C.R., T. VIII, p. 961 (17 juin

Je prends la liberté de vous adresser quelques remarques relatives au sujet dont s'occupe en ce moment M. Cauchy; j'espère qu'elles pourront vous paraître dignes d’être lues à l’Académie des Sciences.

Dans le dernier numéro des Comptes rendus (séance du 15 avril 1839), M. Cauchy a donné certaines formules pour calculer l'intensité de la lumière réfléchie par les métaux à différents degrés d'incidence. Ces formules sont exactement les mêmes que celles que j'ai communiquées en 1836, à l'Académie royale d'Irlande, et qui ont été successivement publiées dans les Proceedings de cette Académie (24 octobre 1836), dans le London and Edinburgh Philosophical Magazine pour mai 1837 (X° vol., p. 382) et dans le journal appelé /'Znstitut {t V, p. 293, juillet 1837). Rien n’est plus aisé que de convertir l’un des deux systèmes de formules dans l’autre. En effet, puisque les constantes 6 et : dans la notation de M. Cau-

; , 1 L chy sont représentées par M (ou “À et y dans la mienne, on trouvera, en comparant nos

putin Se , Le mn 2 : .

équations de condition, que = y+ y’, et É m'cost; d'où il résulte qu'on aura identi-

quement I=a et J=4a. Outre les valeurs de l'intensité, j'ai publié, dans le même article, les expressions des changements de phase (9 et d’) produits par la réflexion métallique. Ces expressions n’ont pas encore été données par M. Cauchy. Elles servent à établir la polarisation elliptique de la lumière réfléchie quand la lumière incidente est polarisée dans un plan.

On doit observer que la méthode dont j'ai fait usage pour déterminer la valeur des constantes M et y relatives à un métal quelconque, à l’aide des expér'ences de M. Brewster, est la même que celle de M. Cauchy. L'approximation que j'ai indiquée, et qui consiste à négliger la petite quantité y’, est aussi la même que la sienne, puisqu'elle suppose v =:,

qu'intéresse cette théorie et M. Mac-Cullagh lui-même puissent se former à cet égard une opinion définitive, je citerai d’abord ici quelques faits qu'il leur sera facile de vérifier.

Parmi les divers articles que j'ai publiés en 1836 sur la réflexion et la réfraction de la lumière, et qui se trouvent insérés dans les Comptes rendus de cette année, quelques-uns se rapportent en totalité ou en partie à l'objet dont il est ici question. Ainsi, par exemple, une Lettre adressée de Prague à M. Ampère, et insérée dans le Compte rendu de la séance du 11 avril 1836, commence par ces mots :

« Les formules générales auxquelles je suis parvenu dans mes nouvelles recherches sur la théorie de la lumière ne fournissent pas seu-

U = ©. Enfin, la marche générale des phénomènes, telle qu’elle est décrite par M. Cauchy, peut être vérifiée par l’inspection de la petite Table que j'ai donnée pour l'acier.

Dans l’article ci-dessus mentionné, j'ai expliqué très simplement de quelle manière j'ai obtenu mes formules, en assignant à la vitesse de propagation une valeur imaginaire, dont l'argument est l'angle y que j'ai appelé la caractéristique, et dont l'inverse est précisément la quantité imaginaire que M. Cauchy a nommée le coefficient caractéristique.

