C.R., T. XXXIV, p. 9 (5 janvier

M. Aucusrix Caucuy présente à l’Académie un Mémoire sur le développement des fonctions en séries limitées.

Il arrive souvent qu'un procédé analytique fournit le développement d’une fonction en une série divergente dont les premiers termes forment une suite rapidement décroissante. Souvent aussi, dans cette hypothèse, on obtient une valeur très approchée de la fonction en limitant la série, et l’arrêtant après un certain terme. D'ailleurs il importe de savoir, non seulement si cette limitation est légitime, mais encore quel est le terme auquel on doit s'arrêter, et quel est le degré

d’approximation. M. Cauchy fait voir que, dans un grand nombre de

cas, il suffit, pour résoudre ces diverses questions, de recourir à la considération des valeurs moyennes des fonctions et de leurs #rodules principaux. I y a plus : cette considération permet de développer les restes qui complètent les séries limitées, en d’autres séries non limitées et convergentes, à l’aide desquelles on peut déterminer les valeurs de ces mêmes restes.

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. IX, p. 129 et suivantes.

he.

Ajoutons que les diverses formules, obtenues comme on vient de le dire, s'appliquent très utilement à la détermination des mouvements des corps célestes.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur le développement des quantites

en séries limitees.

, C. R., T. XXXIV, p. 70 (19 janvier 1852).

Lorsqu'une quantité ne peut être calculée directement, on peut recourir, pour la déterminer, à un développement en série. Mais les séries que l’on suppose illimitées et prolongées indéfiniment ne peuvent être admises dans le calcul qu'autant qu’elles sont convergentes. D'ailleurs la détermination d’une quantité à l’aide d’une série convergente devient laborieuse et même impraticable, lorsque les termes de cette série décroissent très lentement; or c’est là précisément ce qui arrive dans un grand nombre de cas, et surtout quand il s’agit de calculs dans lesquels entrent des fonctions périodiques, ainsi que nous allons l'expliquer.

Souvent, dans les applications de l’Analyse mathématique, particulièrement en Astronomie, on rencontre une ou plusieurs fonctions du sinus et du cosinus d’un angle p, et la solution des problèmes exige le développement d’une telle fonction en une série ordonnée suivant les sinus et les cosinus des multiples de l'angle p, ou, ce qui revient au même, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l’exponentielle trigonométrique dont l'angle p est l'argument. Or le coefficient de la 2“ puissance est représenté par une intégrale définie, ou mieux encore par une moyenne tsotropique relative à l’argumentp; et, quoique cette moyenne isotropique puisse, en général, être développée par des procédés divers en série convergente, toutefois, lorsque l’exposant x a une valeur considérable, il arrive fréquemment que les séries convergentes obtenues offrent des

sommes dont la détermination, même approximative, exigerait le calcul de plusieurs milliers de termes. J'ai cherché les moyens de parer à un si grave inconvénient, et jy suis parvenu en remplaçant les séries illimitées par des séries limitées convergentes ou même divergentes. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Pour qu'une fonction donnée Z de l’exponentielle trigonométrique = soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de x, il suffit que cette fonction Z reste monodrome, monogène et finie dans le voisinage de la valeur 1 attribuée au module de z. Sous cette condition, le coefficient À, de z" dans le développement sera la moyenne isotropique entre les diverses valeurs du produit 3-"Z, et cette moyenne Isotropique ne variera pas si, après avoir remplacé le module 1 de z par un autre module r, on fait varier celui-ci entre deux limites, l’une inférieure, l’autre supérieure à l'unité, mais tellement choisies que la fonction Z ne cesse pas d’être monodrome et monogène. Ces deux limites du module r sont inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire de la forme

lorsque Z est une fonction réelle de l'angle p; et je prouve que leur considération fournit précisément le moyen de développer le coefficient A,, quand » est un très grand nombre, en une série convergente ou divergente, mais qui décroit très rapidement dans ses premiers termes. Je montre, de plus, comment, après avoir prolongé cette série jusqu’à un terme numériquement insensible, ou, si elle est divergente, jusqu'à son plus petit terme qu'il est facile de reconnaitre, on peut la compléter par un reste qui est généralement de l’ordre du dernier des termes conservés, et que j'apprends à développer en une série nouvelle, toujours convergente; enfin, je montre comment on peut fixer à l'avance le terme auquel on doit s’arrêter ou dans la première série, ou du moins dans la seconde, pour obtenir, avec une approximation donnée, la valeur cherchée du coefficient A,. Jusqu'à présent, nous avons supposé qu'il s'agissait de développer

une fonction périodique suivant les puissances ascendantes d’une seule exponentielle trigonométrique z. Si, la fonction proposée renfermant deux exponentielles de ce genre, par exemple z et z,, on était forcé de la développer suivant leurs puissances ascendantes, alors, après avoir trouvé le coefficient À, de 3”, il resterait encore à développer À, suivant les puissances ascendantes de 3,, et à déterminer, par exemple, dans ce développement le coeflicient A, de z" ou le coefficient A,,,, de 27", Or ce dernier problème est lui-même du nombre de ceux dont la solution, quand z, est un très grand nombre, semble exiger un travail immense. Je fais voir qu’on peut encore le résoudre, à l’aide de séries limitées, convergentes ou même divergentes, mais rapidement décroissantes dans leurs premiers termes, et complétées par des restes qui se développent en séries convergentes. Je montre aussi qu'on peut fixer à l’avance le terme auquel on doit s'arrêter, soit dans la série limitée, soit dans le développement du reste, pour obtenir, avec une approximation donnée, la valeur cherchée du coeflicient A, , ou A,

Le principe sur lequel je m’appuie pour développer en séries limitées les coeflicients A, et À,,, ou A,, me paraissant digne de quelque attention, je l’indiquerai ici brièvement.

