C. R., T. XXXIV, p. 156 (2 février

Les formules que j'ai données dans les précédents articles permettent de développer une moyenne isotropique de la forme

en une série limitée dont les termes décroissent très rapidement quand x» est un très grand nombre, et d'exprimer les restes qui complètent ces mêmes séries à l’aide de moyennes isotropiques relatives aux arguments de deux variables z et u ou z et v. On peut alors déterminer sans peine, sinon des valeurs exactès de ces restes, du moins des limites supérieures à leurs modules, en s'appuyant sur quelques propositions générales que je vais énoncer.

THÉORÈME 1. — Soi f(z,u) une fonction des variables 3, u qui demeure monodrome, monogène et finie dans le voisinage d'un certain module r de la variable x, et d’un certain module u de la variable u.

Désignons d’ailleurs à l’aide de la notation Af(z,u) le plus grand des modules que puisse acquérir la fonction f(z, u), lorsqu'on fait varier les arguments de z et u, entre les limites — 7, +7, sans altérer les modules r et u. Soit enfin K la plus petite valeur que puisse acquérir le module Af(z,u) considéré comme fonction des modules r et u, quand on fait varier ceux-ci entre des limites telles, que la fonction f(z, u) ne cesse pas d’être monodrome, monogène et finie. Le module de la moyenne 1s0tropique ALAN (3, u) sera inférieur au module Af(z,u), et, à plus forte raison, au module

principal K.

TaéorèME Il. — Soit f(z) une fonction de z qui demeure monodrome, monogene el Jtrie dans le voisinage d’un certain module r attribue à la

variable z. Soient encore dns ln

les coefficients des puissances

dans le développement de f(z) sutwant les puissances ascendantes et descendantes de z. Si a,, a, se réduisent à des quantités positives, le module de Mf(z) sera inférieur à la quantité positive f(r). Si les coefficients a,, a, ne se rédusent pas à des quantités positives, alors, en désignant pa a,, a, leurs modules respectifs, et par o(z) la somme de la série que l’on forme en remplaçant, dans le développement de (=), chaque coefficient par son module, on obtiendra, pour module de M f(3), une quantité

positive inférieure au module de M 9(z), et, à plus forte raison, à 9(r).

Ajoutons qu’il sera facile de développer f(z) en série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de z, si f(z) est le produit d’une constante par divers facteurs dont les uns soient de

la forme (i—3,3-!}6,

et les autres de la forme

z,, 5’ étant des quantités géométriques dont les modules a, a’, multi-

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