C. R., T. XXXIV, p. 121 (26 janvier
Soit toujours Z une fonction de 3 qui reste monodrome et monogène, tandis que le module r de 3 varie entre les limites
Comme on l'a dit, le coefficient A, de 5°” dans le développement
de Z suivant les puissances ascendantes et descendantes de = sera
déterminé par la formule
(1) A, Ms 7).
Soient d’ailleurs FI EAUS sma'e":
les valeurs de z, correspondantes aux modules a, a’, pour lesquelles la fonction Z cesse d’être monodrome et monogène; et supposons, pour
fixer les idées,
s étant un exposant positif quelconque, et F(z) une fonction qui reste monodrome et monogène pour des valeurs du module 7 comprises entre les limites b et a’. On aura
(2) A,—=[z(1—3,3"1)-SF(z);
et, si F(2) est développable suivant les puissances positives de 3, on
aura
2 y *. AQ0 + [r—s]: (ER (3) Pormlilafi14 PRE EE A D (n+1)...(Rn+m—:)
Uni!
te m9 | p
les valeurs de v,, et »,, étant données par lés, formules (13) et (14) de la page 394.
Si, au contraire, en développant F(z) suivant les puissances entières de =, on obtient un développement qui renferme les deux espèces de puissances positives et négatives, alors, en nommant «, v deux variables dont les modules u, v, compris entre les limites b, à’, soient, le premier‘inférieur, le second supérieur au module de z, on devra remplacer la formule (11) de la page 394, par la formule plus générale
uF(u)
1 Songe.
(4) Fa) = 220) on
| Voir, dans le Tome XXXITI des Comptes rendus, la formule (20) de la page 212 et la page 311 du présent Volume.] Alors aussi la for-
mule (3) continuera de subsister si l’on détermine les valeurs de v,, Le
EXTRAIT Ne 501. 397
et de p,, non plus à l’aide des équations (13) et (14) de la page 394, mais à l’aide des formules
é Le # je eF(v) uF(u) (5) Um = (—1) LT ms! or or CO
L sstont € — 3,3 1)}"-s0F(v) Le au <2"( ES * À AD eee F( u) : (o—3)"(0— 3) (u— 3,)"(u — 3)
(6) Pm = ILAT
D'ailleurs, en différentiant »2 fois par rapport à = l'équation (4), et posant ensuite z —z,, on tirera de cette équation, jointe à la formule (5),
(7) Um = (—1)%3/" FO) (z,).
En conséquence, l'équation (3) donnera
[A=tshsrli— DPRRE ae
PQ
A RG) 1e La formule (8) fournit un moyen facile, surtout lorsque z est un très grand nombre, d'obtenir la valeur du coefficient A ,. Lorsque la série, dont cette formule offre, entre parenthèses, les premiers termes, est convergente, il suffit d'attribuer au nombre » une valeur infinie, pour reproduire l'équation (ro) de la page 393. Mais, dans ce cas-là même, il est avantageux de recourir, pour la détermination de A,, à la formule (8), en déduisant de l'équation (6) la valeur exacte ou approchée du reste p,. Ajoutons que, à l’aide des formules (6) et (8), on peut atteindre, dans la détermination de A ,, tel degré d’approximation que l’on voudra. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails.
On peut, à l’aide de divers procédés, et particulièrement en recherchant les modules principaux des fonctions renfermées sous le signe 3%, déduire de la formule (6) une quantité à,,, sinon égale, du moins supérieure au module bn. Cela posé, pour que l'erreur commise dans la détermination du coefficient A, s’abaisse au-deSsous
d’une unité décimale d’un certain ordre, il suffira de négliger, dans la formule (8), le reste 0, en attribuant au nombre m, s’il est possible, une valeur telle, que la valeur correspondante de à,, soit inférieure à cette unité décimale. Lorsqu'il deviendra impôssible de satisfaire à cette condition, on devra recourir à une évaluation approximative du reste p,. On pourra, par exemple, développer Dm en série convergente et limitée à l’aide de la formule (6) jointe aux suivantes
ul! ul
e = nu [nl -
3° RUN Re ET zu)
Ge SIA .
et l’on trouvera ainsi
$ I —S (OR Re (= Tr)" ee ñ 1m BRL 06 + Pi + Pr + MH Win] + 6 1 m
les valeurs de ,, e, et ç, étant déterminées par les formules
n+m n+m—l+i: RE 2 (12) u TIM 12 pannr ... 3; 5 À SARA HE RRE E AP NIET A PRE s+n—l (us 5,3"; (13) ss sS+n S+n+i-"t M o-{F(c) D Swrre ... Æ} pe SEL La NÉS TETE CCS | AE Mod n+m+l (eo — 3,)" { re RME Cr done PA) AURA 1, d — ( 4) A net PE mr + HI gn+m—i+i(} AR S 41: ym—s ul F( u) (u “49 (234)
A l’aide de divers procédés, et spécialement en recherchant les modules principaux des fonctions renfermées sous le signe %t, on pourra déduire de la formule (14) une quantité e,, sinon égale, du moins supérieure au module de ç,; et alors, pour que l’erreur commise dans la détermination de £,, S'abaisse au-dessous d’une unité décimale d’un certain ordre, il suffira de négliger ç, dans la formule (11), en attri-
buant au nombre / une valeur telle, que e, soit inférieur à cette unité déciale.
Il est bon d'observer que la valeur de £,, déterminée par la formule (14), se réduit, pour / == o, à la valeur de p,, fournie par l’équation (6). Par suite aussi on peut prendre: pour à,, ce que devient «, quand / s'évanouit. Done, en définitive, la détermination du coeflicient À,, avec un degré d’approximation donné, pourra être ramenée à la détermination d’une limite e, supérieure au module de &,, et de la valeur que devra prendre le nombre / pour que cette limite s’abaisse au-dessous d’une quantité donnée.
Reste maintenant à indiquer les procédés les plus simples qui puissent servir à la solution de ces deux derniers problèmes. C’est ce que nous essayerons de faire dans un prochain article.
202, ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les restes qui complétent les séries limutees.
