C. R., T. XXIX, p. 65 (23 juillet
Les développements en séries qui vérifient un système d'équations différentielles ne peuvent évidemment représenter les intégrales de ce système que dans le cas où les séries sont convergentes; et c’est seulement quand on à démontré leur convergence qu'une question de Physique ou de Mécanique par laquelle on a été conduit à ces équations différentielles peut être censée mathématiquement résolue. Toutefois, dans l’Astronomie, la convergence des séries qui représentent le mouvement troublé d'une planète n’est point établie par le calcul. Seulement on à remarqué que les formules obtenues s’accordaient assez bien avec les résultats de l'observation, et l’on en a conclu naturellement que les séries étaient convergentes, mais sans pouvoir dire quelle était la durée du temps pendant lequel la convergence subsisterait. Il m'a paru important de faire disparaître ces incertitudes et de rechercher une méthode à l’aide de laquelle on püt non seulement obtenir, sous une forme nouvelle et simple, les intégrales générales d’un système d'équations différentielles, mais encore calculer aisément des limites des erreurs que l'on commet, quand on arrêft ces séries après un certain nombre de termes. Tel est l’objet du nouveau travail que je présente à l'Académie. Je me contenterai d'indiquer ici quelques-uns des résultats les plus remarquables, me réservant d'y ajouter, dans les prochaines séances, de plus amples développements.
Soient données, entre le temps £ et les variables æ, y, =, ..., des équations différentielles de la forme
br s Di Fr; Die ……..
X, F, Z, ... étant des fonctions données de æ, y, 3, ..., {. Soient encore
er LES PO CU PRO à |
une fonction donnée de æ, y, z, ...,t, et
ce que deviennent
M 6 SR au bout du temps +. Pour déterminer $ en fonction de æ, y, z, ...,t et =, il suflira d'intégrer l'équation caractéristique, c'est-à-dire l'équa-
tion linéaire aux dérivées partielles
D,$s+ fs —o,
dans laquelle on à :
Os=4Des+FD,6+...,
et d’assujettir ç à vérifier, pour £ — 7, la condition
s—5, 5 désignant la fonction f(æ,y,3,...,7) que l’on déduit de Cent DA PE AN PATES à en y remplaçant £ par +. Cela posé, faisons, pour abréger, nt V5 =- | Os dt; T si la valeur de + — £ est assez petite pour que la somme de la série, dont le terme général est V5, soit convergente, on aura (1) s—s+Vs+V's+....
Soient d’ailleurs
0 un nombre qui varie entre les limites o, 1;
u, », w, .…. des fonctions de 0, qui s’évanouissent avec 0 et se réduisent, pour 0 — 1, aux constantes &, b, c, ..., en conservant toujours des modules égaux ou inférieurs à ceux de a, b, c, ...;
U, V, W,... ce que devient X, F, Z, ... quand on attribue à æ, y, 3, ..., t les accroissements w, , æ, ..., 0(+— 4).
Enfin, en supposant les modules de a, b, c, ... et de + — s assez petits pour que les fonctions U, V, W ne cessent pas d’être continues, prenons (
U " ) Marmite
Ww
et nommons 9 ce que devient le module de l’exponentielle
f 1940, (3) 254 quand on attribue aux variables w, 6, w, ... et aux constantes a, b, c, .., des arguments tels que le module 5 devienne un »#aximum maximorum. La série que renferme le second membre de la for-
mule (1) sera convergente, quand le module de 7 — 4 sera inférieur . 1 1 , . .
au produit de - par -; e étant la base des logarithmes hyperboliques.
Ajoutons qu'il sera utile de choisir les modules des variables «, +, , ... et des constantes a, b, c, ... de manière à rendre le module le plus petit possible.
CALCUL INTÉGRAL. — Suite des recherches sur L ‘intégration d'un système d'équations différentielles, et transformation remarquable de l'inte-
grale générale de l ‘équation caractéristique. C. R., T. XXIX, p. 103 (30 juillet 1849).
Considérons les notations adoptées dans le précédent article ; supposons toujours les variables æ, y, =, ... liées au temps ? par les
équations différentielles :
Diz—#, Dy=—?, .….,
X, F étant des fonctions données de +, y, 3, ..., 4. Soient encore RSR, Vi 1er)
une fonction donnée de ces diverses variables, et | PC. PURE M UT e -
ce que deviennent FA PURE PNR :
au bout du temps +. Enfin posons, pour abréger,
RER Ê À D 8 à OU EE à
Os=ÆD,;s+FD,s+.,.,
t ES [15 dt.
Lorsque la série dont le terme général est V's sera convergente, on aura (p. 142)
(1) s—=s+Vs+V'5s+....
D'ailleurs le terme général V*s de la série peut être transformé avec avantage, et ramené à une forme digne de remarque, à l’aide d'un artifice de calcul que nous allons indiquer.
Soient pPeh AU)
deux fonctions de la variable UC FEr, et supposons que ces fonctions restent continues pour un module r de w
inférieur à une certaine limite. On aura, pour toute valeur de 7 inférieure à cette limite, non seulement
la notation at o(u) désignant la moyenne isotropique entre les diverses valeurs de o(u) considéré comme fonction de p, c’est-à-dire l'intégrale définie
I ua 7e tar,
EXTRAIT No 439. il
mais encore, en intégrant par parties, 65) Mug(u)y(u)]=— ME uo(u)y(u)].
Soient maintenant LEE À
ce que deviennent les fonctions 4, PF,
lorsqu'on y remplace £ par une variable 0 comprise entre les limites 4 et +, et que l’on attribue aux variables æ, y, ... des accroissements désignés par u, , .... Supposons d’ailleurs chacun de ces accroissements décomposé en 2 éléments, en sorte qu’on ait
et, après avoir écrit 0, au lieu de 0 dans U, V, ..., prenons
(5) SR EU TNA MES en ei 4
Enfin, soit K,, ce que devient K, quand on remplace dans les formules (4) et (5) le nombre r par le nombre »2, et 0, par 0. Si les éléments |
NU NE dre MS Vi VD 144 Pas offrent des modules tellement choisis, que pour ces modules, ou pour des modules plus petits, les fonctions
Vi Fe av
ne cessent jamais d’être continues, on aura, en vertu des formules (1)
ét C2),
0 hnU Le ue Vrs= £ sf JIK, Ke... K, ss ] d0, dé... db, T T
rh
Œuvres de C. — S. I, t. XI. 19
le signe où indiquant la movenne isotropique entre les diverses
valeurs du produit K; K:...K,
correspondantes aux diverses valeurs des arguments de
M M 0 0, y, Vi Sn UE
Si, comme il arrive souvent dans les questions de Mécanique, on à identiquement
(8) LR GS D
la valeur de K, fournie par l'équation (5) sera réduite à ; F5. [4 (9) K=—(n+ +.)
Ajoutons que dans tous les cas, lorsque, # étant un très grand nombre,
les éléments de &, v, ... seront très petits, on pourra négliger la somme
pere U 4 er DA ter D,U+ D, V +... vis-à-vis de la somme --— + He. et réduire ainsi, [2 nm sans erreur sensible, la formule (5) à la formule (9). Lorsque les fonctions X, Y, ... seront indépendantes de £, la for-
mule (7) donnera simplement
(10) Vars — PT
