C.R., T. XXXI, p. 257 (26 août

Lorsqu'un rayon simple tombe sur la surface extérieure ou intérieure d’un cristal à un ou deux axes optiques, la propagation du mouvement de l’éther donne naissance à divers rayons réfléchis ou réfractés, les uns visibles, les autres évanescents. Alors aussi les principes établis dans mes précédents Mémoires suffisent pour déterminer les lois de la réflexion et de la réfraction. Mais, comme la marche suivie dans l'application de ces principes peut avoir une influence notable sur la longueur des calculs et sur la forme plus ou moins compliquée des

équations définitives auxquelles on parvient, il sera très utile d’indiquer une méthode qui permette d'obtenir facilement ces équations sous une forme élégante et simple tout à la fois. C’est ce que nous allons essayer de faire en peu de mots.

Nous supposerons, dans un cristal à un ou deux axes optiques, les positions des divers points rapportées à trois axes rectangulaires fixes et liés invariablement à ce cristal. Alors, pour tout mouvement simple propagé dans une direction donnée, et correspondant à un rayon lumineux visible ou évanescent, les trois équations différentielles qui représenteront les mouvements infiniment petits de l’éther feront immédiatement connaître les rapports entre les trois déplacements effectifs d'un atome d’éther mesurés parallèlement aux axes coordonnés, et les différences entre leurs phases, ou, en d’autres termes, les rapports invariables des trois déplacements symboliques qui correspondront à ces déplacements effectifs. Cela posé, un rayon simple, lumineux ou évanescent, propagé dans une direction donnée, se trouvera complètement déterminé quand on connaîtra un seul des déplacements symboliques correspondants à ce rayon. Donc la détermination de deux rayons visibles et d’un rayon évanescent, propagés dans des directions données, pourra être réduite à la détermination de trois inconnues. On ne doit pas même excepter le cas où, le cristal devenant isophane, les deux espèces de rayons visibles se réduiraient à un seul, puisqu'alors les trois déplacements symboliques correspondants à un seul rayon seraient liés entre eux par une seule équation linéaire qui en laisserait deux indéterminés.

D'autre part, lorsqu'un rayon de lumière simple tombe sur la sur-

face extérieure ou intérieure qui termine un cristal à un ou deux axes optiques, chacun des rayons réfléchis ou réfractés, visibles ou évanescents, répond à un mouvement simple caractérisé par une exponentielle qui, sur la surface réfléchissante ou réfringente, doit offrir la même valeur pour tous les rayons dont il s'agit. Ce principe permet de déduire immédiatement, de la direction du rayon incident supposée connue, non seulement les directions des normales aux plans des

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ondes réfléchies ou réfractées, mais encore d’autres directions qu'on ne doit pas confondre avec celles-ci, savoir, les directions que suivent les rayons réfléchis ou réfractés, et qui sont généralement obliques par rapport aux plans dont il s’agit.

Cela posé, la recherche des lois suivant lesquelles un rayon simple sera réfléchi ou réfracté par la surface extérieure ou intérieure d’un cristal pourra être évidemment réduite à la détermination de six inconnues, trois de ces inconnues étant relatives aux rayons réfléchis, | et. trois autres aux rayons réfractés. Donc six équations de condition sufliront pour déterminer toutes les inconnues. Or, pour obtenir ces six équations, il suffira d’exprimer que la somme des déplacements symboliques de chaque espèce correspondante aux divers rayons propagés dans chaque milieu conserve la même valeur quand on passe d’un des milieux donnés à l'autre, non seulement sur la surface donnée, mais encore sur cette surface déplacée et transportée parallèlement à elle-même à une distance infiniment petite.

Dans le cas particulier où le milieu réfringent est un corps isophane, non doué du pouvoir rotatoire, les six équations trouvées reproduisent les formules de réflexion et de réfraction que j'ai obtenues en 1859, et qui supposent connu, outre l'indice de réfraction, un paramètre très petit, savoir, le coeflicient d’ellipticité. Dans le cas général, les six équations trouvées renferment avec ce coefficient d’autres paramètres pareillement très petits, et, pour déduire de ces équations les valeurs des six inconnues, il convient de commencer par éliminer les valeurs des deux inconnues qui sont relatives aux rayons évanescents. Alors, en négligeant, comme on peut le faire sans erreur sensible, Les quantités comparables aux paramètres dont nous venons de parler, on obtient quatre équations qui suffisent pour déterminer les quatre inconnues correspondantes aux rayons visibles réfléchis ou réfractés, et qui renferment, outre le coefficient d’ellipticité, deux autres coefficients très petits dépendants de la nature des rayons évanescents.

