C. R.,t. VII, p. 597 (28 avril

Lorsque l’on considère les mouvements de deux systèmes de molécules qui se pénètrent mutuellement, on obtient six équations du genre de celles que j'ai données dans mon Mémoire sur la dispersion, et qui renferment six variables principales avec les actions exercées : 1° par les molécules du premier système sur d’autres molécules du premier système; 2° par les molécules du second système sur d’autres molécules du second système; 3° par les molécules d’un système sur celles de l’autre. Les six variables principales sont les déplacements

d’une molécule du premier système et les déplacements d’une molécule du second système, mesurés parallèlement aux axes coordonnés. Lorsque les deux systèmes sont homogènes et que les mouvements sont infiniment petits, alors, par la raison que j'ai donnée dans un autre Mémoire, on peut réduire les six équations obtenues à six équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants; et si l’on élimine entre elles cinq des variables principales, l'équation résultante sera encore une équation linéaire aux différences partielles et à coefficients constants. Donc, ce que j'ai dit d’un système de molécules s'applique encore à deux systèmes qui se pénètrent, dans le cas même où l’on tient compte des actions exercées par les molécules d’un système sur celles de l’autre.

Lorsque les molécules de l’un des systèmes sont trop écartées les unes des autres pour exercer des actions mutuelles, les formules se simplifient et paraissent spécialement applicables à la propagation du son dans les gaz. Alors les phénomènes dépendent surtout de l’attraction exercée par les molécules d’air sur celles du fluide éthéré, par conséquent d’une force qui croît avec la pression et pourrait la représenter.

Dans le cas général, les formules paraissent s'appliquer plus spécialement à la propagation de la lumière dans les corps solides.

Au reste, je reviendrai sur ces divers résultats dans les prochaines séances.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les mouvements infiniment petits

de deux systèmes de molécules qu se pénètrent mutuellement. C. R.,t. VII, p. 779 (20 mai 1839).

SI. — Équations d'équilibre et de mouvement de ces deux systèmes,

Considérons deux systèmes de molécules qui coexistent dans une portion donnée de l’espace.

EXTRAIT N° 47. 345 Soient, au premier instant, et dans l’état d'équilibre,

æ, y, = les coordonnées d’une molécule m du premier système ou d'une molécule m, du second système ;

X+X, y + y, 5 +zles coordonnées d’une autre molécule #2 du premier système, ou d’une autre molécule », du deuxième système ;

r le rayon vecteur mené de la molécule m ou m,, à la moléeule 2 ou / :

on aura (1) PREERP HV 22,

et les cosinus des angles formés par le rayon vecteur r avec les demiaxes des coordonnées positives seront respectivement

a æ Supposons d’ailleurs que l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m et 2 ou m, et »2,, étant proportionnelle à ces masses et

à une fonction de la distance r, soit représentée, au signe près, par mm fr)

pour les molécules m et 2, et par ma, f (r)

pour les molécules m et 7, chacune des fonctions

désignant une quantité positive, lorsque les molécules s’attirent, et négative lorsqu'elles se repoussent. Les projections algébriques de la force mm f(r) ou mm, f(r)

sur les axes coordonnés seront les produits de cette force par les cosinus des angles que forme le rayon vecteur 7 avec ces axes, et, en conséquence, si l'on fait pour abréger [ \ f{r) 4 f(r) \ (2) Re ir)

OEuvres de C.—S. I. t.1V. A

elles se réduiront, pour la force mn f(r), à mmxfltr), mmyfir), mmzf(r)

et, pour la force mar, f(r), à

mm,xf(r)}, mm,yf,(r),, mmzf(r).

Cela posé, les équations d'équilibre de la molécule m seront évidem-

ment | o—S[mxf{r)]+ S[m,x f(r)], (3) 0=S[my f(r)]+ S[m,y f(r)],

0 = S[mz fir)] + S[m,zf,(r)],

la lettre caractéristique S indiquant une somme de termes semblables entre eux et relatifs aux diverses molécules 72 du premier système, ou aux diverses molécules #2, du second système.

