C. R., T. XXX, p. 33 (21 janvier

Comme je l'ai remarqué dans le Mémoire présenté à la dernière séance, les vibrations infiniment petites de l’éther, dans un milieu homogène dont les molécules restent sensiblement immobiles et, spécialement dans un corps cristallisé, peuvent être représentées par trois équations linéaires à coefficients périodiques qui déterminent les déplacements d’un atome, mesurés parallèlement à trois axes fixes. D'ailleurs ces équations linéaires à coefficients périodiques peuvent être remplacées par trois autres équations pareillement linéaires, mais à coefficients constants, que j'ai nommées équations auxiliaires, et qui déterminent les valeurs moyennes des inconnues. Enfin ces trois équations auxiliaires, qui ont pour premiers membres les dérivées du second ordre des valeurs moyennes des inconnues différentiées par rapport au temps, pourront être remplacées par une seule équation, qui aura pour premier membre la dérivée du second ordre d’un déplacement mesuré parallèlement à un axe quelconque.

Cela posé, si l’on veut déterminer les lois de la propagation de la lumière dans un milieu homogène, et spécialement dans un milieu cristallisé, on devra surtout rechercher la forme que prennent dans ce milieu les trois équations auxiliaires dont nous venons de parler, au, ce qui revient au même, l'équation unique qui peut leur être substituée. En effet, la différence entre le déplacement d’un atome d'éther, mesuré parallèlement à un axe quelconque, et la valeur moyenne de ce déplacement, se composera de termes périodiques

dont chacun, étant proportionnel au sinus ou au cosinus d’un angle très considérable, changera de signe sans changer de valeur numérique, quand on franchira des intervalles comparables aux dimensions des parallélépipèdes élémentaires, dont l'assemblage constitue un corps cristallisé. Or, ces dimensions étant insaisissables, il est naturel d'en conclure que, dans la théorie de la lumière, l'influence des termes périodiques sur les effets produits restera insensible, et qu’on pourra la négliger, au moins dans une première approximation, en tenant compte seulement des termes qui représenteront les valeurs

moyennes des inconnues.

Remarquons encore que les trois équations auxiliaires auxquelles

on parviendra, en partant des formules générales établies dans le précédent Mémoire, pourront être censées déterminer les dérivées du second ordre des valeurs moyennes des inconnues, différentiées par rapport au temps, en fonctions linéaires de ces mêmes inconnues et

de leurs dérivées des divers ordres, prises par rapport aux coordon-

nées. On pourra done exprimer par une fonction linéaire du même genre la dérivée du second ordre qu’on obtient en différentiant deux fois de suite par rapport au temps la valeur moyenne d’un déplacement mesuré parallèlement à un axe quelconque. Nommons Q cette dernière fonction linéaire. Pour que le milieu donné soit isophane, ou, en d’autres termes, pour que la propagation de la lumière dans ce milieu s’effectue en tous sens suivant les mêmes lois, il suffira que la fonction Q soit zsotrope, c’est-à-dire qu’elle reste invariable quand on déplacera les axes coordonnés, en leur imprimant un mouvement de rotation quelconque autour de l’origine. Alors on se trouvera précisément ramené aux équations générales que j'ai données pour représenter les vibrations de l’éther dans les milieux isophanes (séance du 14 novembre 1842). Il y a plus : il sera facile d’assigner aux coeflicients renfermés dans la fonction Q des valeurs telles, que le milieu isophane ait la propriété de produire la polarisation chromatique, en faisant tourner dans un certain sens les plans de polarisation des rayons lumineux qui le traversent. En conséquence, pour expliquer

EXTRAIT N° 454. 213 cette propriété rotatoire de certains milieux isophanes, il n’est pas nécessaire de recourir à certaines hypothèses imaginées par divers auteurs ou par moi-même, ni d'introduire dans la Mécanique moléculaire des forces polarisées, c’est-à-dire variables avéc les directions dans lesquelles elles s’exercent, ou des actions ternaires. Il suffit d’admettre qu'un atome d’éther étant mis en présence d’un atome d’un corps, ces deux atomes exercent l’un sur l’autre une action proportionnelle à leurs masses et à une fonction de leur distance, puis de joindre à l'hypothèse d’une action binaire entre les atomes de l’éther et les atomes d’un corps, la supposition d’un arrangement spécial de ces derniers atomes. Parmi les conditions auxquelles cet arrangement doit satisfaire, l’une est celle qu’admettent les physiciens et les minéralogistes, et que manifestent les belles expériences de M. Pasteur, savoir que la forme cristalline du corps-isophane donné ne puisse être superposée à son Image vue dans un miroir.

