ARE TT

Si la racine substituee est telle, que la partie réelle de @ soit toujours posttive, et que la courbe DEF, dont l’affixe variable est cette racine même, enveloppe le pôle, c’est-à-dire le point dont l'affixe est nulle; si, d’ailleurs, l'arc de la courbe croit par degrés insensibles avec l'argument ©, et si celte courbe se ferme au moment où l'arc & se trouve augmenté d’une circonférence entière; si enfin les fonctions (3), @e(z) restent monodromes, monogènes et finies dans le voisinage de toute valeur de z propre à représenter l’affixe d'un point situé entre la courbe DEF et le cercle décrit de l’origine comme centre avec le rayon k; alors, pour transformer la moyenne isotropique

A F(s) relative à l'argument de la variable z et correspondante au module h de z en une moyenne isotropique relative à l argument de la variable w et correspondante au module h de u, il suffira de multiplier. sous le signe XX, la fonction f(z) par le facteur @.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de rappeler que, si, une courbe fermée étant tracée dans le plan des affixes, on nomme #(z) une fonction de la variable z, on pourra, sans altérer la valeur de l’intégrale J #(s) dz, étendue au périmètre entier de la courbe, faire varier la forme de la courbe par degrés insensibles, entre les limites indiquées par deux contours extrêmes, pourvu qu'entre ces limites la fonction f(z) ne cesse pas d’être monodrome, monogène et finie. Cela posé, concevons que l’on fasse coincider successivement la courbe variable avec le cercle qui a le pôle pour centre et Æ pour rayon, puis avec la courbe DEF, en posant d’ailleurs

EXTRAIT N° 503. k05

les deux valeurs qu’on obtiendra successivement pour l'intégrale HOT?

étendue au périmètre entier du cercle ou de la courbe DEF, seront évidemment les deux moyennes isotropiques indiquées dans le théorème I, attendu qu’on aura

D, z à 27 rl et nd + © 13 iz

Pour montrer une application très simple du théorème ci-dessus

énoncé, posons ù f(z) = u" F(:),

la fonction « étant déterminée par l'équation

et concevons que, la fonction F(z) étant monodrome, monogène et finie, il s’agisse de substituer la variable indépendante « à la variable indépendante z dans la moyenne isotropique

(&) sm (+) ral,

relative à l’argument p de la variable z. On vérifiera l'équation (3) de

manière à remplir les conditions énoncées dans le théorème, si l’on

prend

(5) 8 = JL

le signe a étant relatif à l'argument 5 de la variable w. Si, pour fixer les idées, on prend F(3) = 1, les formules (4) et (5) donneront l’une

et l’autre Re __1.3.5...(2n—1) ls le a 0. an

Le théorème ci-dessus établi peut être utilement appliqué à la solution d’un grand nombre de questions diverses. Il fournit, par exemple, le moyen de développer une fonction implicite d’une variable en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de cette variable. Dans le cas où le développement trouvé renferme seulement les puissances ascendantes de la variable, ce développement coïncide avec la série de Lagrange.

Le théorème énoncé offre encore, ainsi que nous le montrerons dans une autre séance, le moyen de déterminer facilement les coefficients des termes dont les rangs sont indiqués par de très grands nombres dans le développement d’une fonction en série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de deux exponentielles trigonométriques, et, par suite, les perturbations planétaires d’un ordre très élevé.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur l'application du Calcul infinitésimal

à la détermination des fonctions implicites.