lui>o, g'(u) << g"{X), p(æ)>e(X)+ (x —X) p{X), (x —X}
EXTRAIT N° 16. nr
on trouvera de même pour des valeurs de x inférieures à X
et comme on à f(x) — o{(x) — 7(x), on trouvera -
He Po els,
TE
fle) FX) + (ex) FX) + | (x);
F2 donc, d’après le théorème IT, la plus grande des racines de la proposée inférieures à X sera surpassée, si /(X) est positif, par la plus petite des racines de l'équation auxiliaire | (x — X}?
FIX) + (x —X) f'(X) — "(X) = 0;
et, si /(X) est négatif, par la plus petite racine de l’équation
FR) ex) PUR) + EE gr) = 0. Donc, etc.
Exemple. — Soit donnée à résoudre l'équation de Lagrange