Or, quand cette valeur imaginaire est introduite dans l'expression de l'arc, dont le sinus ou le cosinus est ordinairement employé pour représenter un déplacement, elle donne naissance à une exponentielle réelle multipliée par le sinus ou le cosinus d’un arc réel; l'exposant de cette exponentielle étant réciproquement proportionnel à la longueur d’une ondulation, nous sommes ainsi naturellement conduits à conjecturer que la caractéristique y dépend de l'absorption produite par une épaisseur égale à cette longueur. Si l’on suppose cette conjecture bien fondée, il s’ensuivra que l'amplitude d’une vibration, quand on traverse une épaisseur égale à la longueur d’une ondulation dans le métal, est diminuée dans la proportion inverse de l’unité au nombre dont le logarithme hyperbolique est 27 tangy, ou 27 tange, r désignant le rapport de la circonférence au diamètre. Cette interprétation de l’expression imaginaire se présenta à moi en 1836, presque aussitôt que je songeai à employer l’expression elle-même, et elle fut depuis fortifiée par la considération que cela servirait à expliquer (mathématiquement du moins, sinon physiquement) le changement de phase produit par la réflexion et la réfraction à la surface d’un métal. Car si l’on suppose que l’une quelconque des*équations de condition qui doivent subsister à la surface soit une équation différentielle, contenant les dérivées des déplacements prises par rapport aux coordonnées, et si en outre l'amplitude des vibrations dans un métal est supposée diminuer en raison de l’exponentielle qui représente l’absorption, alors on trouvera qu’il est impossible de satisfaire à ces équations, sans admettre ce qu’on appelle précisément un changement de phase, c’est-à-dire sans admettre que, si la vibration incidente est représentée par un sinus, les vibrations réfléchies et réfractées contiendront chacune un terme dépendant du cosinus. Telles étaient les premières vues qui me furent suggérées par la considération des équations imaginaires, et pendant quelque temps elles me parurent entièrement satisfaisantes; mais des doutes s’élevèrent dans mon esprit, quand j'arrivai à un calcul effectif, et ma principale difficulté était occasionnée par les propriétés du diamant. M. Airy a trouvé que, lorsque la lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence est réfléchie par le diamant, elle ne s'éva-

lement les lois de la propagation de la lumière dans le vide et dans les divers milieux transparents, comme je vous le disais dans mes Lettres du 12 et du 19 février, ou les lois de la réflexion et de la réfraction à la surface des corps transparents, telles qu’elles se trouvent énoncées dans les deux Lettres que j'ai adressées à M. Libri le 19 et le 28 mars 1836, elles s'appliquent aussi à la propagation de la lumière dans la partie d’un corps opaque voisine de la surface, et à la réflexion de la lumière par un corps de cette espèce. »

Une autre Lettre adressée à M. Libri vers le milieu du mois d’avril,

nouit pas complètement sous l’angle de polarisation, mais que néanmoins la vibration change de signe, attendu qu’il se produit subitement un changement de phase presque égal à 18o°.

Je pouvais expliquer ce fait remarquable, en supposant le diamant soumis aux lois de la réflexion métallique, et sa caractéristique x très petite, d’où je tirais cette conclusion que le diamant forme une sorte de liaison entre les métaux et les milieux qui, comme le verre et l'eau, polarisent complètement la lumière. Cette conclusion semblait très naturelle et probable en elle-même; mais elle était accompagnée d’une difficulté que je ne pus surmonter. Quelque petite que je supposasse la caractéristique, quand même elle était tellement petite que la lumière réfléchie sous l’angle de polarisation se réduisait à la millionième partie de la lumière incidente, toujours l'absorption calculée était assez grande pour rendre le diamant parfaitement opaque à une épaisseur égale à la centième partie d’un pouce. Ce résultat, il est vrai, peut être regardé comme montrant seulement que la réflexion particulière opérée par le diamant doit être expliquée de quelque autre manière; mais elle était entièrement suffisante pour m'empêcher en 1836 de publier aucune conjecture sur la signification de la caractéristique, ou sur l'interprétation physique des formes imaginaires sous lesquelles j'ai présenté la vitesse de propagation. La conjecture que j'ai alors supprimée a été mise en avant dernièrement par M. Cauchy, et j'ai été conduit par ce motif à exposer les observations précédentes sur ce sujet.

Comme mes formules étaient déduites d’une analogie mathématique et non pas d’une théorie physique, j'ai eu soin de les publier simplement comme empiriques. Si la théorie de M. Cauchy est vraie, ces formules sont exactes. Je dois avouer, cependant, qu’elles m'ont toujours paru trop compliquées ; et c’est pour cette raison que, dans les Transactions de l’Académie d’Irlande (XNUE vol., [° Partie, p. 71), j'ai donné d’autres formules peu différentes, lesquelles semblent plus probablement être les véritables, et qui représentent aussi tous les phénomènes connus. Cependant, sans de nouvelles expériences, il serait prématuré de se prononcer sur ce point d'une manière positive.

