C. R., T. XXX, p. 93 (4 février
$ 1. — Des conditions auxquelles satisfait une fonction des coordonnées rectilignes de divers points, quand elle est isotrope par rapport à l’un des
axes coordonnés.
Soient UD, 83 AS EE Fe PPS TOUT Pa
les coordonnées rectilignes de divers points P, P,, P,, .... Une fonction Q de ces coordonnées sera &sotrope par rapport à l'axe des æ, si on ne l’altère pas en faisant subir aux coordonnées y, 33; y,, 3,: y,, z,: .…. les changements de valeurs qui résultent d’un mouvement de rotation imprimé aux axes des y et des 3 autour de l’origine O des coordonnées. ù
En partant de cette définition, l’on établit sans peine les proposi-
tions suivantes :
EXTRAIT No 456. 221
Tuéorème 1. — Si une fonction Q des coordonnées x, LTÉE TARA LT Lys Vin 5,3 +. de divers points P, P,, P,, ... est isotrope Par rapport à l'axe des x, elle dépendra uniquement des abscisses x, Ds D 4. de ces mêmes points, de leurs distances à l'axe des x, des angles que formeront entre elles ces distances, ou leurs Projections sur un plan perpendiculaire à l'axe des x, enfin du sens dans lequel se mouvront des rayons vecteurs assujeltis à passer constamment par l’origine et à décrire les an gles dont d's'agit.
Tuéorème Il, — Les mémes choses étant posées que dans le théorème 1, st les coordonnées sont rectangulaires, la fonction Q dépendra urique-
ment des abscisses x, TL, L,, ... des sommes de la forme PH, 0 Yr +28
et des binômes de la forme YS,; Fm #, 3e Tuéorème IT, — Les mêmes choses étant posées que dans les théorèmes 1 el IT, et les points P,P, P, étant au nombre de trois, si Q doit étre une fonction linéaire, non seulement des coordonnées æ, Y,, 3, du point P,, mais encore des coordonnées Ts Yys 5, du point P,, on pourra prendre pour Q l’un quelconque des produits
T,Z,, PTE 2,543 Pre Va rs
TL (YYn + 585) LV 5 — V3)
Ty(IY, +25,), %,(Y3, — 7,5), d (9, +22,)(yr, +33,), (Y3,—7,3)(yY, + 33,), O9, +23) (7,3—7y2,), (y3,—7,3) (7,23 —7y2,),
ou bien encore la somme de ces produits respectivement mullipliés par des
fonctions quelconques des deux quantités variables x et Y° +3.
Corollaire I. — Comme on a identiquement
(YY, + 22,) (YY: + 32,) er CP 7;3) (2-33) =(7"+ 3°) (Ya + #, 3,)
et
(YY, + 32,) (2,5, 5) (78-<ÿ;8) (YY1 + 33,) = (y°+ 2°) (y 35 TV y 3,);
il en résulte que, des onze produits mentionnés dans le théorème II, les deux derniers peuvent être omis sans inconvénient, ce qui permet de réduire la fonction Q à la forme
2 — [Gz,+ H(yy,+z:,)+K(yz,—7,s:)]x, (1) +[Lz,+M(yy,+ss,) + N(ys,—7,3)](yr7,+32,) l "+. POI +3,5,) “3 Q(7, Ze Ÿy 3,) se Rx,(Y, 3 —Y23,);
G, H,K, L, M, N, P, Q, R étant des fonctions de x et de y? + z?.
Corollaire II. — Si, dans la formule (1), on remplace G par G + Lx,
H par H + Mx, K par K + Nx, on aura, pour déterminer Q, la formule
| Q— [Gz+H(yr,+s3) +K(ys,—7,:)lz, a [Læ, + M(y7,+ 23,) +N (73, —7,5)] (TZ, + YYi+ 32,)
(2) l ne PRÉ Em U +Q(7,3,—Y, 3,)+Rzx,(y,3— 7s,).
Corollaire III. — L'équation (2), ainsi qu’on devait s’y attendre, comprend, comme cas particulier, la formule (1) du précédent Mémoire (page 217), à laquelle on la réduit, en posant
KW PÆE, H=N=o, LS: Meh, QE r, R
S IE. — Sur les vibrations de l’éther dans des milieux qui sont isophanes par rapport à une direction donnée.
Supposons que les vibrations de l’éther s’exécutent dans un milieu qui soit isophane par rapport à l’axe des æ. Ces vibrations pourront se déduire de la formule (1) (page 217), dont le second membre Q sera une fonction linéaire, non seulement des coordonnées a, b, c d’un point fixe situé à l'unité de distance de l’origine, mais encore des déplacements £, n, € d'un atome d’éther mesurés parallèlement aux axes des æ, y, z, et en même temps une fonction symbolique de
u =D» FD ue À FA
Cette fonction de w, #, æ; a, b, c; €, n, € devant d’ailleurs être iso-
trope par rapport à l'axe des æ, il suffira, pour l'obtenir, de remplacer dans le second membre de la formule (2) du SI, æ, y, 3 par &, +, w: Lis Vis 3, par @, b,c,etæ, y, =, par &, n, €. Alors le trinôme
