C. R., T. XXIX, p. 133 (6 août

Parmi les applications que l’on a faites de la Géométrie, l’une des plus remarquables est la science nouvelle créée, vers la fin du dernier siècle, par l’auteur de l’Essai sur la Cristallographie. Après avoir observé que les cristaux sont des assemblages de molécules similaires, notre illustre Haüy a recherché les lois suivant lesquelles les diverses molécules d’un corps se trouvent réunies et juxtaposées dans un même cristal. Aux observations que l’auteur avait faites, sont venues se joindre des observations nouvelles; et, enrichies par les fécondes méditations des minéralogistes, la science qu’il avait fondée a pu se perfectionner et s'étendre en participant aux progrès de la Physique moléculaire. Toutefois, M. Bravais a pensé que la Cristallographie pouvait subir encore des perfectionnements, et il est effFectivement parvenu à découvrir, dans certains systèmes de points matériels, des propriétés qui sont dignes de remarque, et des caractères qui peuvent être utilement employés à la classification des cristaux. L'étude de ces propriétés, de ces caractères, est l’objet spécial du Mémoire dont nous avons en ce moment à rendre compte. Essayons d'en donner une idée en peu de mots.

Considérons trois séries de plans tellement disposés, que les divers plans d’une même série soient parallèles entre eux et équidistants, sans être jamais parallèles à aucun plan d’une autre série. L’assemblage des points suivant lesquels se couperont tous ces plans formera ce qu’on peut appeler un système réliculaire, et ce système, suivant la remarque déjà faite par divers auteurs, spécialement par M. Delafosse, sera éminemment propre à représenter le système des points avec les-

quels coïncident, dans un cristal quelconque, les centres des diverses molécules. D'ailleurs ces trois séries de plans, dont chacun est appelé, par M. Bravais, plan réticulaire, partageront l’espace en parallélépipèdes élémentaires, tous égaux entre eux; et les divers points du système, compris dans un même plan réticulaire, formeront un reseau dont les mailles, les fils et les nœuds seront, d'une part, les parallélogrammes élémentaires qui serviront de bases aux parallélépipèdes; d’autre part, les droites sur lesquelles se mesureront les côtés de ces parallélogrammes, et les points d’intersection de ces droites ou les sommets des parallélogrammes dont il s’agit. M. Bravais appelle paramètres les longueurs des arêtes d’un parallélépipède élémentaire adjacentes à un même sommet; 1l nomme zétraëèdre élémentaire un tétraèdre construit sur ces trois arêtes, et triangle élémentaire un triangle qui a pour côtés deux côtés adjacents d’un parallélogramme élémentaire.

Cela posé, M. Bravais commence par établir, tantôt à l’aide de la Géométrie, tantôt à l’aide d’une analyse tout à la fois élégante et simple, les propriétés générales des réseaux. Il prouve, en particulier, que les nœuds d’un réseau donné sont en même temps les nœuds d’un nombre infini d’autres réseaux, dont les fils se coupent sous des angles divers, mais dont les mailles sont toujours équivalentes en surface aux mailles du premier. Il prouve encore que, parmi les triangles élémentaires correspondants à ces divers réseaux, il en existe un, mais un seul, qui offre trois angles aigus, et que ce triangle, auquel il donne le nom de triangle principal, a pour côtés les trois plus petits paramètres que l’on puisse obtenir en joignant l’un à l’autre les nœuds du réseau donné.

Après avoir établi les propriétés des réseaux, M. Bravais a recherché celles des assemblages ou systèmes réticulaires. Il a reconnu d’abord que les nœuds dont se compose un système réticulaire peuvent être fournis, d’une infinité de manières différentes, par les intersections de trois séries de plans parallèles, auxquels correspondent des parallélépipèdes élémentaires de formes diverses, mais égaux en volume.

Il prouve que, parmi les tétraèdres élémentaires correspondants à un système réticulaire, c’est-à-dire à un système donné de nœuds, il existe un tétraëdre principal, dans lequel chaque angle dièdre est ou un angle aigu, ou un angle droit, l’une des bases de ce tétraèdre ayant pour côtés les deux plus petits paramètres que l’on puisse obtenir en joignant l’un à l’autre les nœuds donnés. Enfin M. Bravais nomme axe de symétrie d'un système réticulaire une droite tellement choisie, qu’il suffise d'imprimer au système autour de cet axe une rotation mesurée par un certain angle pour substituer les divers nœuds les uns aux autres; puis il démontre que l'angle qui sert de mesure à la rotation doit être nécessairement égal soit à un ou à deux droits, soit au tiers ou aux deux tiers d’un angle droit. Donc le rapport de la circonférence entière à l'arc qui mesure la rotation ne peut être que l’un des nombres 2, 3, 4, 6; et la symétrie est nécessairement, suivant le langage adopté par M. Bravais, binaire, ou ternaire, OU quaternaire, Ou sénatre. D'autre part, il est clair que, si un système de nœuds tourne autour d’un axe passant par un point quelconque, le mouvement de rotation effectif de tout le système autour de cet axe ne différera pas du mouvement apparent de rotation autour d'un axe parallèle passant par un nœud quelconque, aux yeux d’un observateur dont la position coïnciderait avec ce même nœud. Il en résulte immédiatement que, à tout axe de symétrie qui ne passe par aucun nœud d’un système donné correspondent toujours d’autres axes de symétrie parallèles au premier, et passant par les divers nœuds du système. Il est d’ailleurs facile de voir que tout axe de symétrie passant par un nœud donné, coincide nécessairement, ou avec l’une des arêtes d’un parallélépipède élémentaire qui a ce nœud pour sommet, ou avec l’une des diagonales d’un tel parallélépipède, ou avec la diagonale de l’une de ses faces. Ces principes étant admis, on peut, comme l’a fait M. Bravais, classer les divers systèmes réticulaires, ou plutôt les divers systèmes de nœuds qu’ils peuvent offrir, d’après le nombre et la nature des axes de symétrie qui passent par un nœud donné. L'auteur compte effectivement sept classes d’assem-