Il me reste à mentionner une des conclusions de M. Cauchy, qui est certainement très extraordinaire. C'est une conséquence de sa théorie que l'indice de réfraction d’un métal est égal à M cos y ou ® cosz. Or, pour l'argent pur, nous avons ® = 3, « — 85°, d’après les expériences de M. Brewster ; en conséquence, l'indice de réfraction pour celui de tous les métaux qui réfléchit le mieux là lumière est seulement d’un quart : suivant mon opinion, il est

4 M # A . . La .

égal à Es, et, dans ce cas, il croîtra toujours avec le pouvoir réfléchissant. Dans l'argent

pur qui réfléchit la presque totalité de la lumière incidente, l'indice de réfraction sera environ 35; et pour le mercure qui réfléchit environ les trois quarts de la lumière incidente, cet indice sera environ 15 au lieu de 1,7, comme le trouve M. Cauchy.

et insérée dans le Compte rendu de la séance du 2 mai 1836, contient ce qui suit:

« Dans ma dernière Lettre, j'ai indiqué les résultats que fournissent les formules générales auxquelles je suis parvenu, quand on les applique au phénomène connu sous le nom de réflexion totale, e’est-à-dire au cas où le second milieu, quoique transparent, remplit la fonction d'un corps opaque. Je vais aujourd’hui vous entretenir un instant de ce qui arrive lorsque le second milieu est constamment opaque sous toutes les incidences, et en particulier lorsque la lumière se trouve réfléchie par un métal. Si l’on fait tomber sur la surface d’un métal un rayon simple doué de la polarisation rectiligne, ou circulaire, ou même elliptique, ce rayon pourra toujours être décomposé en deux autres polarisés en ligne droite, l’un perpendiculairement au plan d'incidence, l’autre parallèlement à ce plan. Or je trouve que, dans chaque rayon composant, la réflexion fait varier l'intensité de la lumière Suivant un rapport qui dépend de l’angle d'incidence, et qui généralement n’est pas le même pour les deux rayons. De plus, la réflexion transporte les ondulations lumineuses en avant ou en arrière à une certaine distance qui dépend encore de l'angle d'incidence. » Si l’on représente cette distance, pour le premier rayon composant, par

j” pour le second par 7; /— 7; étant l'épaisseur d’une onde, la dift

férence de marche entre les deux rayons composants après une pre-

mière réflexion sera représentée par

Après À réflexions opérées sous le même angle, elle deviendra

ns à

Set 15

Je trouve d'ailleurs qu'après une seule réflexion sous l’angle d'incidence +, la différence de marche est d’une demi-ondulation si 7 = o,

à k cà . T et d’une ondulation entière si + = 5: Donc, en ne tenant pas compte

des multiples de la circonférence dans la valeur de l'angle y — v, on peut considérer la valeur numérique de cet angle comme variant entre les limites # et zéro. Lorsque y — v atteint la moyenne entre ces deux

limites ou 2 on obtient ce que M. Brewster appelle la polarisation

elliptique, et D OR M- nii 30

réflexions semblables ramènent le rayon polarisé à son état primitif. Alors, si le rayon incident était polarisé en ligne droite, le dernier rayon réfléchi sera lui-même polarisé rectilignement. Mais son plan de polarisation formera avec le plan de réflexion un angle à dont la tangente sera égale, au signe près, à la puissance 27 du quotient qu'on obtient en divisant l'un par l’autre les rapports suivant lesquels la première réflexion fait varier, dans chaque rayon composant, les plus grandes vitesses des molécules. Donc, tandis que-le nombre des réflexions croitra en progression arithmétique, les valeurs de tangÿ varieront en progression géométrique ; et comme, pour les divers métaux,

4 4 T 6.6, on trouve généralement 3 < 7 ou 45°, la lumière, pour de grandes

valeurs de , finira par être complètement polarisée dans le plan d’incidence. On déduit encore de mes formules générales un grand nombre de conséquences qui s'accordent aussi bien que les précédentes avec les résultats obtenus par M. Brewster.