Ce n’est pas tout : si la fonction ci-dessus désignée par Q est isotrope, non d’une manière absolue, mais par rapport à l’axe des x, c’est-à-dire si elle reste invariable, quand on déplace les axes des y et des =, en leur imprimant un mouvement de rotation quelconque autour de l’axe des æ, le milieu donné sera isophane, non plus d’une manière absolue, mais par rapport à l’axe dont il s’agit, et la propagation du mouvement de l’éther autour de cet axe s'effectuera en tous sens suivant les mêmes lois. Alors on obtiendra, pour représenter les vibrations lumineuses, des équations que l’on trouvera dans ce Mémoire. D'ailleurs ces dernières équations pourront ou continuer de subsister, ou changer de forme quand on changera les signes des coordonnées parallèles à l'axe des y. Dans lépremier cas, elles coincideront avec celles que j'ai données dans le Mémoire lithographié d'août 1836. Dans le second cas, elles devront s’accorder avec celles que M. d’Ettingshausen annonce avoir obtenues, en s’occupant des cristaux à un axe optique (voir le Tome XXIV des Comptes rendus, page 802), et qui renferment, a-t-il dit, comme cas particulier, les équations différentielles (à deux variables indépendantes) auxquelles

M. Mac-Cullagh a été conduit par diverses inductions dans un Mémoire lu à l’Académie royale d'Irlande en février 1836.

ANALYSE

SL. — Sur les vibrations de l’éther dans un milieu homogène .

dont les molécules restent sensiblement immobiles.

Considérons un mouvement vibratoire et infiniment petit de l’éther dans un milieu homogène dont les molécules restent sensiblement immobiles, et spécialement dans un milieu cristallisé. Nommons

m la masse d’un atome d’éther;

æ, y, : les coordonnées initiales et rectangulaires de cet atome; et soient, au bout du temps £,.

£, n. C les déplacements du même atome, mesurés parallèlement aux axes des æ, y, 3.

Enfin, en supposant que le milieu cristallisé offre des axes de symétrie parallèles aux axes coordonnés, nommons &,, n,, & les valeurs moyennes des déplacements £, n, €. La recherche des lois suivant lesquelles s’effectuera la propagation du mouvement vibratoire de l’éther pourra être réduite à l'intégration des trois équations auxiliaires qui détermineront les trois inconnues £,, n,, + D'ailleurs ces équations auxiliaires pourront être réduites, dans une première approximation, aux formules (4) de la page 208, par conséquent à des équations de la forme ,

(1) PE SE, Dino, Dies,

Æ, Ÿ, 3 étant non seulement des fonctions linéaires de £,, n5, Co, mais encore des fonctions symboliques de

us D, LE ; AP met 1 FR

et, dans une seconde approximation, aux formules que fournira léli-

mination des dix-huit inconnues

e . É n r k HO Cas Las Êa; C6» 16; 66; Cy° ny» Sy; = « £ ‘ . .

Cds 1-0 Qu C—6s 1-6» -65 Et UT C-y

entre les équations (6) et (8) des pages 209, 210. Ajoutons que, si le mouvement vibratoire dont il s’agit, ou les mouvements simples dont la superposition peut le reproduire offrent des longueurs d’ondulation notablement supérieures aux trois dimensions d’un parallélépipéde élementaire du milieu eristallisé, les équations auxiliaires fournies par la seconde approximation, ou même par les approximations ultérieures, pourront encore être représentées généralement par les formules (1). Seulement, si l’on se borne à la première approximation, les formules (1), réduites aux équations (4) de la page 208, satisferont à cette condition particulière, que les neuf coefficients symboliques des trois inconnues £,, 5, C dans les fonctions linéaires #, Ÿ, 35e réduiront à six, ces fonctions étant alors de la forme

KG à Es + ü No + Obs CR Pe | Eo + Mno + D Co 3 = Qi, +7 No + N Los

Pan Ce LA

tandis que, dans la seconde approximation et dans les approximations ultérieures, les neuf coeflicients dont il s'agit seront généralement distincts les uns des autres.

