C.R., T. XXXIV, p. 265 (23 février

Soient z une variable réelle ou imaginaire, et u, f; w,

n fonctions implicites de cette variable, déterminées par un système de » équations distinctes. Supposons, d’ailleurs, que l’on connaisse les valeurs particulières w,, ,, #,, ... de u, v, w, ... correspondantes

à une certaine valeur £, de la variable z. Un moyen de résoudre les équations données sera de développer w, », #, ... suivant les puissances ascendantes de la différence 3 — z,. Mais ce développement ne pourra s'effectuer que sous certaines conditions qu’il importe de mettre en évidence. Ayant recherché ces conditions, j'ai reconnu que, pour les découvrir, il convient de substituer au système des équations données le système de celles qu’on en déduit à l’aide d’une première différentiation ; et je suis ainsi parvenu à établir sur les fonctions implicites et sur leurs développements en série des théorèmes généraux qui paraissent dignes de remarque. Entrons à ce sujet dans quelques détails, en commençant par ceux qui concernent un système d’équations différentielles.

Représentons par

x fonctions de 3, 4, v, w, ..…. qui restent monodromes (!), monogènes et finies, dans le voisinage des valeurs 3,, u,, p,, w,, .…. attribuées à 5, u, 9, w, ...; et concevons d’abord que l’on assujettisse w, +, w, .… à la double condition de vérifier, quel que soit z, les équations différentielles comprises dans la formule

et de se réduire à &,, #,, w,, ..… pour 3 — z,. Si % ne s’évanouit pas quand on prend

3 — Zos U — Us, P — Pos M—Wo, *

alors, à l’aide des théorèmes établis dans mon Mémoire de 1835 (?) sur l'intégration des équations différentielles, on prouvera qu'il est possible de satisfaire, au moins quand le module de la différence 3 — 3, ne dépasse pas une certaine limite, aux deux conditions énon-

(1) Une fonction de z est monodrome, dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à z, quand elle reste continue et offre une valeur unique pour chaque valeur de z: la même fonction est monogène, quand sa dérivée est monodrome.

(2) Œuvres de Cauchy, S. I, T. XII.

cées, par des valeurs de u, v, w, ... qui seront développées en séries convergentes, et qui représenteront les entégrales générales des équations différentielles données. Il y a plus : on peut affirmer (*) que, dans l’hypothèse admise, ces intégrales générales seront les seules

(1) On peut effectivement démontrer cette assertion comme il suit.

Considérons d’abord le cas particulier où, les variables w, », w, ... étant réduites à la seule variable 4, on à z,o = 0. Supposons encore que, la fonction monodrome et monogène & conservant, pour des valeurs nulles de z et w, une valeur finie distincte de zéro, la fonction monodrome et monogène © s’évanouisse, quel que soit z, pour w = o. Je dis

qu’alors uU—0

sera la seule valeur de x qui, sans cesser d’être continue, remplira la double condition de s’évanouir avec 3, et de vérifier, au moins pour tout module de z inférieur à une certaine limite, l'équation différentielle

(a) | du = © di.

Pour le prouver, il suffit d'observer que, dans l’hypothèse admise, l’équation différentielle donnée pourra être présentée sous la forme (b) du = Pu dz, P étant une fonction qui, pour un très petit module de z, acquerra une valeur finie, sensiblement égale à celle de la fonetion dérivée De = En effet, remplaçons l'équation (a) par l’équation (b); et soit, s’il est possible,

une fonction de z qui, s’'évanouissant avec z sans être constamment nulle, varie avec z par degrés insensibles et vérifie, au moins pour un très petit module de z, l'équation (b). Si l’on nomme r le module z, et u le module de +(z), u sera infiniment petit en même temps que r; et l’on pourra par suite attribuer au module r une valeur r assez petite pour que la valeur correspondante u du module u surpasse celles qu’on obtiendrait en supposant r < r. Cela posé, si l’on applique une intégration rectiligne aux deux membres de l’équation (b), on en tirera, non seulement

Z ue mod / Pu dz,

mais encore u < Pru,

Ÿ étant la plus grande valeur que puisse acquérir le module de ?, tandis que le module r de z varie entre o, r. Donc, si u diffère de zéro, on aura

(ec) 1< Ÿr.

Mais, dans l'hypothèse admise, Ÿ sera, pour de très petites valeurs de r, une petite quan-

EXTRAIT N° 504. k09

valeurs de u, p, æ, ... qui, variant avec = par degrés insensibles, rempliront, pour un module suffisamment petit de z — z,, les deux conditions énoncées. Enfin, comme les divers termes des séries obtenues seront des fonctions monodromes, monogènes et finies de la variable z, on pourra en dire autant des valeurs trouvées des variables w, », æ,... ou même d'une fonction monodrome, monogène

et finie de ces variables.

tité finie distincte de zéro, sensiblement égale au module qu’acquerra la fonction dérivée D T Pour une valeur nulle de z. Done, en assignant à r une valeur suffisamment petite,

on reconnaîtra que la formule (ce) doit être rejetée, en sorte qu'il est impossible d’attribuer à u et à #(z) des valeurs distinctes de zéro.