On sait que l’on détermine avec la plus grande facilité le reste qui complète une progression géométrique même divergente. D'ailleurs une intégration relative à une variable peut transformer une suite constamment croissante, et, par conséquent, divergente, en une suite qui, avant de croître, commence par décroitre, et décroisse même très rapidement dans ses premiers termes. Cela posé, pour obtenir le reste propre à compléter une série divergente qui décroit très rapidement dans ses premiers termes, il suffit évidemment de transformer ses divers termes, de manière qu’ils soient produits par une intégration définie appliquée aux termes correspondants d’une progression géométrique. Or une semblable transformation est précisément celle qu'opèrent les formules auxquelles on est conduit par le calcul des résidus et par la considération des moyennes isotropiques. Il

était donc naturel de s’attendre à ce que l'emploi de ces formules permit, dans les applications de l'Analyse mathématique, de tirer des séries limitées, même divergentes, des déterminations sûres et rapides, que souvent les séries illimitées et convergentes ne pouvaient donner.

Le principe général que je viens de rappeler est spécialement applicable à la solution de divers problèmes d’Astronomie. On sait, en effet, que le calcul des perturbations des mouvements planétaires suppose le développement de la fonction nommée perturbatrice en une série ordonnée suivant les cosinus d'arguments représentés par des fonctions linéaires des multiples des anomalies moyennes. On sait aussi que la partie constante d’un argument quelconque, et le coefficient du cosinus de cet argument, sont très difficiles à déterminer par les méthodes ordinaires, lorsque les multiples des anomalies moyennes deviennent très considérables; et cette circonstance est précisément celle qui, jusqu’à ces derniers temps, rendait à peu près impraticable le calcul des perturbations d’un ordre très élevé. Toutefois, dépuis quelques années, on est parvenu à déterminer des perturbations de ce genre, soit, comme l’a fait M. Le Verrier, dans son Mémoire sur la grande inégalité de Pallas, en ayant recours à une double interpolation qui concerne le système de deux variables, soit, comme je lai fait moi-même, dans les Comptes rendus de 1845 (t. XX, p. 774 etsuiv.) (), en recourant aux théorèmes généraux que j'avais établis à cette époque et à une interpolation simple. On peut même, comme je l'ai montré dans le Mémoire du 2 juin 1845, déterminer directement, par de nouvelles formules, et sans interpolation d'aucune espèce, les perturbations à longues périodes avec une exactitude d'autant plus grande qu’elles sont d’un ordre plus élevé. Mais, en soumettant à un nouvel examen mes formules de 1845, J'ai reconnu qu’elles peuvent être avantageusement remplacées par les formules plus simples que je donne aujourd'hui.

(1) OEuvres de Cauchy, S. I, T. IX, p. 124.

ANALYSE

Soit à une fonction donnée du sinus et du cosinus de l'argument p. Soit encore é Z=53(:)

ce que devient la fonction & quand on y pose

si TTs.

Supposons enfin que Z, considérée comme fonction de z, reste monodrome et monogeène dans le voisinage du module x attribué à la variable z. Alors Z sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de la variable z, et, en nommant A, le coefficient de 3” dans cette série,

on aura (1) ‘ A, =M(3-22), (2) A y= M (3"Z).

I y a plus: les formules (1), (2) continueront de subsister si, en remplaçant le module 1 de z par un autre module r, on pose, en conséquence,

(3) SES Tir et si d’ailleurs on fait varier le module r entre deux limites Fes a > t

tellement choisies, que la fonction Z ne cesse pas d’être, entre ces limites, monodrome et monogène.

Soient maintenant

5,= aeñi et eee

les valeurs de z correspondantes aux modules a, a’, et pour lesquelles la fonction Z cesse d’être monodrome et monogène. A ces valeurs de z correspondront ordinairement des valeurs nulles ou infinies de la fonction Z qui deviendra infiniment petite ou infiniment grande

pour une valeur infiniment petite de la différence 3 — z ou 3 — =’. C'est ce qui arrivera, par exemple, si a est de la forme

R (4) #7 MT P, Q, ..., R désignant des fonctions entières de sinp, cosp, et s, 1, ..., des exposants positifs quelconques. Alors, pour obtenir z,

et z", il suffira de résoudre par rapport à la variable z les équations (5) P=o, Q—=o, .….,

et de chercher parmi leurs racines celles qui offriront les modules les plus voisins de l'unité (*). Si, pour fixer les idées, on suppose que z, soit racine de l’équation

pb la fonction Z de z pourra être présentée sous la forme

(6) Z=(i—z,s5")SF(s),

+ F(3) étant une fonction qui restera monodrome et monogène dans le voisinage de la valeur z, attribuée à la variable 4, et si, parmi Îles racines des équations (5), 3,= bebi

est celle qui offre le module immédiatement inférieur au module à de z,, la fonction F(z) restera généralement monodrome et monogène entre les limites b et a’ du module r de la variable 3.

Considérons maintenant, d’une manière spéciale, le cas où la fonction Z est de la forme indiquée par l'équation (6), la fonction F(z) étant monodrome et monogène entre les limites