Soient maintenant a, b, c les coordongées d’un point fixe R situé à l’unité de distance de l'origine O des coordonnées; e le déplacement de l'atome », mesuré au bout du temps ?, dans une direction parallèle à celle de la droite OR;

e, la valeur moyenne de à.

On aura

(3) 8e = aË + bn + cé, ; (4) 8 = @Ëo + Ono + Chos

et de l’équation (4), jointe aux formules (1), on tirera

(5) D'8= ax + b9 + c3.

En d’autres termes, on aura (6) D°?2,=— Q,

pourvu que Q désigne une fonction linéaire, non seulement de Ë, n, €, mais encore de a, b, ce, et en même temps une fonction symbolique de D,, D,, D.. Sous ces conditions, l'équation (6) sera une formule générale propre à représenter les vibrations infiniment petites de l’éther dans tout milieu homogène et ceristallisé, qui offrira trois axes de symétrie rectangulaires entre eux.

Parmi les milieux homogènes et cristallisés, on doit distinguer ceux qui sont sophanes, soit d’une manière absolue, soit par rapport à un axe fixe. Il importe de rechercher ce que devient la formule (6) pour de semblables milieux. Pour y parvenir, il suffit de s'appuyer sur quelques propositions relatives aux fonctions isotropes, et en particulier sur celles qui seront énoncées dans le paragraphe suivant.

S IL. — Sur les fonctions isotropes des coordonnées de divers points. Soient HR Sd OO À En à) Lys Vus Zn les coordonnées rectilignes de divers points P, P,, P,, .... Une fonc-

tion Q de ces coordonnées sera dite wsotrope, si on ne l'altère pas en faisant subir aux cordonnées de chaque point les changements de valeurs qui résultent d’un mouvement de rotation quelconque imprimé aux axes des æ, y et z autour de l’origine O. Cela posé, on établira aisément la proposition suivante :

TuéorÈme |. — Une fonction Q des coordonnées reclilignes de divers points dépend uniquement des distances de ces points à l’origine, de leurs distances mutuelles et du sens dans lequel se meuvent des rayons vecteurs

dont chacun est assujetti à passer constamment par l'origine et à décrire,

dans un ordre déterminé, les faces latérales d'un tétraëèdre qui a pour

base le triangle formé avec trois quelconques des points donnes.

Lorsque les coordonnées deviennent rectangulaires, le premier théorème entraine immédiatement les propositions suivantes :

Tuéorëme IL. — Les positions de divers points P, P,, P,, ... étant rapportés à trois axes rectangulaires, une fonction isotrope Q de leurs coor-

données

re: Lys yo 3,5 Ps Tes 3 dépendra uniquement des Hide de la forme L+ +3 OÙ xx, +yy,+ 33, et des sommes alternées de la forme S(ÈZY,3,)=2Y,3, —2Y,3,+2,Y,3—2,Y3,+X, V3, —2,),3. TuéorèME IT. — Les coordonnées

re P æ ee —æ T J ÊA Ts Jr en Ty, Vs dd

de trois points P, P,, P, étant supposées rectangulaires, si une fonction isotrope Q de ces coordonnées est en méme temps une fonction linéaire, non seulement des coordonnées du point P,, mais encore des coordonnées

du point P,, on aura

G — E(x,x,+Y,Y1+2,5,) (1) + F(2r,+yy,+33,)(2xx,+ yy,+ 53,)

l + K(xy, 3, LY,5,+ T, Vs ZL,Y5, + TL, V5, — ZX, Y, 3), E, F, K étant trois fonctions de la somme x°? + Y+ ss.

Supposons maintenant que la fonction Q soit isotrope, non plus d'une manière absolue, mais par rapport à l’axe des æ, c’est-à-dire qu'elle reste invariable quand on déplace les axes des y et des = en leur imprimant un mouvement de rotation quelconque autour de l'axe des æ. Alors, par des raisonnements semblables à-ceux qui servent à

démontrer les premier, deuxième et troisième théorèmes, on établira Œuvres de C. — S.1,t. XI 28

des théorèmes analogues, et, à la place de la formule (1), on obtiendra

l'équation suivante

Ed [Læ, " M(y7,+33,) di N(y3, re, 3] CHR 33,)

| +. [Gæ,+ H(y7,+53,) + K(y:,—7,s)lx, (2) |

APT 7, +5,3,) SL Q(r, 8y Yu 3,) fe Rx (Yy3 —Y2;),

G, 4, K, L, M, N, P, Q, R étant des fonctions de x et de y° + z*.