Au cas spécial que nous venons d'examiner, substituons maintenant le cas le plus général où, le nombre x des variables w, v, w, .., étant quelconque, on aurait encore. Zo = 0, et où, la fonction monodrome et monogène # conservant, pour des valeurs nulles de z, u, v, w, ..., une valeur finie, distincte de zéro, les fonctions monodromes et monogènes Ù, Ÿ, ®, ... s’évanouiraient toutes, quel que soit z, pour des valeurs nulles de w, w, w, .... Alors, par des raisonnements analogues à ceux qui précèdent, et en substituant au module de x la somme des modules de z, de v, de w, ..., on prouverait encore qu'il n’est pas possible, dans l'hypothèse admise, de satisfaire aux équations différentielles

Lo) Ÿ w (d) du Z dé; do — z dz, dw = & dz, 4

par des valeurs de uw, v, w, ... qui s'évanouissent avec z, sans être constamment nulles, et varient avec z par degrés insensibles dans le voisinage d’une valeur nulle de z.

Considérons enfin le cas où, les valeurs particulières zo, wo, Po, #0, ... de z, u, », a, ... étant distinctes de zéro, ainsi que la valeur correspondante de #, les fonctions #, D, Ÿ, W, ... seraient, au moins dans le voisinage de ces valeurs particulières, des fonctions monodromes, monogènes et finies ; et soient alors

mar v = Y(3), w = Y(3),

les intégrales générales des équations (d), déduites de ces équations à l’aide de la méthode que renferme le Mémoire de 1835. On pourra encore affirmer qu’il n'existe point d'autre système d’intégrales générales, c’est-à-dire qu’on ne saurait trouver d’autres valeurs de 4, 6, w, ... qui, variant avec z par degrés insensibles, remplissent la double condition de vérifier les équations (d), quel que soit z, et de se réduire à %o, vo, wo, -.. pour 3 = z,; et, pour le démontrer, il suffira de raisonner comme dans le cas précédent, en substituant aux variables

les différences +

dont chacune pourra être, pour plus de commodité, représentée par une seule lettre: Œuvres de C. — S. HI, t. XI. 52

Pour abréger, nous nommerons désormais fonction synectique une fonction d’une ou de plusieurs variables qui restera monodrome, monogène et finie, dans le voisinage d’un système quelconque de valeurs finies attribuées à ces mêmes variables. Cette définition étant admise, on déduira immédiatement des principes que nous venons d'établir la

proposition suivante :

THéoRÈME |. — Socent z une variable réelle ou imaginaire et Mi eus 03

n fonctions de z assujetties : 1° à varier avec z par degrés insensibles, en

vérifiant les n équations différentielles comprises dans la formule

dz du dv dw

où &, Ù, Ÿ, W®, ... représentent des fonctions synectiques de z, u, +, -#, ...3; 2° à prendre les valeurs particulières et finies us, 65, #,, pour une certaine valeur particulière et finie 3, de la variable z. On ‘ pourra salisfaire à ces deux conditions, au moins pour des modules peu considérables de la différence z — 3,, par un système unique de valeurs de u, v, w, ...; et ces valeurs, qui représenteront les intégrales génerates, seront des fonctions monodromes, monogènes et finies de z, tant que le module p de la différence z — z, n'atteundra pas une certaine limite À. D'ailleurs, cette limite \, que nous appellerons le module princi pal de la différence 3 — 3,, sera le plus petit de ceux pour lesquels se vérifiera ou l'équation caractéristique

(CF Dr,

ou l’une des équations

(3) ir) 5 OS 2e Qj RES

Concevons maintenant que Q désigne une fonction synectique des variables 3, u, v, æ, .... On conclura encore des principes ci-dessus exposés que, si l’on substitue dans Q les valeurs de w, », æ, ..., four-

nies par les intégrales générales, le résultat de cette substitution sera une fonction monodrome, monogène et finie de 3, tant que le module 9 de 3 — 3, n’atteindra pas la limite À, pour laquelle l’une des équations

TO, ü = (0)

pourra être vérifiée. Alors aussi, en vertu du théorème général sur la convergence des développements ordonnés suivant les puissances ‘ascendantes d’une variable, Q sera développable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la différence 3 — z,. Mais cette dernière série cessera généralement d'être convergente, à partir de l'instant où le module p atteindra la limite À.

= Pour le prouver, il suffit d'observer que, si la différence = — 3, acquiert, avec le module À, un argument tel, que la valeur correspondante de 3 vérifie ou l'équation

LT