A la vérité, dans la Lettre que je viens de rappeler, je n'ai point donné l'interprétation physique de la forme imaginaire sous laquelle peuvent se présenter les coefficients des coordonnées dans les expressions des déplacements moléculaires. Mais M. Mac-Cullagh aurait tort de croire que cette interprétation, développée avec détail dans mes nouveaux Mémoires, est de ma part une interprétation nouvelle. Pour se convaincre qu'elle est déjà fort ancienne, et antérieure aux publications par lui mentionnées, il suffira de jeter les yeux sur les paragraphes II et VII de mon Mémoire relatif à la théorie de la lumière, lithographié sous la date d'août 1836. Il y trouvera des déplacements

Œuvres de C.—S.1,t. IV. 43

moléculaires représentés par des produits de la forme AeÏtcos(æ — st), AeThtcos(gr— st + à),

« désignant la distance à un plan fixe, £ le temps, et A, #, À, w,s des quantités constantes. Il y verra énoncées (p. 44 et 84) les conséquences auxquelles on est conduit, dans la théorie des corps opaques et dans celle des verres colorés, à la seule inspection de ces produits, dans lesquels une exponentielle réelle se trouve multipliée par Le sinus ou le cosinus d’un arc réel, et en particulier les conclusions que je vais transcrire.

« Les déplacements Ë, », €, déterminés par les formules

E— Aelt cos(x — st), SR

s’évanouissent pour «= —® , et si l’on attribue à des valeurs négatives qui forment une progression arithmétique..., les valeurs correspondantes de l’exponentielle e**, ... formeront une progression géométrique... On pourra en dire autant des déplacements €, n, €, ... et de la force vive... dont la valeur maximum sert à mesurer l'intensité de la lumière. C’est ainsi qu’en pénétrant dans l’intérieur d’un corps opaque, la lumière devient insensible à une petite distance de la surface, et que son intensité décroit en progression géométrique, tandis que la distance croît en progression arithmétique. » ( Voir le Mémoire lithographié, p. 44 et 45.)

Plus loin, page 84, les mêmes idées étaient reproduites et appliquées à des déplacements de la forme

ET AeTl* cos (ge — St + À).

J'observais « qu’en vertu de ces dernières formules les déplacements deviendraient insensibles pour de très grandes valeurs positives du produit Lc, par conséquent, pour des valeurs de « affectées du même signe que , et qui pourront être d'autant plus grandes (abstraction faite des signes) que k lui-même sera plus petit. Ainsi, disais-je, dans un verre coloré, l'épaisseur nécessaire pour produire l'extinction d’un

rayon lumineux varie avec la nature de la couleur. D'ailleurs, en raisonnant comme à la page 84, on conclura des formules précédentes que, pour chaque couleur, l'intensité de la lumière décroit en progression géométrique, tandis que l'épaisseur du verre croit en progression arithmétique. Ces divers résultats sont conformes à l'expérience. » Reste à examiner la question de savoir si les formules de M. Mac- Cullagh et les miennes sont exactement les mêmes. A la seule lecture de la remarque qui termine la Lettre de M. Mac-Cullagh, on peut déjà présumer qu'il n’y a point iei un accord parfait, sinon quant à la forme des équations obtenues, du moins relativement à la détermination de quelques-unes des quantités dont elles peuvent servir à calculer les valeurs. Si M. Mac-Cullagh a trouvé, pour les indices de réfraction déduits de ses formules et de mon analyse, des nombres aussi différents entre eux que le sont 35 et ;, ou 15 et 1,7, cela tient, comme il le dit lui-même, à ce que ces indices sont représentés, suivant ses conjectures, par le rapport des quantités 6, cose, et, suivant mes calculs, par leur produit, sous l'incidence perpendiculaire. Or, ce que j'appelle l’éndice de réfraction, c'est, suivant l'usage reçu, le rapport entre les épaisseurs des ondes incidentes et réfléchies, ou, ce qui revient au même, le rapport entre les sinus d'incidence et de réfraction; et si M. Mac- Cullagh admet pareillement cette définition, il me sera facile de lui démontrer : 1° que l'indice de réfraction d’un métal est effectivement représenté par 6 cos: sous l'incidence perpendiculaire; 2° que cet indice est, non pas constant, mais variable avec l’incidence. Toutefois, pour y parvenir, il serait nécessaire de compléter le tableau des formules que j'ai déjà données, et, pressé par le temps, je me vois forcé de renvoyer cette démonstration à un autre article, ainsi que l'explication des propriétés du diamant. Ce qui a pu induire M. Mac-Cullagh en erreur à l'égard des indices de réfraction, et ce qui distingue principalement de mes recherches la méthode dont il a fait usage dans l’article imprimé sous la date du 24 octobre 1836, c’est qu'il s’est proposé simplement d'étendre les formules données par Fresnel, et relatives à un corps transparent, au cas où la lettre qui, dans ces formules, repré-

