C.R., T. XXVIIL, p. 277 (26 février

Dans les problèmes d'Analyse et de Mécanique, les valeurs des inconnues peuvent être souvent représentées par des fonctions continues des variables indépendantes. C’est ce qui arrive par exemple en Astronomie, quand on détermine les mouvements des corps célestes, puisque les coordonnées qui fixent la position d'un astre

‘aune époque quelconque sont évidemment des fonctions continues de ses coordonnées initiales et du temps.

Ce n’est pas tout : la plupart des questions que l’on résout en

intégrant des équations différentielles ou aux dérivées partielles,

EXTRAIT Ne 435. 121

par exemple les problèmes qui, dans la Physique mathématique, se ramènent à l'intégration d'équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants, semblent, au premier abord, ne devoir introduire dans le calcul que des fonctions continues. En effet, comme je l'ai remarqué dans un précédent Mémoire, supposer qu’une inconnue est déterminée par une équation linéaire aux dérivées partielles et à coefficients constants, c’est supposer implicitement que cette inconnue est une fonction continue des variables indépendantes, attendu que la continuité d’une fonction dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à une variable indépendante est une condition nécessaire de l'existence d’une valeur correspondante de la dérivée.

Toutefois, pour qu'un problème de Physique, qui exige l'intégration de certaines équations linéaires, puisse être complètement résolu, il est nécessaire de joindre aux équations dont il s’agit la connaissance de l’état initial des corps que l’on considère et les conditions relatives aux limites de ces mêmes corps. Or cet état initial et ces limites peuvent introduire dans le calcul des fonctions discontinues. Ainsi, en particulier, si les équations proposées représentent les vibrations infiniment petites d’un système de molécules réduites à des points matériels, le mouvement pourra résulter d’un ébranlement initial primitivement circonscrit dans des limites très resserrées. Or il est clair que, dans ce cas, les déplacements des molécules et leurs vitesses initiales, considérés comme fonctions des coordonnées, pourront varier d’une manière continue entre les limites dont il s’agit, mais deviendront généralement discontinues quand on atteindra ces limites, qu’on ne pourra dépasser sans que les mêmes fonctions passent tout à coup d'une valeur sensible à une valeur nulle.

Les fonctions discontinues, ainsi introduites dans le caleul par la considération de l’état initial d’un système de points matériels, se retrouvent dans les intégrales des équations qui représentent le mouvement du système. Seulement les variables indépendantes que contenaient ces fonctions y sont remplacées par de nouvelles quantités

OEuvres de C. — S.1,t. XI. : 16

variables, quelquefois même par des expressions imaginaires. De plus, il peut arriver que les intégrales obtenues soient exprimées, non en termes finis, mais en séries qui renferment, avec les fonctions discontinues, leurs dérivées des différents ordres.

Eu égard à ces diverses circonstances, les fonctions discontinues donnent naissance, dans les problèmes de Mécanique et de Physique, à des difficultés graves ou à des contradictions apparentes et à de singuliers paradoxes qu’il importe de signaler et d’éclaircir. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Une première difficulté est de savoir ce que devient une fonction discontinue de variables réelles, qui s’évanouit hors de certaines limites, quand ces variables sont remplacées par des expressions imaginaires, et surtout ce que deviennent alors les limites dont il s’agit.

Une seconde difficulté réside dans la contradiction apparente qui existe, pour l'ordinaire, entre les intégrales exprimées en termes finis quand elles renferment des fonctions discontinues, et les développements de ces mèmes intégrales en séries convergentes.

Concevons, pour fixer les idées, qu’il s'agisse d’une colonne d’air renfermée dans un cylindre infiniment étroit dont l'axe soit pris pour axe des abscisses, et que le mouvement soit occasionné par un déplacement primitif et infiniment petit des molécules situées dans le voisinage du point pris pour origine. Alors, au bout du temps #, le déplacement d’une molécule d’air correspondante à l’abscisse æ sera représenté par l'intégrale de l'équation linéaire que l’on nomme équation du son; et l’on conclura de cette intégrale exprimée en termes finis que le mouvement se propage, dans la colonne d’air, de part et d'autre de l’origine, avec deux vitesses de propagation égales entre elles, mais dirigées en sens opposés. Ajoutons que, si l’on développe la même intégrale suivant les puissances ascendantes de 4, on obtiendra une intégrale en série qui paraïitra satisfaire encore à toutes les données du problème, et qui néanmoins entrainera des conclusions contraires à celles que nous venons d’énoncer. En effet, dans l'intégrale en série, chacune des puissances de z se trouvera multi-

pliée par une fonction de æ, qui s’évanouira pour toute valeur de + sensiblement différente de zéro; par conséquent, la somme de la série s’'évanouira au bout du temps {, comme au premier instant, pour tout point situé à une distance notable de l’origine; d’où il semblera légitime de conclure que les molécules d'air primitivement déplacées vibreront, mais sans que leur mouvement de vibration se propage en passant de ces molécules à d’autres. Ainsi, tandis que l'intégrale en termes finis indique des vibrations sonores qui se propagent avec une vitesse constante, l'intégrale en série semble indiquer les vibrations stationnaires.

