C.R.,t. VIE, p. 581 (22 avril

Dans cette séance, j'ai prié M. Cauchy de dire si le mouvement, dont il s’occupe maintenant à déterminer les lois, comprend à la fois la masse entière du fluide, ou bien s’il est renfermé à chaque instant dans une étendue d’une petite largeur, de telle sorte qu’au delà et en deçà le fluide soit rigoureusement en repos, ce qui constitue la condition essentielle qui doit être remplie, avant tout, dans la théorie des ondes lumineuses. Peut-être parce que je ne me serai pas assez clairement expliqué, notre confrère n’a pas répondu, d’une manière précise, à cette question, d’ailleurs très simple et très naturelle dans nos discussions.

En parlant incidemment des expériences de Bouguer sur la proportion de la lumière réfléchie au passage d’un milieu à un autre, j'ai dit qu’elles ne s’accordaient pas toujours assez bien avec le résultat du calcul, pour servir de confirmation à la théorie, si toutefois on les regarde comme exactes. Ainsi la formule à laquelle je suis parvenu, il y a déjà longtemps, pour exprimer cette proportion sous l'incidence perpendiculaire, et dont celle de M. Cauchy ne doit pas différer dans ce cas particulier, donne, par exemple (“), 0,020 pour la lumière réfléchie au passage de l’air dans l’eau, et Bouguer a trouvé 0,018, ce qui s’en écarte, il est vrai, assez peu; mais, pour la lumière réfléchie en passant de l'air dans le verre, cette formule donne 0,046, tandis que Bouguer ne trouve qu'à peu près moitié de cette fraction, c’est-à-dire 0,025 de la lumière incidente.

Je n’ai point encore étudié l'analyse de M. Cauchy, qui se rapporte à la réflexion sur les surfaces des corps opaques, et, dans ce que j'ai dit, je n’ai voulu y faire aucune allusion.

(4) Mémoires de l’Académie, 1. W, p. 380 et 387.

voir : 1° en recherchant de quelle manière un mouvement, d’abord imprimé à l’éther, en un point de l’espace, donne naissance à des ondes terminées par des surfaces courbes, mais qui s'étendent bientôt de manière à pouvoir être, sans erreur sensible, confondues avec leurs plans tangents; 2° en considérant les ondes déjà propagées et parvenues à une grande distance du centre d’ébranlement, par conséquent, des ondes planes, simples ou composées; et cherchant immédiatement la nature de celles qui se propagent dans un milieu isophane ou non isophane. J'ai ajouté que j'avais successivement considéré la question sous ces deux points de vue. Je l'ai traitée en effet sous ce double rapport, non seulement dans les Leçons que j'ai données en 1830 au Collège de France, mais aussi dans les divers Mémoires que j'ai publiés ou présentés à l’Académie. Je vais entrer à ce sujet dans queiques détails. |

Dans un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, le déplacement d'une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe quelconque, est déterminé par une équation linéaire aux différences partielles qui renferme, avec le déplacement pris pour variable principale, les trois coordonnées +, y, zetle temps £. Ainsi le calcul de ce déplacement dépend de l'intégration d’une équation linéaire à quatre variables indépendantes. D'ailleurs, en appliquant à une semblable équation la méthode d'intégration que j'ai donnée dans le XIX° Cahier du Journal de l'École Polytechnique, on obtient, pour représenter le déplacement d’une molécule, une intégrale définie sex- -tuple, renfermant sous le signe f une exponentielle népérienne dont l’exposant est une fonction linéaire des variables indépendantes; le coefficient du temps dans cet exposant étant lié aux coefficients des coordonnées par une certaine équation dont il doit être une racine. Cette dernière équation, ou plutôt celle qu’on en déduit en remplaçant les coefficients des variables indépendantes par ces variables mêmes, est ce que je nommerai l'équation caractéristique. J'appellerai son premier membre fonction caractéristique, et la-surface que la même équation représente au bout du temps #, surface caractéristique.

