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co,

cune se déterminera immédiatement à l’aide du théorème que je viens de rappeler. Seulement, si, au moment où le point mobile Z part de la position initiale P, la fonction & se confond avec le terme u, de la

suite Ho Mai os

et si le point Q' est situé, non sur le rayon vecteur OC’, mais sur son prolongement, c'est-à-dire sur une ligne d’arrèt, la même fonction 4, supposée continue, se confondra généralement avec un nouveau terme 4, de la suite w,, u,, u,, ..., après que le point mobile Z aura franchi la position Q’, le nombre À se réduisant toujours au nombre g dans le cas où Q’ serait un point du rayon vecteur OC’. Cela posé, on pourra généralement énoncer la proposition suivante :

THÉéoORÈME I. — Supposons que le point mobile Z, en partant de la posttion P, décrive une courbe continue quelconque PQR, dont l'arc mesure

dans le sens du mouvement soit représenté par s; et nommons

os Q"; ...) Qt)

les points d’intersection successifs de cette courbe avec les lignes d'arrêt qu'elle rencontre, ou avec les rayons vecteurs dont ces lignes sont les prolongements. Supposons encore que, la fonction irrationnelle w venant à

varier avec z d'une manière continue, on nomme ÉRR | TS à

ceux des termes de la suite u,, u,, u,, ... avec lesquels elle coincide quand

le point mobile Z parcourt successivement les portions de courbe

Nr VU. Qi l ‘intégrale curvuigne S + fa D, ds,

ctendue à tous les points de la courbe PQR, sera la somme des valeurs de l'intégrale rectiligne Î u dz correspondantes aux cordes des portions de courbe dont il s'agit, c'est-à-dire aux droites

Er 05.) QUE.

Il est important d'observer que la valeur de s, déterminée par le théorème précédent, ne variera pas si l’on fait mouvoir l'extrémité commune Q des deux cordes PQ’, Q’Q”, en rapprochant indéfiniment cette extrémité du point d'arrêt C’, sans lui faire franchir ce dernier point. En effet, supposons le point Q' remplacé par un autre point q situé sur la droite Q’C’, entre Q’ et C’. La valeur de l'intégrale fu ds, correspondante à la droite PQ’, sera la somme des valeurs de la même intégrale correspondantes aux droites Pq’, q'Q’. Pareillement, la valeur correspondante à la droite Q'Q” sera la somme des valeurs correspondantes aux deux droites Q'q', q'Q”’; et, comme les deux droites q'Q’, Q'q' coincident, mais sont censées parcourues en sens inverses par un point mobile, les deux intégrales correspondantes à ces droites seront égales, au signe près, mais affectées de signes contraires; et par suite la somme des valeurs de Ju dz, correspondantes aux droites PQ’, Q'Q”, ne différera pas de la somme des valeurs correspondantes aux deux droites Pq', q'Q”. On prouvera de même que l’on peut, sans altérer la valeur de s, rapprocher indéfiniment le point Q” du point C”, ..., le point Q°” du point C®”?. IT y a plus : si les produits

(z—c'hu, (z—c'ju, ..., (3 —cmu conservent des valeurs finies, le premier pour z — c’, le second pour 3 —c’,...,le dernier pour 3 — c”), les valeurs de fu dz correspondantes aux droites PUS CUS as ER

seront toutes finies, et par suite on pourra sans inconvénient faire atteindre aux points Q’, Q”, ..., Q°”, devenus mobiles, les positions C’, C”, ..., CO” dont ils s’approchent indéfiniment. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Taéorème IT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I,

si les produits (s—c'hu, (3—c'jhu, ..., (3—c) )u

s'évanouissent, le premier pour 3 = c, le second pour = —c", ..., le der-

nier pour 3 = c"", l'intégrale curviligne $ sera la somme des valeurs de

l'intégrale Î u dz correspondantes aux droites Per O0 Foie COR,

En vertu de ce théorème, l’intégrale curviligne 8 relative à une ; courbe continue OPR se décompose en intégrales rectilignes, dont | une seule dépend de l’origine P de la courbe, une seule de l’extré- 1 mité R de la même courbe, les autres intégrales rectilignes étant indépendantes des positions des deux points extrèmes.

Si le point R coïncide avec le point P, là courbe continue PQR sera une courbe fermée. Si, de plus, on a

Un = Ugs la somme des valeurs de fu dz correspondantes aux deux droites C°”P, À PC’ sera précisément la valeur correspondante à la droite C°”C', et l'on obtiendra la proposition suivante :

Taéorème IE. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème IT,

si la courbe PQR est fermée, en sorte que ses extrémités P, R coincident,

À et si de plus la fonction u reprend la méme valeur quand le point mobile Z

reprend sa position initiale P, l'intégrale curvuigne 8, devenue indépen-

dante de la position du point P, sera la somme des valeurs de l'intégrale

rectiligne J u dz correspondantes aux droites Lite, Cr Us Smet,

l'est bon d'observer que dans chaque intégrale rectiligne on peut

dpi rien ns LEA <

introduire à la place de la variable 3 une variable réelle 0 dont les

Re TE

limites soient zéro et l'unité. Ainsi, par exemple, l'intégrale recti-

ligne fu dz, étendue à tous les points de la droite CC”, ou, en d’autres

Cd À u dz, ce

se réduira simplement au produit

(ee) f u d,

CEuvres de C. — S.1,1.XI. 38

termes, l'intégrale définie

si l’on pose z=c'+(c"—0c')0.

