C. R., T. XXVIII, p. 2 (2 janvier

Des savants illustres, dont plusieurs sont membres de cette Académie, m'ayant engagé à réunir en un corps de doctrines les recherches que j'ai entreprises et poursuivies depuis une trentaine d'années, sur la Mécanique moléculaire et sur la Physique mathématique, j'ai cru qu'il était de mon devoir de répondre, autant que je le pouvais, à leur attente, et de réaliser prochainement le vœu qu'ils m'avaient exprimé. Il m'était d'autant moins permis de résister à leur désir, qu’en y accédant je remplis, en quelque sorte, un acte de piété filiale, puisque ce désir était aussi le vœù d’un tendre père, qui, joignant, jusqu’en ses derniers jours, l'amour de l'étude et la culture des Lettres à la pratique de toutes les vertus, s’est endormi du sommeil des justes, et s’est envolé vers une meilleure patrie. Pressé par tous ces motifs, je me propose de publier bientôt un Traité de Mécanique moléculaire où, après avoir établi les principes généraux sur lesquels cette science me paraît devoir s'appuyer, j'appliquerai successivement ces principes aux diverses branches de la Physique mathématique, surtout à la théorie de la lumière, à la théorie du son, des corps élastiques, de la chaleur, ete. Pour ménager les instants de l’Académie, je me bornerai à lui offrir, et à insérer dans les Comptes rendus, de courts extraits de mes recherches, spécialement relatifs aux questions qui, en raison de leur nouveauté ou de leur importance, me sembleront plus propres à exciter la curiosité des physiciens et des géomètres.

Je commencerai aujourd’hui, en déduisant des principes exposés dans les séances du 24 juillet et du 18 décembre 1848, les équations du troisième rayon lumineux, dont l'existence, comme j'en ai fait la remarque, peut être considérée comme déjà constatée par les phénomènes que présentent la réflexion et la réfraction de la lumière.

ANALYSE

Les divers points de l’espace étant rapportés à trois axes rectangulaires des æ, y, 3, et deux milieux étant séparés l’un de l’autre par le plan des yz perpendiculaire à l’axe des æ, concevons que les déplacements infiniment petits d’une molécule d’éther, supposée réduite à un point matériel, soient représentés, dans le premier milieu, par Ë, n, &, dans le second milieu, par £’, n’, ©’. Supposons d’ailleurs que, dans une première approximation, les équations aux dérivées partielles, propres à exprimer les mouvements infiniment petits de l'éther, puissent être, sans erreur sensible, réduites à des équatiôns du second ordre. Alors, en vertu du principe de la continuité du mouvement dans l’éther, on aura, pour æ — 0,

Dans chacune de ces équations de condition, le déplacement relatif à chaque milieu sera la somme des déplacements mesurés dans les divers mouvements incident, réfléchis et réfractés.

Concevons, pour fixer les idées, que chacun des milieux donnés soit un milieu isophane qui ne fasse pas tourner les plans de polarisation des rayons simples. Les équations des mouvements infiniment petits de l’éther dans le premier milieu seront

(2) (D}—E)E—FDev, (D?—E)n=FfD,v, (D?—E)t =FD.v,

E, F désignant des fonctions entières de la somme D} + D; + D?, et u étant la dilatation du volume de l’éther déterminée par la formule

Si les équations (2) peuvent être réduites, sans erreur sensible, à des équations homogènes du second ordre, F deviendra constant, et l’on aura

Q désignant la vitesse de propagation des ondes planes à vibrations transversales. Ajoutons que les constantes F et Q? changeront géné- ‘alement de valeurs, quand on passera du premier milieu au second.

Supposons maintenant qu’un mouvement simple de l’éther, à vibrations transversales, se propage dans le premier milieu, situé du côté des æ négatives. Après être parvenu jusqu'à la surface réfléchissante, ou, en d’autres termes, jusqu’au plan des y3, ce mouvement simple, qui constituera un rayon simple de lumière, donnera naissance, dans chaque milieu, à deux autres mouvements simples, par conséquent à deux autres rayons simples réfléchis ou réfractés. D'ailleurs, ces divers mouvements simples seront du nombre de ceux que nous avons nommés 7nouvements correspondants. Ajoutons que, dans chaque milieu, l’un des deux nouveaux rayons réfléchis ou réfractés sera un rayon ordinaire à vibrations transversales, tandis que l’autre sera le troisième rayon lumineux, et ne restera sensible qu’à une très petite distance du plan des yz.