Lorsque la fonction caractéristique est homogène, l'intégrale sextuple se réduit à une intégrale quadruple, comme je l’ai montré dans un Mémoire présenté à l’Académie le 17 mai 1830 et inséré par extrait dans le Bulletin des Sciences du mois d'avril de cette même année. Si l’on considère en particulier le cas où, dans le premier instant, la variable principale, ayant toutes ses dérivées nulles, n’offre elle-même de valeur sensible que dans le voisinage de l’origine des coordonnées, cette variable principale n'aura plus de valeur sensible, au bout du temps {, dans tout l’espace que terminera une certaine surface courbe dont j'ai appris à former l'équation dans le Bulletin déjà cité. Done alors la propagation du mouvement dans l’espace donnera naissance à une onde sonore, lumineuse, .. terminée par la surface dont il s’agit. Cette surface est ce qu'on appelle la surface des ondes. Si au premier instant les dérivées de la variable principale cessaient d’être nulles, comme cette variable même, dans les points voisins de l’origine des coordonnées, alors, dans l’intérieur de la surface des ondes, la variable principale ne serait pas nulle, mais acquerrait une valeur constante qui pourrait différer de zéro.

Si l’équation caractéristique, considérée comme propre à déterminer le temps £ en fonction des coordonnées x, y, z, se décompose en équations du second degré, elle représentera le système de plusieurs ellipsoides, et la variable principale sera la somme de plusieurs parties dont chacune, vérifiant une équation aux différences partielles du second ordre, pourra être représentée par une intégrale double. Alors aussi la surface de l’un des ellipsoïdes étant prise pour surface caractéristique, la surface des ondes curvilignes correspondante sera celle d'un second ellipsoïde tellement constitué que les rayons vecteurs des deux ellipsoides, multipliés par le cosinus de l’angle compris, fourniront un produit égal au carré du temps. Alors enfin, le mouvement, supposé d’abord circonscrit dans un très petit espace autour de l’origine des coordonnées, ne sera sensible au bout du temps z que dans le voisinage de la surface des ondes et dans une zone terminée par deux autres surfaces que l’on pourra considérer, pour ainsi dire, comme

EXTRAIT N° 43. 325 parallèles à la-première. Ces deux nouvelles surfaces sont les deux enveloppes, intérieure et extérieure, qu'engendrerait la surface des ondes si, en rendant cette dernière mobile avec son centre, on faisait successivement coincider ce même centre avec chacune des molécules primitivement déplacées ou mises en mouvement. Au bout du temps #, le système donné sera en repos, tant en avant qu’en arrière de la zone dont il s’agit. Les molécules situées en avant de la zone ne seront pas encore déplacées, et les molécules situées en arrière, c’est-à-dire entre la zone et l’origine des coordonnées, conserveront les déplacements qu’elles acquièrent au moment où la surface intérieure de la zone les atteint en vertu de son mouvement progressif.

Nous avons 11 supposé que la fonction caractéristique était homogène. C’est dans cette hypothèse seulement que la zone ci-dessus mentionnée conserve une épaisseur constante. Dans la supposition contratre, l'épaisseur de cette zone croit avec le temps, et quelquefois même se propage instantanément jusqu'aux dernières limites du système de molécules donné. C’est ce que l’on peut reconnaître à l’aide des considérations suivantes.

Un déplacement moléculaire, étant la variable prineipale d'une équation linéaire aux différences partielles, sera généralement représenté par une intégrale définie sextuple, renfermant sous le signe f une exponentielle népérienne dont l’exposant sera une fonction linéaire des variables indépendantes. Il sera donc la somme des valeurs que cette variable principale, considérée comme propre à représenter un déplacement symbolique, pourrait acquérir dans une infinité de mouvements simples superposés les uns aux autres. Done les lois de mouvements infiniment petits quelconques des systèmes de molécules peuvent se déduire de la considération des seuls mouvements simples, et les ondes curvilignes peuvent être censées formées par la superposition d’une infinité d'ondes planes du genre de celles dont nous nous sommes occupés dans les précédents Mémoires.

