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et, en posant A =aa +b6 +cy, B =a6 +by + cû, A'= a'a + b'é+c'y, B'= a'6 + b'y + c'o, on obtiendra pour équation résultante la formule symbolique AA'BB'— 0.
On aura d’ailleurs, en vertu des propriétés ci-dessus assignées aux clefs x, 6, y, à, AA'= (bc'— b'c)6y +(ca'— c'a)ya + (ab! — a'b)aë, BB'=— (bc'— b'c)yù + (ca'— c'a)6 + (ab'— a'b)6y,
par conséquent, A A'B B'=— K a8y0,
la valeur de Æ étant K—(ab'— a'b)(bc'— b'c) — (ca! — c'a}!, et, puisque la quantité qu’on doit substituer au produit «6yè peut être arbitrairement choisie, l'équation résultante sera simplement # 0; ou, ce qui revient au même,
(ab'— a'b)(bc'— b'c) —(ca'— c'a) — 0.
Au reste, comme je l’expliquerai dans une prochaine séance, la
EXTRAIT N° 514. 543 théorie des clefs peut être appliquée de diverses manières à l’élimination, et réduit à de simples multiplications un grand nombre d’opérations algébriques, par exemple la division algébrique, la recherche du plus grand commun diviseur de deux fonctions entières, ete. Elle fournit aussi, comme je le ferai voir, des démonstrations très rapides des théorèmes sur les résultantes algébriques, et des méthodes très expéditives pour la résolution des équations linéaires ou non linéaires, à une ou plusieurs inconnues.
Concevons, maintenant, que l’on trace dans l’espace trois axes coordonnés rectangulaires ou obliques des æ, y, z, qui partent d’un point fixe O; et soient
des quantités géométriques qui représentent : 1° le rayon vecteur mené de l’origine O à un autre point 4; 2° les projections de ce rayon vecteur sur les axes. La première de ces quatre quantités géométriques sera la somme des trois autres, en sorte qu’on aura
Soient d’ailleurs h, i, j ce que deviennent les quantités géométriques æ, y, 3 quand, la longueur de chacune d'elles étant réduite à l'unité, elles se mesurent toutes trois dans les directions des coordonnées positives. En nommant x, y, = les projections algébriques du rayon vecteur r sur les axes coordonnés, on aura
z—=hx, 17, ss
et, par suite, à r=ht+iy +).
Pareillement, si 4’ est un second point distinct de 4, et si l'on nomme 7’, æ’, y, 3° ce que deviennent r, æ, y, = quand on substitue le second point au premier, on aura
r'=hz'+iy +js!.
Si, maintenant, on multiplie l’une par l’autre les valeurs précédentes
ble COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
der et de 7, en suivant les règles de la multiplication algébrique, le résultat de l'opération ne pourra évidemment acquérir un sens déterminé qu'en vertu d’une convention nouvelle servant à définir ce qu'on doit entendre par le produit de deux quantités géométriques dirigées dans l’espace suivant des droites quelconques. Concevons, pour fixer les idées, que l’on traite les trois quantités géométriques h, i, ] comme des clefs auxquelles on attribuerait les propriétés précédemment énoncées. Les carrés et les produits de ces quantités géométriques devront satisfaire aux six équations symboliques
de, 0 Fos ji——ij, hj——jh, ih—-—hi, et l'on aura, par suite, rr'— ij(ys'— y'3) + jh(zx'— 3x) +hi(xzy — x'y). Or les trois différences y3'—7'z, 2x'—3'æ, xy'—x'y
sont les projections algébriques du moment linéaire de la longueur 7’ transportée parallèlement à elle-même, de manière qu’elle parte, non plus du point O0, mais du point 4. Done le produit rr' représentera ce moment linéaire, si l'on assujettit les quantités géométriques h, 1, j, non seulement aux six équations symboliques ci-dessus écrites, mais encore aux trois suivantes :
ij=h, jh=i, hi; Alors on aura simplement r=h(ys —y's) +i(sx'— 3x) + j(xy'— x'y).
Le produit rr', déterminé par la formule précédente, est ce qu’on peut appeler le produit angulaire des longueurs r et r'. Il change de
signe quand on intervertit l’ordre des facteurs, ct représente alors le moment linéaire de la longueur r mesurée à partir du point 4’. Si l'on
. EXTRAIT Ne 515. 02)
considérait ce même produit comme propre à représenter, non plus une longueur, mais une surface, il deviendrait ce que M. de Saint- Venant a nommé produit géométrique, dans un Mémoire où il a déduit de la considération de ce point des conséquences qui méritent d’être remarquées.
Dans un autre article, j'expliquerai les avantages que présente, en Mécanique, l'emploi des trois clefs h, 1, j, quand on veut substituer, ce qui est souvent utile, des axes mobiles à des axes fixes.
Je remarquerai, en finissant, que la théorie des ëmaginaires, prise au point de vue sous lequel je l'ai envisagée dans mon Analyse algebrique, et la théorie des quaternia de M. Hamilton, sont des cas spéclaux de la théorie des clefs auxquels on arrive, en supposant l’une des clefs réduite à l’unité. Ainsi, en particulier, l'expression imagi-
naire ΠHU
pourrait être considérée comme un facteur symbolique, dans lequel la première clef se réduirait à l’unité, la seconde clef i étant assujettie à la condition
te 0
