EE (ER

k (PR + @T +...) est dr

Or ilest clair : 1° que les valeurs précédentes des variables principales s’évanouissent pour { — 0; 2° qu'elles vérifieront les équations (r), en vertu des formules (14) du $ I, si l’on a identiquement

(SH L)(LR + MI +...) + MPR+BT+...)+...—0, (4) | PILX + MI +...) +(s+Q)(PR+BT+...)+...—0,

PETITE Re M ee D NAT RS 6 pavé e 6» 'e 0 Dh ee E'e 6 ere c'eiiers d'en + » ds, ee 0e à der.»

D'ailleurs ces dernières équations seront effectivement identiques, attendu que les valeurs de A, B, C, ..., fournies par les équations (9) du $ I‘, vérifient les formules (4) du même paragraphe, indépendamment des valeurs attribuées aux facteurs «, 6, ... et par conséquent dans le cas même où l’on remplacerait

M6 is par: À: 7:

‘Si maintenant on veut obtenir pour les variables principales En,

des valeurs qui aient la double propriété de vérifier, quel que soit 4, les équations (1), et de se réduire aux constantes

pour £ — 0, il suffira évidemment d'ajouter les valeurs de Ë, x, ... fournies par les équations (3) à celles que donnent les formules (11) du

S 1. Ou trouvera ainsi

| © Î (LR + MT +... )eC-" dr

,. rifa+ M6+...)es = È ((8)) me È ES

; X + à .. Jest-9 d 1 SRE es f (PX + J + }e T sl à (1)

I y a plus : si l’on nomme 6 la fonction principale déterminée par la formule

sst

(6) = Es)

et & ce que devient cette fonction, quand on y remplace la variable indépendante # par la différence 4 — +, en sorte qu'on ait

es(t—T)

si d’ailleurs, comme dans le $ I, on désigne par RS MURS ASE L 3

les fonctions de D, dans lesquelles se transforment les facteurs RE ie ©

quand on y remplace s par D,, les formules (5) donneront simplement

t —(aL+6M+...)6+ f (XL + SM +...) dr,

D'autre part, si l’on fait pour abréger (9) E=(XL+FM+...)6, H=(XP+YSQ+...)6, :: ...,

=, H, .… représenteront de nouvelles variables assujetties : 1° à vérifier,

EXTRAIT N° 50. 385 quel que soit 4, les formules

| (D: +£)E+MH+...—o,

(ro CPE + (D +9)HE..:— 0,

2° à vérifier, pour { — + — 0, ou, ce qui revient au même, pour 7 — {,

les conditions

(an ot NT RTE,

t t f° = dt, i. H d-, dE: 0

désigneront évidemment les valeurs de £,7, ... correspondantes au cas

et les intégrales >,

particulier où l’on aurait 6, Fer Cela posé, on déduira immédiatement des formules (8) la proposition suivante :

TuéorèmEe. — Supposons que les n variables principales E, 1, sotent assujetties : 1° & vérifier n équations différentielles dont les premiers

membres se réduisent à des fonctions linéaires de ces variables et de l’une

des dérivées dé -dh dé

le coefficient de cette dérivee étant l'unité, et les seconds membres étant des

fonctions + FER CES

de la variable indépendante t; 2° à vérifier, pour t — 0, les conditions

ne, = 6) Pour obtenir les valeurs générales de OR NE

ŒEuvres de C. — S. 1, t.IV. 49

il suffira d'ajouter à celles que l’on obliendraut si + ne # se reéduisaient à zéro, les valeurs de &, n, ... correspondantes au cas parti-

culier où l’on aurait en à ÉD,

Ces dernières seront d’ailleurs de la forme

a t t (12) =} = dr, 1= [ ue, es +9 LA =, H, ... étant ce que deviennent les valeurs de &,n, ... relatives à des valeurs nulles de X, Y, ... quand on y remplace

t paré,

a, 6, par les quantités

X, À, dans lesquelles se transforment

ENS à

en vertu de la substitution de + à t.

Au reste, pour établir directement ce nouveau théorème, il suffit de

montrer que les valeurs de É::

fournies par les équations (12), non seulement s’évanouissent, comme on le reconnait à première vue, pour £:— 0, mais encore vérifient les équations (1) ou (2). Or effectivement ces valeurs, substituées dans les équations (1) ou (2), les réduiront, en vertu des formules (11), aux suivantes :

E L+ [ [(De+£)E+MH+...]d=X, "0

Y + Î [RS +(D+NRE RSR V0

et ces dernières seront identiques, eu égard aux équations (10).

EXTRAIT Ne 50.

LA

SIL. — Jntégration d'un système d'équations différentielles linéaires et à coefficients constants d'un ordre quelconque, le second membre de chaque équation pouvant étre,ou zéro, ou une fonction de la variable indépendante.

Supposons que les équations différentielles données, étant par rap-

port à une ou plusieurs des variables principales