$ HILL. — Sur les vibrations de l’éther dans les milieux isophanes.

Revenons à la formule (6) du $ I. Si, pour abréger, l’on écrit simplement £, n, €, e& au lieu de £,, n,, &,, 2,, cette formule donnera

(1) D'uss la valeur de 2 étant (2) 8—aËé+bn+ce.

D'ailleurs Q sera une fonction linéaire, non seulement des coordonnées a, b, c du point fixe R situé à l’unité de distance de l’origine O, mais encore des déplacements moyens &, n, &, et en même temps une

fonction symbolique de u =D, p= D, W=D:

Cela posé, pour que l'équation (1) devienne propre à représenter les mouvements de l’éther dans un milieu isophane, il suffira évidemment que la fonction de

FPE MUR CE 4, 0 C3 ES; sr 0

désignée par Q, devienne isotrope. De cette remarque, jointe au théorèeme II du $ IT, on conclura sans peine que le milieu donné sera isophane, si l'équation (1) se réduit à la formule D?3—E(aË + bn + cé) (3) + F(aD,+ 0D,+ cD,) (DSE + D,n + D,6) + K[a(Den — D,6)-+ b(Dst — D,Ë) + c(D,Ë — D,n)],

E, F, K étant trois fonctions symboliques de D? + D°+ D. Cette dernière formule devant subsister, quelle que soit la position du point R sur la surface de la sphère décrite du point O comme centre avec le rayon 1, il en résulte qu'après avoir substitué à 2 sa valeur aë + bn + cê on pourra égaler entre eux dans les deux membres les coefficients de a, b, c. On obtiendra ainsi les trois équations

D?E —EË + Fuv + K(D:n —D,é), (4) { Dn =En+Feu + K(D,£ — D,E), D?£ —E6 + Fwv + K(D,E — D;n), la valeur de v étant (5) v—D,Ë£+D,n + D.Ë6, c’est-à-dire Les équations différentielles du mouvement de l’éther dans les milieux isophanes (vor le Tome XV, page 916) (").

Si le milieu dans lequel l’éther est contenu devait être isophane, non plus d'une manière absolue, mais seulement autour de l'axe des æ, alors, en partant de l'équation (2) du paragraphe précédent, on obtiendrait, non plus la formule (3), mais la suivante

| D's—aGé+H(bn+ci)+K(bË— cn) (6) À + [La+M(bD,+ cD.) + N(cD,— 6D.)](D,n + D.€) + P(bD,+ cD.)£+[aQ + R(bD,+ cD:)](Den — D,E), G, H,K, L, M, N, P, Q, R étant des fonctions symboliques de D, et de D; + D;; puis on en conclurait

DFE = GÈ + L(Dyn+D.t) + Q(D:n — D,£), D?n = Ha + K£ + PD,E (7) + (MD, — ND.) (D,n + D.€) + RD,(D;n — D, €), D?é —HEé — Kn + PD-E + (MD,+ND,)(D,n + D.6) + RD. (Din — D, 6).

Si l'on veut que ces dernières formules restent inaltérables, quand on remplace le demi-axe des y positives par le demi-axe des y néga-

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T. VI, p. 207. R

tives, on devra réduire à zéro les coefficients symboliques K, N, Q, R, et alors on retrouvera les formules obtenues dans le Mémoire

d'août 1836 (page 69).

459, C.R., T. XXX, p.114 (28 janvier 1850).

M. Aveusrix Caucuy dépose sur le Bureau un exemplaire du Mémoire

sur les systèmes 1sotropes de points matériels, qui doit paraître prochainement dans le Recueil des Mémoires de l’Académie.

PuysiQUE MATHÉMATIQUE. — Memoire sur les vibrations de l’éther dans les milieux qui sont isophanes par rapport à une direction

donnée.