Concevons à présent que, afin de mettre en évidence les déplacements des atomes d’éther mesurés dans les divers rayons simples, on se serve des lettres &, n, € pour désigner les déplacements relatifs au rayon incident, puis des indices :et , joints à ces mêmes lettres pour indiquer les déplacements relatifs aux deux nouveaux rayons, en plaçant ces indices en bas ou en haut de chaque lettre, suivant qu'il s'agit des rayons réfléchis ou réfractés, et en conservant l'indice , pour le troisième rayon lumineux, qui s’éteint à une très petite distance de la surface réfléchissante. Alors, à la place des formules (1), on obtiendra les suivantes :

EH HE =È HE, DE + DE + Deë, =D. + Dé”, (5) (n+n+n,=n+n", Den+Don,+ Den, =Den'+ D,n, G+é,+6, =6 +6", D,6 + D,6, + D.6, =D, + D.£”.

Si le rayon incident est polarisé dans le plan d'incidence, ou, en d’autres termes, si les vibrations des atomes d’éther sont perpendiculaires à ce plan et parallèles à la surface réfléchissante, il suflira

ORuvres de C. — S.1, 1. XI. 13

de faire coincider le plan d'incidence avec le plan des æy, pour que &,, C s'évanouissent, et alors les deux dernières des conditions (5),

réduites à la forme (6) | EME D:<+D 0eme

fourniront précisément les formules de réflexion et de réfraction données par Fresnel pour ce cas particulier. Si, au contraire, le rayon incident offre, pour les molécules d’éther, des vibrations renfermées dans le plan d'incidence ou parallèles à ce plan, alors, en supposant toujours que celui-ci coïncide avec le plan des æy, on déduira des quatre premières d’entre les conditions (5), non seulement les propriétés des rayons ordinaires réfléchis et réfractés, comme je l'ai fait dans le If Volume des Æxercices d'Analyse et de Physique mathémaaique ('), mais encore les propriétés du troisième rayon, c’est-à-dire du rayon qui s'éteint à une très petite distance de la surface réfléchissante, soit dans le premier, soit dans le second milieu, et l’on obtiendra ainsi les conclusions suivantes :

Soit T la durée d’une vibration moléculaire dans le rayon incident. Supposons d’ailleurs que l'épaisseur d’une onde plane, ou, ce qui revient au même, la longueur d’une ondulation soit représentée par | dans le rayon incident, et par l’ dans Le rayon réfracté ordinaire. Soit encore 7 l'angle d'incidence, 7’ l'angle de réfraction, et posons

2T 2T 2H S S— kK= K= Q—-,. 0:

Représentons par — Q°, — Q'? les valeurs négatives des deux sommes Q°+F,Q°?-+ F', la lettre F’ désignant ce que devient la constante F quand on passe du premier milieu au second; et, en supposant Q,, Q" positifs, prenons

à LPS . MPENR ù RP A

Enfin, en admettant toujours que, dans le rayon incident, les vibra-

(:) Œuvres de Cauchy, S. W, T. XE.

tions des molécules d'éther soient parallèles au plan des æy, posons

u = kcosr, u'—k’cosr, vV=ksinr=k'sinr, u=Vk}+v, u=—Vk+v, MIT CUT ED sin rt’?

ÿ sera ce qu'on nomme l'indice de réfraction, et les équations symboliques du rayon incident pourront être réduites à la forme

(7) SERV SDT, : NeCosT, : a — Helez+vy se),

H désignant un paramètre imaginaire et £ une racine carrée de — 1. De plus, les équations symboliques du troisième rayon, c’est-à-dire du rayon qui s'éteint à très petite distance de la surface réfléchissante, pourront être réduites, dans le premier milieu, à la forme

U, + Ft %.— - RS ge. Re RE L — st (8) Le KL s' Rene KE 0 4, — H,ewz+(vy-sti

et dans le second milieu, à la forme Er ur, n'= uni, 8" — H'enz+tvr-sni 9 k” k’” é

Ajoutons que les quantités u, et — u, représenteront évidemment les coefficients d'extinction du troisième rayon dans le premier et dans le second milieu.

Soient maintenant I, l’ les coefficients de réflexion et de réfraction des rayons ordinaires, réfléchis et réfractés. Soient, en outre,

PR: RU : U (10) = et | pi H

les coefficients de réflexion et de réfraction du troisième rayon dans le premier et dans le second milieu. Les quatre premières des formules (5) donneront

Ï (V—uu')(v+u,u’)— (u'+u)(u,+u’)véi u—u er 274 2 * 1? (V+uu')(v+u,u’)—(u'--u)(u,+u”)v'i u+u

(11) | l— kk'(v?+ u,u”) À (+uu)(v+u,u”)—(u—u)(u,+u’)wé u+u

et, de plus,

EN kk, ka k v