Ce n’est pas tout. Si, au premier instant, le mouvement et les déplacements moléculaires se trouvent circonscrits dans un espace dont une

ou plusieurs dimensions soient très petites, l’état initial du système de molécules pourra être également représenté par un système d’ondes planes initiales, superposées en nombre infini les unes aux autres, soit que l’on considère les ondes de chaque espèce comme s'étendant jusqu'aux dernières limites du système de molécules, soit que l’on réduise chaque onde à la portion de cette onde que renferme l’espace dont il s’agit. En attribuant aux ondes initiales une étendue indéfinie, on ne changerait rien aux données du problème, attendu qu’elles se neutraliseront partout les unes les autres, excepté dans l’espace dont nous avons parlé. Mais on arrivera plus facilement à reconnaître les Lois de la propagation des mouvements infiniment petits si chaque onde initiale est censée ne pas s'étendre au delà de ce même espace. On parviendra ainsi aux résultats que nous allons indiquer.

Supposons, pour fixer les idées, que le mouvement se trouve d’abord circonscrit dans un espace dont une seule dimension soit très petite, savoir, dans une tranche très mince, comprise entre deux plans parallèles situés à égales distances d’un plan invariable passant par l’origine des coordonnées. Supposons d’ailleurs que, dans cette tranche, les déplacements et les vitesses initiales des molécules restent les mêmes pour tous les points situés à la même distance + du plan invariable. L'état initial du système des molécules, dans la tranche dont 1l s’agit, pourra être considéré comme résultant de la superposition d’une infinité d'ondes planes, correspondantes à des longueurs d’ondulation diverses, mais dont les plans seront tous parallèles au même plan invariable; et, comme l’exposant de chaque exponentielle imaginaire pourra être réduit à une fonction linéaire de deux variables indépendantes, savoir de la distance « et du temps #, l'équation à laquelle devaient satisfaire les coefficients des variables indépendantes pourra être regardée comme établissant une relation entre le coefficient # de + et le coefficient s de #. Ces coefficients n’offriront pas de parties réelles si le mouvement se propage sans s’affaiblir, et alors ils seront réciproquement proportionnels, le premier à la longueur d’ondulation, le second à la durée des vibrations moléculaires, tandis que leur rapport & expri-

EXTRAIT N° #3. 327 mera la vitesse de propagation d’une onde plane. De plus, suivant que l'équation dont 1l s'agit, résolue par rapport à s, fournira une ou plusieurs valeurs de s?, considéré comme fonction de #, on verra correspondre à chaque longueur d'ondulation une ou plusieurs vitesses de propagation différentes. Enfin, tandis que les longueurs d’ondulation des diverses ondes superposées pourront varier de zéro à l'infini, leurs vitesses de propagation pourront, ou demeurer toutes égales entre elles, ou varier entre des limites finies, ou avoir pour limite inférieure une vitesse finie ou nulle, et pour limite une limite supérieure infinie. Dans le premier cas, la portion du système, primitivement ébranlée et représentée par une tranche très mince, se trouvera remplacée, au bout du temps #, par deux tranches semblables et de même épaisseur, situées de deux côtés opposés du plan invariable et à distances égales de l'origine des coordonnées. Ces deux tranches se mouvront en sens contraire avec la vitesse de propagation @ commune à toutes les ondes planes, et renfermeront, au bout du temps #, les seules molécules qui ne soient pas en repos. Alors, en effet, il n’y aura pas encore de déplacements n1 de mouvements produits dans tout l’espace situé en avant de chaque tranche, et il n’y en aura plus dans l’espace qui le suit. C'est ce qui arrive en particulier lorsque le son se propage dans l'air, et lorsque la lumière se propage dans le vide.