Par suite, si l’on nomme 3,, 3, les valeurs de z correspondantes aux extrémités P, R de la courbe PQR, et 3’, 3”, ..., 3° [es valeurs de z correspondantes aux points intermédiaires Q', Q”, ..., Q°, l’intégrale curviligne 8 Ju D, ds, étendue à tous les points de la courbe, pourra être, en vertu du théorème 1, déterminée, non seulement par

Jet d aude [ Un dz +...+ u, dz, æ z' g(m)

el 0 db,

O—(3 — s)ug+(s"—3')ur+...+(z —30%))u,,

l'équation

mais encore par la formule

la valeur de @ étant

et la variable z devant être remplacée, dans le facteur w, par la somme 39 +0(z — 3,), dans le facteur w, par la somme z°+ 9(z”— 3°), ..., dans le facteur w, par la somme 2° + 0(2,— 20), Si d’ailleurs les produits

(3 —c')u, (s—c'jhu, ..., (3— cm) u

s’évanouissent, le premier pour z — c’, le second pour = — ce”, ..., le FA /

Si, les produits (z — c')u, (3 — c’)u, ... cessant de satisfaire à la condition énoncée, u renfermait les termes de la forme 4 J" 10m)

ct)?

æ D drag

alors, en désignant par v la somme de ces termes, et supposant que la condition énoncée fût remplie dans le cas où la différence u — v serait substituée à la fonction &, on pourrait aisément calculer la valeur de s relative à la fonction w, en la déduisant de la valeur rela-

tive à la fonction w — v, et, pour déduire la première de la seconde, il suffirait, d’après ce que j'ai dit ailleurs, d'ajouter à celle-ci plusieurs termes de la forme

NOR T Carr...

chaque double signe se réduisant au signe + ou au signe —, suivant que le mouvement de rotation du rayon vecteur OZ serait direct ou rétrograde, au moment où le point mobile Z passerait par la posi- Te US MÉPPR

Enfin, si, pour des valeurs de z voisines de c’, la fonction &w se

décompose en trois parties, dont l’une soit de la forme

en sorte qu'on ait

deviennent, le premier nul, le second infini pour z — c’, et le second nul pour une valeur infinie de z; alors, après avoir débarrassé la

fonction u du terme , on pourra, dans la détermination de 5,

effectuée à l’aide du théorème 1, commencer par substituer aux droites PQ’, Q'Q”, les droites Pq’, q'Q”, q' étant un point situé sur la droite QC’, à une distance infiniment petite du point C'; puis, afin de réduire à des quantités finies les valeurs des intégrales correspondantes aux droites Pq', q'Q”, on ajoutera à la première intégrale, et l’on retranchera de la seconde la valeur de Jr ds correspondante à q'r’, r’ étant un nouveau point que l’on supposera situé sur le prolongement de C/q', et qui pourra coincider avec le centre radical, ou s'éloigner à une distance infinie de C’.

En opérant de la même manière dans tous les cas analogues, on

réduira la détermination de s à l'évaluation d’intégrales rectilignes,

qui offriront toutes des valeurs finies, et parmi lesquelles deux seulement dépendront des positions des points extrêmes de la courbe donnée PQR.

Les théorèmes énoncés dans cet article supposent évidemment que le rayon vecteur mobilé OZ ne peut jamais décrire un angle supérieur à deux droits, tandis que son extrémité Z parcourt, en partie ou en totalité, l’un quelconque des arcs PQ’, Q'Q”, ..., Q'PR. II pourrait arriver que cette condition cessàt d’être remplie pour l’un de ces mêmes arcs; mais il serait facile de le partager en deux autres dont chacun satisferait à la condition dont il s’agit.

Dans un autre article, j’appliquerai les théorèmes ci-dessus énoncés à des cas spéciaux; je dirai en même temps quels sont les points de contact et les différences qui existent entre mes recherches, soit anciennes, soit nouvelles, et un Mémoire très remarquable dont M. Puiseux m'a parlé. Ce Mémoire, qu'il se propose de présenter aujourd'hui même à l’Académie, s'appuie, d’une part, sur les propriétés des fonctions irrationnelles traitées par lui dans un précédent Mémoire déjà publié en partie (voir le Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XV, p. 365, année 1850); d'autre part, sur la notion des intégrales rectilignes et curvilignes des équations différentielles, présentée pour la première fois aux géomèêtres, dans mes Mémoires de 1846.