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et cherchons dans ce cas la valeur de A.
(1) Lorsque P, ©, ..., R sont des fonctions réelles de cosp et sinp, la racine z' est
Ath UC conjuguée à —, de sorte qu'on a
ur
CAR À pu a =
EXTRAIT N° 500. 393 Si d’abord on suppose la fonction F(z:) réduite à l’unité, on aura simplement
(7) Mn [(s"(1—2,3"1)7"]=[Ss],
la valeur [s], étant
> [Shi =
s(s+1)...(s+ n —1) RC PRE À
Si au contraire F(z) diffère de l’unité, on aura (8) A n,—=M[3t(1— 5,3 1) SF(z)|].
Or un moyen très simple de calculer, dans cette dernière hypothèse, la valeur de A, et de la développer en une série dont les termes successifs décroissent très rapidement pour de grandes valeurs de », sera évidemment de développer, sous le signe 3, la fonction F(z) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z — z,. En supposant que le développement de cette fonction soit convergent, on trouvera
(9) F(s)=F(2,) + 2 Pa) + EH prés) +...
par conséquent l'équation (8) donnera
1— 5] [1—s] US: | IG Aus Fs 2" \F(s LR ere = 32E"(z)—...;, ( ) n [s]x & (z,) hdi ! PC MEN TE a)" (z,) \ et il est clair que, pour de très grandes valeurs de n, les premiers termes de la série renfermée entre les parenthèses dans la formule (10) décroitront très rapidement avec ceux de leurs facteurs qui dépendent de », c’est-à-dire avec les termes de la suite
1 1 At (n+i)(n +2)
Mais, le plus souvent, les séries que renferment les formules (9), (10) seront divergentes, et par suite ces formules devront être rejetées.
Œuvres de C. — S.1,1.XI. 20
Toutefois, dans ce cas-là même, pour obtenir encore avec une grande facilité la valeur de AÀ,, quand x sera un très grand nombre, il suffira encore de développer F(z:) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence 3 — z, mais en limitant la série et en opérant comme il suit.
L’équation (8) subsistera pour tout module de z renfermé entre les limites a, a’. Si d’ailleurs F(:) conserve une valeur finte pour z—o, et si l’on nomme w une variable distincte de z, mais dont le module, supérieur à celui de z, soit encore renfermé entre les
limites a, a’, on aura
AE
la lettre 3x indiquant une moyenne isotropique relative à l'argument de la variable w. Enfin, en désignant par #2 un nombre entier quel-
conque, on aura
— + EURE u —3, (u—3,)
Donc, si l'on pose, pour abréger,
ee uF(u r et eu z ETS 7 F(u) (14) m—= JT j (u— 3,)"(u— 3)
la formule (8) donnera
de Le at sh, [1 — S}m- 1 |
(15) A,=f[s],z, | nEt DIR CAT ER Ad M- I) Un-1{ TT Pme Or, à l’aide des formules (13), (14), (15), on déterminera facilement d’abord les valeurs de v,, et de o,, puis la valeur de A,. Ainsi la détermination du coefficient À, résultera du calcul des divers termes
de la série limitée, comprise entre parenthèses dans la formule (5), et de l’évaluation du reste &,,. Ajoutons que, pour obtenir le développement de ce reste en une série convergente, il suflira de développer le rapport
We
en progression géométrique à l’aide de la formule