Dans le second cas, c’est-à-dire lorsque les vitesses de propagation des ondes primitivement superposées, sans être toutes égales entre elles, sont renfermées entre des limites finies, la portion du système ébranlée au premier instant et représentée par une tranche très mince se trouve remplacée au bout du temps 4 par deux tranches au moins, situées des deux côtés opposés du plan invariable, et qui n’offrent plus l'épaisseur de la première tranche, mais une épaisseur variable dont l'accroissement, proportionnel au temps, est plus ou moins considérable suivant que les limites extrèmes des vitesses de propagation comprennent entre elles un intervalle plus ou moins grand. C’est ce qui parait arriver dans la théorie de la lumière lorsqu'on ne suppose pas les rayons lumineux propagés dans le vide, et alors c’est la diffé-

rence entre les vitesses de propagation des divers rayons simples qui donne naissance au phénomène de la dispersion.

Enfin, dans le troisième cas, c’est-à-dire lorsque les vitesses de propagation des ondes primitivement superposées, ayant pour limite inférieure une vitesse finie ou nulle, ont pour limite supérieure une vitesse infinie, le mouvement initial imprimé aux molécules, à l'instant où l'on compte {= 0, se propage, aussitôt que le temps vient à croître, jusqu’à une distance infinie, ou plutôt jusqu'aux extrémités du système de molécules donné. Or c’est là précisément ce qui arrive dans la propagation des ondes liquides. En effet, si l’on soulève ou si l’on déprime une tranche très mince de la surface d’un liquide, le mouvement se transmettra instantanément jusqu'aux limites de cette surface; et, comme alors les vitesses de propagation varieront depuis l'infini jusqu'à zéro, on pourra voir succéder les unes aux autres une infinité d'ondes liquides, mais dont les dernières, propagées avec des vitesses de plus en plus petites, deviendront de plus en plus sensibles ().

Si les molécules étaient primitivement déplacées ou mises en mouvement, non plus dans toute l'étendue de la tranche très mince dont nous avons parlé, mais seulement dans une portion de cette tranche; et si d’ailleurs, dans cette portion, le déplacement et la vitesse initiale d’une molécule dépendaient uniquement de la distance au plan invariable qui divise la tranche en parties égales, le mouvement initial de la portion dont il s’agit pourrait toujours être censé résulter de la superposition d’une infinité d'ondes planes; mais chacune de ces ondes planes, prise dans l’état initial, ou considérée comme déjà propagée au bout d’un temps quelconque £, ne subsisterait plus qu’en partie. Enfin, si au premier instant les molécules étaient déplacées ou mises en mouvement d’une manière quelconque dans une portion du système dont les trois dimensions seraient très petites, et qui s’étendrait en tous sens à de très petites distances autour de l’origine des coordonnées, l’état initial de cette portion du système pourrait être censé résulter

(1) On peut consulter à ce sujet le Mémoire de M. Poisson sur la théorie des ondes à la surface d’un liquide, et celui que j'ai publié sur le même sujet (OEuvres de C.—S. TI, t. 1).

de là superposition d'une infinité d'ondes planes, renfermées dans des plans divers, et offrant des longueurs d’ondulation diverses; et la propagation simultanée de ces ondes planes, avec des vitesses égales ou inégales, donnerait naissance à une-zone mobile d'épaisseur constante ou variable, terminée par dessurfaces sphériques, elliptiques, etc., comme je l’expliquerai dans un autre Mémoire.

D'après ce qu'on vient de dire, on voit comment s'opère généralement la séparation des ondes planes qui, renfermées dans des plans divers et offrant des longueurs d’ondulation diverses, doivent être censées superposées les unes aux autres, si l’on veut que leur système représente l’état initial d’une très faible portion d’un système de molécules, circonscrit dans un espace dont les trois dimensions soient très petites.

