D ETES ES

EXTRAIT N° 50. 371 soient assujetties à la double condition de vérifier, quel que soit £, les équations (1), et de vérifier, pour 4 = 0, les formules (15), il suffira de prendre pour ces variables Les valeurs que fournissent les formules (11).

IL est bon d'observer que si l’on désigne par L, M, ..., P, ©, les fonctions de la caractéristique D,, dans lesquelles se transforment

les facteurs {, A, SRE p, @,

quand on y remplace s par cette caractéristique, les formules (r1) pourront s’écrire comme il suit

est

(16) E—(aL+8M+...)0 Ts

Donc si l’on pose, pour abréger, e soft I SSrarse ÉAuE oh cs)".

on aura simplement (18) E—{(aL +6M+.. )6, n={(aP + 6Q +...)6,

Si l’on représente par .

ce que devient $, quand on y remplace la lettre s par la caractéristique D,, la fonction 6 déterminée par la formule (17) ne sera évidemment autre chose qu’une nouvelle variable principale assujettie : 1° à vérifier, quel que soit #, l'équation différentielle de l'ordre »,

(19) VO = 0; 2° à vérifier, pour £ — 0, les conditions

d8 ee dr-20 dr-19 at "l'O tte din-2 de, dr 1 —

Cette fonction est ce que nous appellerons la /onction principale. Quant

aux valeurs de Ë, ls C;

OEuvres de C.— S.1, t. IV. 48

déterminées par les formules (18), elles ne différeront pas de celles que l’on déduirait par élimination des équations différentielles

| (D+L)Ë+Mn+...=29V06, (21) | PE + (D: + Q)n+...—6ve8,

en opérant comme si D, et v étaient de véritables quantités. D'ailleurs, pour obtenir les formules (21), il suffira d’égaler le premier membre de chacune des équations différentielles données, non plus à zéro, mais au produit de 6v par ce que devient ce premier membre, quand on rem-

place les variables principales

&, n, 6, par zéro, et leurs dérivées par Les valeurs initiales

Æs 6, 1»

de ces variables principales; en d’autres termes, il suffira de remplacer, dans les équations différentielles données, les dérivées

D.Ë, Den, par les différences

DË— a V6, D,n — 6 VO,

Enfin, il est aisé de s'assurer que, pour passer des équations différentielles données à des équations intégrales qui fournissent immédiatement les valeurs générales de Ë, », €, ..., on devra suivre encore la règle que nous venons d'indiquer, dans le cas même où les équations données, étant linéaires, du premier ordre et à coefficients constants, ne seralent pas ramenées primitivement à la forme sous laquelle se pré-

sentent les équations (1) ou (2). On peut donc énoncer la proposition

THÉORÈME. — Supposons que les n variables principales S A, Le

soient assujellies : 1° à vérifier n équations différentielles linéaires du pre-

EXTRAIT N° 50. 379 muer ordre à coefficients constants, c'est-à-dire n équations dont les premiers membres soient des fonctions linéaires de ces variables principales et de leurs dérivées

Ed dt: dé dt:

prises par rapport à la variab'e indépendante t, les seconds membres étant

nuls; 2° à vérifier, pour une valeur nulle de 1, les équations de condition Ë re La ñ —— 6, 6 — Y»

Pour obtenir les valeurs générales de

ë, 1; Le 20

on écrira les dérivées di dx: dé

sous les formes D,Ë, D:n, D.£, CE

puis, on recherchera l'équation Let a

qu résulierait de l'élimination des variables principales €, r, €, ... entre les équations différentielles données si l’on considérait D, comme désignant une quantité véritable, et à cette équation V — 0, dont le premuer membre v sera une fonction de D,, du degré n, qui pourra être choisie de maniere

à offrir pour premier terme D}, on substituera la formule VO — 0,

que l’on regardera comme une équation différentielle de l'ordre n entre la variable indépendante t et la fonction principale 6. Enfin on déterminera celte fonction principale de telle sorte que, pour t = 0, elle s'évanouisse avec ses dérivées d’un ordre inférieur à n — 1, la dérivée de l’ordre n — x se reduisant à l'unité; et l’on égalera le premier membre de chacune des équauons différentielles données, non plus à zéro, mais au produit de ve par ce

que devient ce premier membre quand on y remplace les variables princti-

pales €, n, €, ... par zéro, et leurs dérivées

dd, de

Hd dd.