blages ou systèmes de nœuds, distinguées les unes des autres par les caractères que nous allons rappeler.

Les systèmes de la première classe, correspondants au premier système cristallin des minéralogistes, offrent quatre axes ternaires, trois axes quaternaires et six axes binaires. Les formes distinctes comprises dans cette classe sont : 1° le cube; 2° le cube centré ou rhomboëdre de 120°, ou octaëdre à base carrée; 3° le tétraèdre régulier, ou octaèdre régulier, ou rhomboèdre de 70°31'44".

Les systèmes de la seconde classe, correspondants au second système cristallin des minéralogistes, offrent un seul axe quaternaire et quatre axes binaires. Les formes comprises dans cette classe sont : 1° le prisme droit à base carrée; 2° le prisme droit centré à base carrée, ou octaèdre à base carrée.

Les systèmes de la troisième classe offrent un seul axe sénaire et six axes binaires. Cette classe présente d’ailleurs une seule forme, savoir : le prisme droit, qui a pour base un triangle équilatéral.

Les systèmes de la quatrième classe offrent un seul axe ternaire ct trois axes binaires. Cette classe présente une seule forme, savoir : un rhomboëdre, dans lequel deux sommets opposés sont les extrémités d’un axe de symétrie ternaire, les six autres sommets étant ceux de deux triangles équilatéraux, dont les plans parallèles entre eux divisent en trois parties égales la diagonale dont il s’agit.

Les systèmes de la troisième et de la quatrième classe correspondent au troisième système cristallin des minéralogistes.

Les systèmes de la cinquième classe, correspondants au quatrième systeme cristallin des minéralogistes, offrent trois axes binaires. Cette classe présente quatre formes distinctes, savoir : le parallélépipède rectangulaire centré ou non centré, et le même parallélépipède ayant deux ou six faces centrées.

Les systèmes de la sixième classe, correspondants au cinquième système cristallin des minéralogistes, offrent un seul axe binaire. Cette classe présente deux formes, savoir : le prisme droit centré ou non centré, qui a pour base un parallélogramme.

EXTRAIT N° 440. 151 Les systèmes de la septième classe, correspondants au sixième système cristallin des minéralogistes, sont ceux qui n’offrent aucun axe de symétrie. Cette classe comprend une seule forme, savoir : le prisme oblique, qui a pour base un parallélogramme. | En résumé, si, les divers systèmes cristallins étant caractérisés par le nombre et la nature de leurs axes de symétrie, on range ces systèmes dans l’ordre indiqué par le nombre de ces axes, on obtiendra le Tableau suivant :

NOMBRE DES AXES DE SYMÉTRIE NOMBRE TOTAL ve des binaire. | ternaire. | quaternaire. sénaire. axes de symétrie. Système lerquaternaire.. 6 4 3 » 13 Système sénaire ........ 6 » » I nr.

Système quaternaire..... Â » 1 » 5 Système ternaire........ 3 I ES. » i | ee Système terbinaire...... 3 » » | » 3 ù | | | Système Dites, :; it. I » » J | » I | Système asymétrique... 0 » » | » 0 | | |

En terminant, M. Bravais établit divers théorèmes relatifs aux faces semblables ou plutôt similaires qui se trouvent échangées entre elles. quand on fait tourner un système réticulaire autour de l’un quelconque des axes de symétrie.

Les Commissaires pensent que dans ce nouveau travail M. Bravais a donné de nouvelles preuves de la sagacité qu’il avait déjà montrée dans d’autres recherches. En conséquence, ils sont d'avis que le Mé-

moire soumis à leur examen est très digne d’être approuvé par l’Aca-

démie et inséré dans le Recueil des Savants étrangers.

ANALYSE ALGÉBRIQUE. — Sur les quantités géométriques, et sur une méthode nouvelle pour la résolution des équations algébriques

de degré quelconque.