Celles de ces ondes planes qui se trouvent contenues dans des plans divers, ou plutôt les parties de ces mêmes ondes que renferme primitivement l’espace dont il s’agit, se transportent dans diverses directions indiquées par divers rayons vecteurs de la surface des ondes, et se séparent ainsi, de telle sorte qu’au bout du temps £ les seules dont la superposition subsiste soient des ondes planes contenues dans des plans très peu inclinés les uns sur les autres, et passant par un même point de la surface des ondes. Ces plans venant à se déplacer ultérieurement, leur point de rencontre se déplacera lui-même suivant une certaine droite, avec une vitesse de propagation distincte de celle des ondes planes. La série des positions que prend ce point de rencontre, tandis que les ondes se déplacent, constitue, dans la théorie de la lumière, ce qu’on nomme un rayon lumineux, et l’on se trouve ainsi ramené, pour la définition d’un rayon, aux considérations mêmes dont je m'étais déjà servi dans les Mémoires de l’Académie des Sciences et dans la 51° livraison des Exercices de Mathématiques (p. 71). À ce que J'avais dit alors on doit ajouter seulement que, pour obtenir des ondes renfermées dans des plans très peu inclinés les uns sur les autres, il suffit, dans le cas général, de considérer le mouvement infiniment petit

d’un système de molécules, non à partir du premier instant où ce ŒEuvres de C. —S.I, t. IV, (2

mouvement est imprimé à une portion du système, mais à partir de l’un des instants qui suivent le premier.

Quant à la séparation des ondes qui offrent des longueurs d’ondulation diverses, elle ne peut-s’effectuer que dans le cas où une différence entre les longueurs d'ondulation entraîne une différence correspondante entre les vitesses de propagation; comme il arrive effectivement quand la lumière se propage, non dans le vide, mais dans les corps diaphanes.

Observons encore que, l’état initial d’un système de molécules, ou plutôt d’une portion de ce système, étant arbitraire, le système d’ondes planes qui représente cet état initial, et qui s’en déduit par une formule connue, peut varier à l'infini, comme cet état même. Il en résulte que, parmi les ondes planes correspondantes aux diverses longueurs d’ondulation, les unes doivent être très sensibles, tandis que d’autres peuvent l’être beaucoup moins et disparaître presque entièrement. On ne devra donc pas être surpris de voir, dans la théorie de la lumière, les rayons doués de réfrangibilités diverses, lorsqu'on les disperse par le moyen du prisme, offrir des intensités variables, non seulement avec les longueurs d’ondulation correspondantes, mais gncore avec la nature des corps dont ils émanent; et l’on devrait s’étonner au contraire s’il en était autrement. Ainsi doivent être évidemment expliquées les raies brillantes ou obscures découvertes dans le spectre solaire, et dans ceux que fournissent les autres corps lumineux. C’est pour le même motif que la forme et la vitesse des ondes propagées à la surface d’un liquide varient avec la forme de la portion de cette surface, primitivement soulevée ou déprimée. J'ajouterai que M. d’Ettingshausen m'a dit, il y a plusieurs années, être parvenu lui-même à l’explication des raies du spectre dans la théorie des ondulations. Mais j'ignore si cette explication coïncide précisément avec celle que je viens d’exposer.

Je m’estimerais heureux si les éclaircissements que je viens de donner paraissaient, aux yeux de notre illustre confrère, lever complètement les difficultés que pouvait lui offrir la lecture de mes précé-

dents Mémoires, et je le prie d’agréer ici mes remerciements de ce que, par la question qu’il a bien voulu m'adresser, il m'a donné l’occasion d'approfondir ce sujet important, et d'arriver ainsi à des résultats dont la généralité et la simplicité m'ont surpris moi-même et surprendront peut-être, au premier abord, les personnes adonnées à la culture de la Physique mathématique.

Je joins ici les formules qui comprennent les propositions ci-dessus énoncées. Elles composent les cinquième et sixième paragraphes du Mémoire inséré dans le Compte rendu de la séance du 8 avril (‘).

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intensité de la lumière polarisee et refléchie par des surfaces métalliques.