par les valeurs initiales ° ax, ©, 7»

de ces mêmes variables. Les nouvelles équations differentielles ainsi formees, etant résolues par rapport à

comme st D, désignait une quantité véritable, fourniront immédiatement les valeurs générales de €, n, G, .….. exprimées au moyen de la fonction principale et de ses dérivées relatives à t.

Ce théorème, qui ramène simplement l'intégration d’un système d'équations différentielles linéaires, à coefficients constants et du premier ordre, à la recherche de la fonction principale, devient surtout utile dans l'intégration des équations aux différences partielles, comme nous le verrons plus tard. Il est d’ailleurs facile de l’établir directement et de s'assurer qu’il fournit, pour Les variables principales £, », 7, ..., des valeurs qui satisfont à toutes les conditions requises. En effet, dire que les valeurs de

Ë, n, GC, ..., données par les formules (18), sont celles que l’on tire des équations (21), quand on opère comme si D, était une quantité véritable, c’est dire que l’on a (D +£)(aL+68M+.. )+(aP +68Q+.. )+...—aV, P(aL+8M+...)+ (D: + 2)(«P+6Q+...)+...—= 6V,

quels que soient «, 6, ...; en d’autres termes, c’est dire que l’on a

identiquement | (De + £)L + UP +...— y, (D: + £)M + RQ +... és (22) Dé ét 200) ®M +- (D: +9)Q RSR V, ETS

es, EXTRAIT N° 50. 381

Or il est clair qu’en vertu des formules (19) et (22) on vérifiera Îles équations (2), si l’on y substitue les valeurs de £, », €, ... fournies par les équations (18). De plus, v étant une fonction entière de D,, choisie de manière que dans cette fonction la plus haute puissance de D,, savoir D”, offre pour coefficient l'unité, si l’on regarde D, comme une quantité véritable, on aura, pour des valeurs infiniment grandes de

cette quantité,

re SE /è ?

et par suite, en vertu des formules (22) divisées par D},

he, M

nn: PRIT : ps ?

Donc, parmi les fonctions entières de D, désignées par

Éd St: 0...

les unes, savoir

L, Q, bd alt

seront du degré 7 — 1, et offriront D ‘ pour premier terme, tandis que les autres seront d’un degré inférieur à n — 1. Donc, en vertu des formules (20), on aura, pour { — 0,

D A Ph À M6 = 0, es POs-0; Q8— 1, ARE

*, ° ss... ...

D, étant considéré, non plus comme une quantité, mais comme une caractéristique, et les valeurs de

& 13, Gp 4)

fournies par les équations (18), vérifieront les conditions (15).

S IE. — Zniégration d'un système d'équations différentielles du premier ordre, linéaires et à coefficients constants, dans le cas où les seconds membres, au lieu de se réduire à zéro, deviennent des fonctions de la variable indépendante.

Supposons que, dans les équations (1) du $ I, les seconds membres, d’abord nuls, se transforment en diverses fonctions

b CEE PER À

de la variable indépendante #, en sorte que ces équations deviennent

respectivement | dE dt H LE + Nn +... —=X, (2) dn

HPE+ On +. Y,

ou, Ce qui revient au même,

(D+£)E+Mn+...—=X,

Si l’on veut obtenir des valeurs des variables principales qui aient la double propriété de vérifier ces nouvelles équations, et de s’évanouir pour # — 0, il suffira évidemment de remplacer, dans les formules (r1} du paragraphe précédent, les constantes

par les intégrales t

t . Xe di, Î Ye-st dt, 0 0 En effet, en opérant ainsi et désignant par X, dŸ;,

ce que deviennent AE,

EXTRAIT Ne 50. 383

quand on y remplace la variable indépendante £ par une variable auxilaire +, on trouvera

t Î (LX + MIS +...)eslt-) dr