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laquelle w, deviendra ou infini, ou équivalent à un autre terme w, de la suite Us: Us Ué,
Soient d’ailleurs e, c’, c”, ... les valeurs réelles ou imaginaires de = qui rempliront l’une de ces dernières conditions, et C, C’, C”, ... les points correspondants à ces mêmes valeurs de z. Si le point mobile Z vient à décrire une courbe continue et fermée, tellement choisie que les points C, C’, C”, ... soient tous extérieurs à cette courbe, w.,, U,, us, ... resteront, pendant le mouvement du point Z, fonctions continues de 3, et chacune de ces fonctions reprendra sa valeur primitive au moment où le point mobile Z reprendra sa position initiale. Si, au contraire, quelques-uns des points C, C’, C”, ... sont intérieurs à la courbe fermée dont il s’agit, un terme w, de la suite
U;, Us, UE
ne reprendra pas toujours la même valeur, quand le point Z reprendra sa position initiale. Cela posé, il semble au premier abord qu’il ne soit pas possible de séparer les unes des autres les diverses valeurs de w considéré comme fonction de z, tant que la valeur de = reste indéterminée. Néanmoins, pour éviter la confusion et rendre faciles à saisir les calculs qui se rapportent aux fonctions irrationnelles, il importait d'éfectuer cette séparation. J'y parviens de la manière suivante : Après avoir déterminé les divers points C, C’, C”, ... correspondants aux valeurs c, €’, c”, ... de la variable z, je trace les prolongements indéfinis CD, C'D', C’D” des rayons vecteurs menés d’un centre fixe O aux points C, C’, C”, ...; puis, j’assujettis chacune des
fonctions dis, dy ‘Ug
à varier avec s par degrés insensibles ou, en d’autres termes, à rester fonction continue de z, tandis que le point Z se meut lui-même par degrés insensibles dans le plan des æ, y, sans que jamais il lui soit permis d'atteindre les prolongements CD, CD’, CD”, ..., dont il pourra toutefois s'approcher indéfiniment. Comme, dans un tel mou-
vement, les droites CD, CD’, C'D”, ... peuvent être comparées à des obstacles devant lesquels le point mobile s’arrêterait, sans pouvoir jamais les franchir, j’appellerai ces droites lignes d'arrêt, et leurs origines C, C’, C”, ... points d'arrêt. Le point O lui-même sera ce que je nommerai centre radical.
Les diverses valeurs de & étant ainsi distinguées les unes des autres, les principes établis dans divers Mémoires que j'ai publiés en 1846, spécialement dans les Mémoires des 12, 19 et 26 octobre ('), s’ap-
pliquent avec la plus grande facilité à la recherche des relations qui.
existent entre les diverses valeurs de l'intégrale rectiligne fu dz, étendue à tous les points d’une ligne droite, et de l'intégrale curviligne f'uD, = ds, étendue à tous les points d’une courbe PQR, dont l'arc, parcouru dans un certain sens, est désigné par s; et d’abord, en vertu de la formule (15) du Mémoire du 26 octobre, st PQR est
une courbe qui ne coupe aucune ligne d'arrêt, l'intégrale pre f uD,: ds,
étendue à tous les points de la courbe PQR, sera simplement la différence entre les deux valeurs qu'acquiert l'intégrale rectiligne Ju dz, quand on l’étend : 1° à tous les points du rayon vecteur OR; 2° à tous les points du rayon vecteur OP. Donc l'intégrale curviligne s ne différera pas de ‘ntégrale | ‘u dz, étendue à tous les points de la corde PR, si cette corde ælemême ne coupe aucune des lignes d'arrêt.
Supposons, maintenant, que la courbe PQR, dont l'origine est au point P et l'extrémité au point R, coupe successivement les rayons vecteurs