Concevons maintenant que les diverses molécules

RE CON ET TRE A viennent à se mouvoir. Soient alors, au bout du temps £, cs 5 4 e

les déplacements de la molécule m, et

les déplacements de la molécule m,, mesurés parallèlement aux axes coordonnés. Soient d'ailleurs

É+AË, n+An, C+A et

#06, n, + An, 6, + àË,

ce que deviennent ces déplacements, lorsqu'on passe de la molécule m à la molécule »2, ou de la molécule m, à la molécule »,. Les coordonnées de Fa molécule w, au bout du temps £, seront

THE, V+n, 3+6, tandis que celles de la molécule 72 ou mn, seront

ZHXHEÈHAE, p+y+n+An, 3+2+6+A

EXTRAFF N° +7. 31 ou

Z+XxHE,+AË, y+y+n,+An, 2+2+6,+ A,

Sotent à cette même époque r+p

la distance des molécules m, 77, et ik +p,

la distance des molécules m, »,. La distance r+p

offrira pour projections algébriques sur les axes des æ, y, z les différences entre les coordonnées des molécules m, », savoir

X+AË, y+An, z + A,

tandis que la distance BP, offrira pour projections algébriques les différences entre les coordon-

nées des molécules mn, 22, savoir X+HÉé —E+AËE, y+n,—n+An, 2+6,—6+A,

On aura en conséquence

((r+p)}? =(x+AËP+(y+ An) +(z+ A),

l (r+pi}=(x HE —Ë+AËE)+(y+n —n+An) + (246 —6+ ALP).

Cela posé, pour déduire Les équations du mouvement de la molécule m de ses équations d'équilibre, c'est-à-dire des formules (3), il suffira évidemment de remplacer, dans ces formules, les premiers membres

par

dt? ?

dE dy dt

de? de?

puis de substituer à la distance

et à ses projections algébriques

1° dans les premiers termes des seconds membres, la distance r+p et ses projections algébriques Xx+ AË, y+An, z+AË; 2° dans les derniers termes des seconds membres, la distance

PTE, et ses projections algébriques

X+ÉE —E+HAE, y+n,—-n—+An, 2+6, —6+ A6.

En opérant ainsi, on trouve

PE = S[m(x + AË) ftr+p)}]+S[m(x+Ë, —E+AE) fr +o,)], re PE = S[m(y + An)f{r + p}]+ SCm, (y +n,—n+ An) f(r+p,)], Te = SEm(z + AE) flr + p)]+ SEm (2 + €, — € + A) fr pl

On établirait avec la même facilité les équations d'équilibre ou les équations de mouvement de la molécule m,. En effet, supposons que l’attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m, et 2,, ou m, et», étant proportionnelle à ces masses et à une fonction de la distance 7, soit représentée, au signe près, par

mm,f,(r) pour les molécules m, et 2,; elle devra être représentée par mmf,(r)

pour les molécules m, et »2, l’action mutuelle de m, et 2 étant de même nature que l’action mutuelle de »2, et m. Donc, si l’on pose pour abréger

(6) fire 2,

les équations d'équilibre de la molécule m se réduiront, non plus aux

formules (5), mais aux suivantes :

| o=S[m,xf,(r)]+S[mxf(r)], (o—S[m,yf,(r)]+S[mxf(r)], ]

l o—S{[m,zf,(r)]+S[mx fr)

nn ss] die

Concevons d’ailleurs qu'au bout du temps z la distance des molécules m,, 72, soit représentée par

et celles des molécules m, 72 par

On aura x: f. , Ai fe A ? \2 { * \2 / D 2 8) ((r+p,}= {x + AË, RP + (y + An)? + (z + Aë,}?, Lee pP=(R+E—E + A+ (y+n— + An+(2+6—6+ At),

et les équations du mouvement de la molécule m, seront

J+S[m(z+é—Eé,+AË) f(r+,e)].

Det = S[m,(2 + A) f.(r+p,

Si dans chacune des formules (5) on réduit le dernier terme du second membre à zéro, on retrouvera précisément les équations du mouvement d'un seul système de molécules sollicitées par des forces d'attraction et de répulsion mutuelle, et pour ramener ces équations

à la forme sous laquelle je les ai présentées dans le Mémoire sur fa fr f(r)

au lieu

Dispersion de la lumuëére, 1 suffirait d'écrire er au lieu de s, de /{r) et rcosx, rc0s6, rcosy au lieu de x, y, z.

Les équations qui précèdent et celles que nous en déduirons dans les paragraphes suivants doivent comprendre, comme cas particuliers, les formules dont M. Lloyd a fait mention dans un article fort intéressant, publié sous la date du 9 janvier 183-, où l’auteur, convaineu

qu'on ne pouvait résoudre complètement le problème de la propagation des ondes, sans tenir compte des actions des molécules des corps, annonce qu'il est parvenu à la solution dans le cas le plus simple, savoir, lorsque les molécules de l’éther et des corps sont uniformément distribuées dans l’espace. (Proceedings of the royal Irish Academy, for the year 1836-37.)