el".f(a), OEùvres de C. — S.I,t.xXI
considérés comme fonctions de p; le module de 7, sera, en vertu de la formule (10), inférieur au rapport
qui se réduira simplement à
si l’on suppose r — +; et par suite, si, dans la série de Lagrange, on conserve seulement la somme des x premiers termes, la somme des termes négligés offrira un module inférieur au rapport
étant le module de z. Il reste à trouver une limite plus approchée de l'erreur commise, en déterminant d’une manière approximative la
valeur d'une intégrale de la forme
js ,T (10) 4e HE) Zoé,
dans le cas où 2 est un très grand nombre et où l'on attribue à z un module pour lequel se vérifie la condition
(11) Co;
On y parviendra comme il suit.
Supposons d'abord f(z) = 1. Alors l'équation (10) donnera
(192 Sie Z! dp.
.Concevons que, dans cette dernière formule, on poser —retp—p+. On aura
(13) sui [ Z"' do.
EXTRAIT N° 437. 139 Décomposons l'intégrale (13) en deux parties, dont l'une soit prise entre des limites très rapprochées — 5, +5, l’autre étant représentée par ®; nous aurons
nn T I Le (14) S — — Z" do + ®, NT
s étant un arc très petit. Supposons d’ailleurs que, pour r — +, p —,
on ait, non seulement Z=R, Z'= 0,
mais encore I ; , L 9 / Em ve + 2D,(2)=— a * DZ) =6;
on trouvera, pour une très petite valeur numérique de »,
6 étant très peu différent de b. Ajoutons que, R étant le module maxtimum maximorum de Z considéré comme fonction de p, la partie indépendante de 1 dans & sera nécessairement positive. Cela posé, la for-
mule (15) donnera Z=HNEtUET,
et l’on aura, par suite,
k" w ' (16) Fans à e-ra$"er6 do + D.
mie
Supposons à présent s tellement choisi, que, pour de grandes valeurs de 7, les deux produits
(17) nm, ND?
soient le premier très grand, le second très petit. Alors, comme il est
facile de le voir, on aura sensiblement
T (18) 5 ll era" e"68 do = ——.
V—v VAaa
De plus, dans le second membre de la formule (16), le dernier terme © deviendra très petit par rapport au premier, si le module maximum
maximorum de Z répond à une valeur unique de 3, et si d’ailleurs z est assez grand pour que le module de Z”, entre les limites — 5, +w de p, surpasse toujours le module de Z* hors de ces limites. Donc alors la valeur de 8, déterminée par la formule (16), pourra être réduite à la forme
nm
— (14 6), Are
à désignant une quantité qui s’évanouira avec et dont le module restera compris entre des limites qu'il sera facile de calculer.
Si le même module maximum maximorum de Z correspondait à deux ou plusieurs valeurs distinctes, par exemple à deux valeurs conjuguées de z, alors, dans le second membre de la formule (19), il faudrait au rapport
Te 2VARAT
substituer la somme des rapports de cette forme correspondants à ces valeurs de :. Cette somme serait, pour l'ordinaire, le double de la partie indépendante de i, dans chaque rapport.
Enfin, si à la formule (12) on substitue la formule (10), on devra multiplier le rapport (20) par le module & de f(z) correspondant aux valeurs r et p der et de p.
Ajoutons que les produits
nw, AND
deviendront, le premier très grand, le second très petit, pour de très grandes valeurs de z, si l’on pose
7 nb
: . . I Ll c, & étant deux nombres dont le second soit compris entre = et =:
CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur l'intégration d'un système quelconque d'équations différentielles, et, en particulier, de celles qu représentent
les mouvements planétaires.