Les difficultés que nous venons de signaler et toutes les difficultés analogues disparaitraient, si l’état initial d’un système était représenté, non plus à l’aide d’une ou de plusieurs fonctions discontinues, mais à l’aide de fonctions continues dont chacune offrit, pour des valeurs quelconques, réelles ou même imaginaires des variables indépendantes, une valeur différente de zéro. C’est donc à la discontinuité des fonctions introduites dans le calcul que tiennent les difficultés dont il s’agit. Il est naturel d’en conclure que, pour éclaircir les points douteux et pour faire cesser les contradictions, il suffira de rétablir la continuité. On y parvient en considérant les fonctions discontinues comme des valeurs particulières de fonctions plus générales, mais continues, desquelles on les tire en réduisant à zéro un paramètre spécial.

Il importe d'observer que les fonctions discontinues introduites dans le calcul par la considération de l’état initial d’un système ne cessent généralement d’être continues que pour certaines valeurs des variables qu'elles renferment. Ainsi, par exemple, il arrive souvent qu'une fonction discontinue d’une ou de plusieurs variables se confond entre des limites données de ces variables avec une certaine fonction continue, et passe brusquement, hors de ces limites, d'une valeur sensible à une valeur nulle. {1 y a plus : une fonction discontinue qui ne satisfait pas à de telles conditions peut ordinairement se partager en plusieurs autres qui remplissent des conditions ana-

logues; et, par suite, on peut se borner à établir la théorie des fonctions discontinues dans Le cas particulier que nous venons d'indiquer. Ajoutons que, dans ce cas, la fonction discontinue peut être considérée comme équivalente au produit de la fonction continue donnée par un coefficient qui se réduise toujours à l’unité entre les limites proposées, et à zéro en dehors de ces limites. Ce coefficient, que j’appellerai 4mitateur, peut être regardé lui-même, ou comme une fonction discontinue, ou comme la valeur particulière que prend une fonction continue quand on fait évanouir un paramètre spécial. En conséquence, il suffira de considérer les coefficients limitateurs, non seulement pour retrouver, mais aussi pour résoudre toutes les difficultés que présente la théorie des fonctions discontinues. On conçoit d’ailleurs que cette considération permet de surmonter plus aisément les obstacles, en débarrassant les questions relatives à la discontinuité d’une circonstance qui leur est étrangère, savoir, de la forme particulière attribuée à chaque fonction discontinue entre des limites données, et en attirant l’attention du calculateur sur un coefficient qui suffit à caractériser ces limites au delà desquelles cesse la continuité. En opérant ainsi, on établit sans peine les propriétés des fonctions discontinues, considérées comme représentant des valeurs particulières de fonctions plus générales, mais continues; et l’on arrive, par exemple, aux propositions que nous allons énoncer.

TuéorÈmE [. — Si une fonction discontinue de la variable x s'évanouit pour des valeurs réelles de cette variable situées hors de limites données a, b, la même fonction, quand la variable x deviendra imaginaire, s'éva-

nouira toutes les fois que la partie réelle x sera située hors de ces limites.

TnéorèME Il. — Sc une fonction discontinue de plusieurs variables independantes x, y, 3, ... s'évanouit pour des valeurs réelles de ces variables situées hors de certaines limites données et constantes, la même fonction, quand les variables deviendront imaginaires, s'évanouira toutes les fois

que leurs parties réelles seront situées hors de ces limites.

La considération des limitateurs permet de faire disparaître la con-

tradiction qui, dans les problèmes de Physique mathématique, semble exister entre les résultats déduits des intégrales en termes finis et des intégrales en séries. En effet, supposons une fonction discontinue représentée par le produit d’un limitateur et d’une fonction continue. Si l’on fait subir aux variables indépendantes des accroissements très petits, on pourra, en général, développer, suivant les puissances ascendantes de ces accroissements, la fonction continue, mais non pas le limitateur, et, en multipliant par ce dernier les divers termes du développement trouvé, on obtiendra une série équivalente à la fonction discontinue. On peut, de cette manière, développer en série convergente chacune des fonctions discontinues que renferme l’intégrale de l'équation en termes finis de l'équation du son, et l’on retrouve alors une intégrale en série qui s'accorde complètement avec l’autre intégrale.

Dans le problème du son, un ébranlement primitivement circonscrit entre des limites très resserrées donne naissance à un mouvement qui se propage dans l’espace avec une vitesse constante et réelle. Alors aussi la vitesse de propagation est fournie par une équation du second degré, qui offre deux racines réelles égales au signe près. Dans d’autres problèmes de Physique mathématique, par exemple dans la théorie de la lumière, les vitesses de propagation des mouvements vibratoires, ou même les carrés de ces vitesses, vérifient des équations qui sont d’un degré supérieur au second, et qui peuvent admettre des racines imaginaires. On peut demander si les mouvements correspondants à ces racines imaginaires sont ou ne sont pas du nombre de ceux qui se propagent dans l’espace. La réponse à cette question se déduit aisément du premier des théorèmes précédemment énoncés. On arrive ainsi à la proposition suivante :

TaéorÈmE IT. — Lorsqu'un ébranlement, primitivement circonscrit entre des limites très resserrées, donne naissance à un ou à plusieurs mouvements vibratotres, représentés par les intégrales d'un système d'équations linéaires aux dérivées partelles et à coefficients constants, si l'équation à

laquelle satisfont les vitesses de propagation supposées réelles offre aussi des racines imaginaires, le mouvement correspondant à une racine imaginaire sera ou ne sera pas du nombre de ceux qui se propagent dans l'espace, suivant que la partie réelle de la racine imaginaire sera sensible ou nulle; et, dans le premier cas, la vitesse de propagation du mouvement vibratoire sera précisément représentée par la valeur numérique de cette