Parmi les formules auxquelles on parvient en opérant comme on vient de le.dire, on doit remarquer celles qui concernent la réflexion

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et la réfraction opérée par la surface extérieure des cristaux à un seul axe optique. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Les physiciens ont d’abord admis que les lois de la propagation de la lumière, dans les cristaux à un seul axe optique, dépendaient de deux paramètres, savoir, des indices de réfraction ordinaire et extraordinaire. Si l'on tient compte uniquement de ces deux paramètres, les surfaces des ondes correspondantes aux deux espèces de rayons pro: pagés à travers le cristal seront la surface d’un ellipsoïde qui aura pour axe de révolution un diamètre de la sphère. C’est même en cela que consiste le théorème de Huygens. Mais les résultats que fournit le calcul ont une plus grande généralité. D'après les formules auxquelles j'arrive, la propagation de la lumière, dans un cristal à un axe optique, lors même que ce cristal ne possède pas le pouvoir rotatoire, peut dépendre d’un assez grand nombre de paramètres, et le nombre de ces paramètres s'élève encore à sept dans le cas où l’on réduit les équations aux dérivées partielles à l'homogénéité. Dans ce dernier cas, des deux rayons visibles, un seul qu’on doit appeler le rayon ordinaire, offre des vibrations perpendiculaires à l’axe optique, et la surface des ondes correspondantes à ce rayon ne peut êtré que la surface d’une sphère ou d’un ellipsoïde. Pour l’autre rayon, qu’on doit appeler extraordinaire, la surface des ondes est celle d’un sphéroïde de révolution, qui peut se réduire à un ellipsoide. D'ailleurs les deux surfaces d'ondes correspondantes aux deux rayons visibles ont toujours, l'une et l’autre, le même axe de révolution.

En appliquant mes formules à la réflexion et à la réfraction opérées par un cristal taillé perpendiculairement à l'axe optique, mais non doué du pouvoir rotatoire, j'arrive à cette conclusion qu’un rayon incident, composé de molécules éthérées dont les vibrations sont perpendiculaires au plan d'incidence, est réfléchi et réfracté suivant les lois très simples données par Fresnel, pour le cas où le milieu réfringent est isophane. Seulement, si la surface des ondes correspondantes au rayon ordinaire était une surface d’ellipsoide, l'angle de réfraction devrait être remplacé, dans les formules de Fresnel, par l’angle com-

EXTRAIT N° 469. 267 pris entre l’axe optique et la normale au plan des ondes réfractées. Ajoutons que, si le rayon incident offre des vibrations comprises dans le plan d'incidence, les lois de la réflexion et de la réfraction seront fournies par des formules nouvelles, que l’on trouvera dans mon Mémoire, et qui sont distinctes, non seulement des formules de Fresnel, mais aussi de celles que j'ai données en 1839.

ANALYSE

Supposons que, les points de l’espace étant rapportés à trois axes rectangulaires, un corps réfringent soit terminé par une surface plane qui coincide avec le plan des yz, le corps lui-même étant situé du côté des æ positives, et faisons tomber sur cette surface un rayon simple. La propagation du mouvement de l’éther donnera généralement naissance, d’une part, à deux rayons réfléchis, l’un visible, l’autre évanescent, d'autre part, à trois rayons réfractés, dont deux sont visibles. Cela posé, en adoptant les notations des pages 248 et 249, et posant, pour abréger,

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D'ailleurs on aura rigoureusement

(3), Ge. Ne

On peut ajouter que les quantités w,, u,, dont la première sera positive, la seconde étant négative, offriront de très grandes valeurs numériques. Cela posé, en éliminant les inconnues relatives aux rayons évanescents, on tirera des équations (1) quatre formules qui pourront être sensiblement réduites aux suivantes

'Ét TE A JS —pvX, ro, SVP X,

À, u — 1 et y étant trois coefficients très petits dont les valeurs seront

"UE, 1 $ I I u 7261 u Ce (5) = — + —) m1—= “ ( Ë or VÉere

Le à le

F1 ae TE P Ce / lle Ne

Lorsque le milieu réfringent donné est isophane, alors, les for-

mules (3) étant exactes, les formules (5) donnent (6) BE — 1, Ÿ — 0,

et les équations (4), réduites aux suivantes

(5) s Sp tte à ni Ro ve, 2% Z= 0; Rent À

coïncident avec celles que nous avons obtenues dans les précédents

Mémoires, savoir, avec les formules (1), (2), (3) de la page 260. Lorsque le milieu réfringent est un cristal à un axe optique, mais

non doué du pouvoir rotatoire, alors, en supposant ce cristal taillé

perpendiculairement à l’axe optique, on a

Do 920; A À &e = Os par conséquent St, et les formules (4) donnent (8) TAUX, = GP ls ren A rh 2

Donc alors un rayon simple composé de molécules d’éther dont:les vibrations sont perpendiculaires au plan d'incidence continue d’être