C. R., T. XXIX, p. 761 (24 décembre

Dans le Mémoire lithographié sous la date d'août 1836, et dans celui que j'ai présenté à l’Académie le 17 juin 1839 (*), j'ai recherché ce que deviennent les équations des mouvements infiniment petits d’un ou de deux systèmes homogènes de points matériels, quand elles acquièrent la propriété de ne pouvoir être altérées, tandis que l'on fait tourner les axes coordonnés autour de l’origine, c’est-à-dire, en d’autres termes, quand les systèmes donnés deviennent tsotropes. Mais, dans cette recherche, les coefficients que renfermaient les équations linéaires données étaient supposés réduits à des quantités constantes; et, comme j'en ai fait la remarque, cette supposition n’est pas toujours conforme à la réalité. Dans un grand nombre de problèmes de Physique et de Mécanique, les équations linéaires auxquelles on se trouve conduit renferment des coefficients, non plus constants, mais périodiques. Il est vrai qu'alors l'intégration des équations linéaires à coefficients périodiques peut être ramenée à l'intégration d’autres équations linéaires à coefficients constants, savoir de celles que j'ai désignées sous le nom d'équations auxiliaires, et qui déterminent les valeurs moyennes des inconnues. Mais, la forme de ces équations auxiliaires étant plus générale que celle des équations primitives, il devient nécessaire de généraliser les formules qui s’en déduisent, et spécialement celles qui représentent les mouvements infiniment petits des systèmes isotropes. Ajoutons qu’on peut obtenir aisément ces dernières formules sans le secours du Calcul intégral, en s'appuyant sur quelques théorèmes fondamentaux, relatifs aux /onc-

(1) Poir le Tome VII des Comptes rendus (OEuvres de Cauchy, S. 1, T. IV, p. 417) et le Tome I des £xercices d'Analyse et de Physique mathématique (Ibid., S.W, T. XI).

lions isotropes de coordonnées rectangulaires, c'est-à-dire aux fonctions qui ne sont pas altérées, quand on fait tourner les axes coordonnés autour de l’origine. Parmi ces théorèmes nous nous bornerons à citer le suivant.

TnéoRèME. — Une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires de trois points dépend uniquement des quantités variables qui représentent les distances de ces points à l'origine et leurs distances mutuelles, et de la somme alternée qui représente, au signe près, le volume du tétraedre dont

ces distances sont les arêtes. Ê

Remarquons, d’ailleurs, que le carré du volume d'un tétraèdre étant une fonction entière des carrés des six arêtes, on pourra réduire toute fonction isotrope des coordonnées rectangulaires de trois points à une fonction de six quantités variables. Ajoutons qu'une telle fonction deviendra kémitrope, si elle change de signe avec les coordonnées elles-mêmes.

Quand on veut appliquer le théorème que nous venons d'énoncer à la recherche des conditions d’isotropie d'un système de points matériels, 1l convient de remplacer les trois équations qui déterminent les déplacements d’un point quelconque, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, par l'équation unique qui détermine, pour le même point, le déplacement mesuré parallèlement à un quatrième axe arbitrairement choisi. En opérant ainsi, on se trouve immédiatement conduit aux équations que j'ai mentionnées dans la séance du 14 novembre 1842, et qui représentent avec tant de précision les phénomènes de polarisation et de dispersion cireulaires produits par l'huile de térébenthine, l'acide tartrique, etc.