C. R., T. XXXVI, p. 70 (10 janvier

Considérons x polynômes 4, B, C, ... dont les divers termes soient proportionnels à certains facteurs &, 6, y, ..., et concevons qu’en suivant les règles de la multiplication algébrique on multiplie ces divers polynômes l’un par l’autre. Dans le nouveau polynôme résultant de cette multiplication, chaque terme sera proportionnel à l’un des produits que l’on peut former avec les facteurs «, 6, y, ... pris à n; et l’on pourra d’ailleurs supposer que, dans chacun de ces produits, on a conservé la trace de l’ordre dans lequel les multiplications diverses ont été successivement effectuées. On pourra aussi concevoir que, dans le nouveau polynôme, on substitue à chacun de ces produits un nombre déterminé, ou plus généralement une quantité déterminée, deux quantités distinctes pouvant être substituées à deux produits distincts, dans le cas même où ces deux produits ne diffèrent entre eux que par l’ordre dans lequel sont rangés les divers facteurs. Ces conventions étant admises, nous désignerons les facteurs «, 6, y, .… sous le nom de ckefs, et les polynômes 4, B, C, ... qui les ren-

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ferment, sous le nom de facteurs symboliques du produit ABC... définitivement obtenu. Les substitutions ou transmutations, qui consisteront à remplacer les produits des clefs prises z à n par certaines quantités, seront indiquées à l’aide du signe — que j'ai déjà employé dans un autre Mémoire; et il est clair que du système de ces transmutations dépendront la valeur et les propriétés du produit ABC... Ajoutons qu'il suffira généralement d’intervertir l’ordre dans lequel sont rangés les facteurs 4, B, C, ... du produit ABC... pour altérer la valeur de ce même produit. :

Les clefs algébriques, telles que je viens de les définir, permettent de résoudre avec une grande facilité des questions d'Analyse ou de Mécanique, dans lesquelles l'application des méthodes ordinaires entraînerait de longs et pénibles calculs. C’est ce que je me propose de montrer, avec quelques détails, dans une suite de Mémoires que j'aurai l'honneur de présenter successivement à l’Académie. Pour donner une idée des résultats auxquels on est ainsi conduit, je me bornerai aujourd'hui à deux exemples. Je commencerai par faire voir que la théorie des clefs résout généralement le problème de l’élimination des inconnues entre plusieurs équations linéaires ou non linéaires; puis je montrerai comment s’introduisent dans le calcul trois clefs, correspondantes aux trois dimensions de l’espace, qui fournissent le moyen d'obtenir sous une forme très simple la solution d’un grand nombre de problèmes de Géométrie et de Mécanique.

ANALYSE

Supposons d’abord qu'il s'agisse d'éliminer z inconnues æ, y, =, .… entre » équations dont les premiers membres sont des fonctions linéaires et homogènes de ces inconnues, les seconds membres étant réduits à zéro. Soient d’ailleurs À, B, C, ... ce que deviennent ces premiers membres, quand on y remplace les z inconnues æ, y, 3, ... par x clefs correspondantes &, 6, y, .... Enfin, concevons qu'après avoir multiplié ces clefs 2 à n, en tenant compte de l’ordre dans

lequel les multiplications sont effectuées, on convienne, 1° de remplacer par zéro chaque produit dans lequel entre deux ou plusieurs fois une même clef; 2° de substituer toujours deux quantités égales aux signes près, mais affectées de signes contraires, à deux produits qui se déduisent l’un de l’autre à l’aide d’un échange opéré entre deux clefs. En d’autres termes, supposons que les x clefs &, 6, y, ... soient assujetties aux transformations de la forme

dir 0: 6-10, :..:, Ga a6,

et à celles qui en dérivent. L’équation résultante de l'élimination des

inconnues æ, y, x, .. entre les équations données sera ABC... 0.

On démontre aisément ce théorème, en partant de cette remarque très simple, que les facteurs symboliques 4, B, C, ... jouissent des mêmes propriétés que possèdent les clefs x, 6, y, ....

Concevons à présent qu'il s'agisse d'éliminer l’inconnue x entre deux équations dont les degrés »# et m' donnent pour somme le nombre 2. Pour y parvenir, il suffira de recourir encore à l’intervention des r clefs æ, 6, y, .…. assujetties aux conditions ci-dessus énoncées. En effet, en supposant ces clefs écrites à la suite les unes des autres dans l’ordre qu'indique l'alphabet, et le premier membre de chaque équation ordonné suivant les puissances ascendantes, ou suivant les puissances descendantes de æ, cherchez tous les facteurs symboliques que l’on peut former en remplaçant, dans le premier membre de la première équation, les diverses puissances de x par » + 1 termes consécutifs de la suite des clefs. Soient 4, 3, C, ... les facteurs symboliques ainsi obtenus, et 4, 8, C', ... ce que deviennent ces facteurs quand on remplace la première équation par la seconde. L’équation résultante de l'élimination sera la formule symbolique

ARC B'E": 0 On pourra d’ailleurs, sans altérer l'équation résultante, intervertir Œuvres de C.— S.1,t.XI. 26

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arbitrairement l’ordre des facteurs symboliques RS Los mi Dr C!, Pour montrer une application de ces formules, supposons qu'il

s'agisse d'éliminer æ entre les deux équations

a + bæx +cx? =o,

a'+ b'xæ+c'x —o.

Alors il suffira d'introduire dans le calcul quatre clefs distinctes