sente l'indice de réfraction, se transforme en une constante imaginaire, en suivant d’ailleurs, pour déterminer la nature du rayon réfléchi, le mode d'interprétation adopté par Fresnel dans le cas de la réflexion totale, mais sans chercher en même temps à calculer la marche de la lumière dans le corps opaque, et à représenter par des formules précises les vibrations des molécules d’éther dans le rayon réfracté. Au contraire, la méthode que j'avais suivie pour obtenir les lois de la réflexion à la surface des corps opaques consistait à chercher d’abord les équations de condition auxquelles doivent satisfaire, dans le voisinage de la surface de séparation de deux milieux, les déplacements moléculaires €, n, relatifs soit au premier milieu, soit au second. Ces équations une fois trouvées, Le calcul n’offrait plus de difficultés sérieuses, et donnait séparément les valeurs de Ë, n, € relatives à chacun des rayons réfléchi et réfracté, quelle que fût d’ailleursla nature de la surface réfléchissante. Dès lors tous les phénomènes produits par la réflexion ou la réfraction étaient connus, et 1l ne pouvait rester aucun doute sur la nature des diverses constantes renfermées dans les équations finales. Dans la méthode employée par M. Mac-Cullagh, et fondée, comme il le dit luimême, non sur une théorie physique, mais sur une induction mathématique, l'interprétation des symboles imaginaires pouvait embarrasser quelque temps le physicien ou le géomètre, et réclamer de profondes méditations ; mais, dans l’autre méthode, la seule difficulté véritable est la formation des équations de condition desquelles on tire les valeurs de £, , €, en opérant à peu près comme on l'avait déjà fait dans plusieurs questions de Physique, par exemple, comme je lai fait moimême dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac pour l’année 1830, et dans mes Nouveaux Exercices de Mathématiques (1835-1836). Aussi, quoique les formules dont il est question dans les Comptes rendus de 1836 ne se trouvent pas explicitement insérées dans ma Lettre du 2 mai, où j'ai seulement rapporté plusieurs des conséquences que j'en avais déduites, M. Mac-Cullagh, qui doit être curieux de connaître ces formules, afin de pouvoir les comparer aux siennes, n'aura point de peine à les retrouver dès qu’il saura qu’elles étaient pour moi à cette époque

EXTRAIT N° 45. 341 les équations de condition relatives à la surface réfléchissante. Or, suivant mon opinion, pour obtenir les équations dont il s’agit, il suffisait d'exprimer que, dans le voisinage de la surface de séparation de deux milieux, les déplacements £, n, € des molécules d’éther, relatifs soit au premier milieu, soit au second, fournissaient les mêmes valeurs de #, quand l’on prenait pour & soit une fonction des coordonnées +, y, 3, t'représentée par l’une des trois différences hi) D 0 À à d

03 dy 0x 03 0 0x soit la dilatation linéaire de l’éther mesurée suivant la normale à la surface réfléchissante et déterminée par la formule

a( +$)+&(S qe)

0Ë dn dË dn dË dE, Ôn 0x 02 dy 0x

(Hs à + b? RL PE bc (+S a, b, c désignant les cosinus des angles formés par cette normale avec les demi-axes des coordonnées positives.

Pour s'assurer par lui-même que ma mémoire ne me trompe pas à cet égard, M. Mac-Cullagh n'aura besoin que de jeter les yeux sur les dernières livraisons des Nouveaux Exercices de Mathématiques, imprimées antérieurement au Mémoire d’août 1836, et mentionnées dans l’observation qui termine ce Mémoire. Il y trouvera (p. 203 et 204) les formules (1), (2) et ce que je vais transcrire.

« Lorsque, les deux milieux étant séparés l’un de l’autre par le plan des y, z, on suppose l’axe des z parallèle au plan des ondes lumineuses et par conséquent perpendiculaire au plan d'incidence, on a dans la formule (2) |

Er, D, es à À et de plus Ë, n, € deviennent indépendants de z. Done alors, en changeant, ce qui est permis, le signe de la première des différences (1), on trouve que les fonctions (r)et (2) peuvent être réduites à

de OÙ 06 0

3 ee ns Du (3) 07’ 0x dy 0x 0x

Donc, si l’on nomme €’, »’, © ce que deviennent les déplacements £, n, @, tandis que l’on passe du premier milieu au second, on aura, pour les points situés sur la surface de séparation, c’est-à-dire pour x = 0,

; Œ OŒ 0 non (4) 0x 0x’ y 0x 0 0x’ et

un db: 08 dis ou

(9) 0x 0x 0 oO

Lorsque dans les équations (4) et (5) on substitue à £, n, € les seconds membres des formules (1) du $ V, et à £’, n’, ©’ les seconds membres des formules (2) du même paragraphe, on obtient les lois de la réflexion et de la réfraction, à la surface des corps transparents, avec les diverses formules que contiennent les deux Lettres adressées à M. Libri les 19 et 27 mars et imprimées dans le n° 14 des Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences pour l’année 1836. On déduit aussi, des conditions (4) et (5), les lois de la réflexion opérée par la surface extérieure d’un corps opaque, et par la surface intérieure d’un corps transparent, dans le cas où la réflexion devient totale (vorr à ce sujet les deux Lettres adressées à M. Ampère, les 1° et 26 avril 1836). Comme je l'ai montré dans ces différentes Lettres, les formules auxquelles conduisent les conditions (4) et (5), non seulement déterminent l'intensité de la lumière polarisée rectilignement par réflexion ou par réfraction, etles plans de-polarisation des rayons réfléchis ou réfractés, mais encore elles font connaitre les diverses circonstances de la polarisation circulaire ou elliptique, produite par la réflexion opérée à la surface d’un corps opaque, et en particulier d’un métal. »

En opérant comme je viens de le dire, M. Mac-Cullagh aura bientôt reconnu : 1° que les formules insérées par lui dans les Proceedings de la Société royale d'Irlande sont comprises parmi celles qui se déduisent des équations (4), (5), et qu’en conséquence elles ne diffèrent pas au fond de plusieurs des formules dont il est question dans ma Lettre du 2 mai 1836; 2° que, pour arriver à ces formules, la méthode la plus claire et la plus sûre consiste à établir d’abord les équations (4), (5),

puis à tirer de ces équations les valeurs des déplacements moléculaires dans chacun des rayons réfléchi et réfracté; 3° que cette méthode à l'avantage d'indiquer la marche de la lumière, non seulement dans le premier milieu, mais encore dans le second, en fournissant, avec l’explication des phénomènes sensibles observés dans le milieu transparent, les lois de ceux qui échappent à nos yeux et qui se rapportent au rayon réfracté; 4° que l'angle de réfraction et la vitesse de propagation de la lumière dans le second milieu ont des valeurs réelles, par conséquent des valeurs distinctes des expressions imaginaires désignées sous ces deux noms dans le Mémoire de M. Mac-Cullagh, et que l’indice de réfraction a effectivement la valeur que je lui ai assignée.

Du reste, M. Mac-Cullagh ayant composé son Mémoire avant que mes travaux sur le même objet fussent suffisamment connus, et n’ayant pas eu sous les yeux des formules comprises seulement d’une manière implicite dans celles que j'avais publiées, il est clair que ce Mémoire offrait tout le mérite d’une difficulté vaincue, et devait être sous ce rapport favorablement accueilli des savants.

MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les mouvements de deux systèmes

de molecules qui se pénétrent mutuellement.