C. R., T. XXXI, p: 338 (9 septembre

La méthode dont je me suis servi pour établir les équations différentielles des mouvements infiniment petits de l’éther dans un corps Isophane peut s'appliquer aussi à la recherche de ces équations, quand le corps, cessant d’être isophane, se transforme, par exemple, en un cristal doublement réfringent. On doit surtout remarquer le cas où l’on peut tracer dans ce cristal trois plans principaux et rectangulaires entre eux, dont chacun le divise en deux parties symétriques. Les équations différentielles que j'obtiens alors renferment un grand nombre de paramètres, qui sont encore au nombre de quinze, quand on réduit ces équations à l’homogénéité. Mais, si des trois coefficients déterminés dans la séance précédente, et relatifs aux rayons évanescents, le dernier est constamment nul, les quinze paramètres dont il s'agit seront réduits à neuf, et l’équation de la surface des ondes renfermera six paramètres seulement. Alors le cristal admettra généralement, comme l'expérience le montre, deux axes optiques renfermés dans l’un des plans principaux. Il y a plus : si le cristal est symétrique autour d’un axe, celui-ci sera l’axe optique unique, et dans ce cas les neuf paramètres ci-dessus mentionnés se réduiront à quatre, trois d’entre eux étant renfermés dans l'équation de la surface des ondes, réduite elle-même au système d’un ellipsoide et d’une sphère, ou plus généralement de deux ellipsoides qui offriront le même axe de révolution.

J'ajouterai ici une remarque qui n’est pas sans intérêt. Supposons

à se ne.

que l’on fasse tomber un rayon simple de lumière sur la surface extérieure d’un cristal doué d’un seul axe optique et taillé parallèlement à cet axe. Supposons d’ailleurs le plan d'incidence perpendiculaire à l'axe optique, et le rayon incident renfermé dans le plan d'incidence, ou, en d’autres termes, polarisé perpendiculairement à ce plan. En vertu des formules obtenues dans la séance précédente, ce rayon devrait être, sous l'incidence principale, transformé par la réflexion en un rayon renfermé ou non dans le plan d'incidence, suivant que le dernier des coefficients correspondants aux rayons évanescents sera ou ne sera pas égal à zéro. J'ai été curieux de savoir si, dans le cas indiqué, le rayon réfléchi sortait effectivement du plan d'incidence et s’il éprouvait une déviation sensible. Les expériences que nous avons exécutées, M. Soleil fils et moi, pour résoudre cette question, en appliquant à cette recherche le goniomètre de M. Babinet, muni de prismes de Nicol, nous ont convaineus que la déviation, si elle existe, est très faible, et ne peut guère s’élever au delà d’un degré, ou même d'un demi-degré. Les réflexions opérées sous l'incidence principale, et pour des rayons renfermés dans le plan d'incidence, par des surfaces quelconques de cristaux à un ou à deux axes optiques, nous ont paru aussi ne pas produire de déviation sensible. Si j'avais à ma disposition un appareil qui permit d'atteindre une grande précision, spécialement l'appareil de M. Jamin, je n’hésiterais pas à en user pour répéter nos expériences. Car, ainsi que je l’expliquerai plus en détail dans un autre Mémoire, il est très important, sous le rapport théorique, de savoir si la déviation existe, ou si elle n’offre qu’une valeur qui puisse être négligée dans les calculs.

ANALYSE

Supposons qu’un mouvement infiniment petit du fluide éthéré se propage dans un cristal. Représentons, au bout du temps 4, par £, n, © les déplacements d’une molécule d’éther, mesurés parallèlement à trois axes rectangulaires des æ, y, z, et posons, pour abréger,

s2= D; ss D, es Ds

OEuvres de C. — S.I,t. XI. 36

D'après ce qui a été dit dans un précédent Mémoire, les équations différentielles d’un mouvement infiniment petit de l'éther pourront

être supposées réduites à la forme (1) a Er A PL: Per 8 À Fig Se 2

*, 3, & désignant trois fonctions linéaires et homogènes de &, #, &, qui seront en même temps des fonctions entières de w, e, æ, composées d’un nombre fini ou infini de termes. De plus, si l’on nomme 2 le déplacement d’une molécule d’éther, mesuré parallèlement à un nouvel axe qui forme avec ceux des +, y, z des angles dont les cosinus

soient &, b, c, on aura

(2) 8—at+bn+ct; par conséquent, en vertu des formules (1), (3) 823$,

la valeur de 8 étant donnée par la formule (4) S—=axX + bT +cx.

Ajoutons que les équations (1) et (3) continueront de subsister si l’on y considère les lettres £, n, €, # comme représentant, non plus des déplacements effectifs des molécules éthérées, mais les déplacements symboliques correspondants, et même, si l’on y considère, en outre, s,u,v, comme représentant, non plus les symboles de dérivation D,, D,, D,, D,, mais les coeflicients des variables indépendantes dans l’exponentielle caractéristique

euxT+Vy+Wwz-st

correspondante à un mouvement simple de l’éther.

Si maintenant on veut attribuer au cristal donné la faculté de propager de la même manière et suivant les mêmes lois les mouvements simples de l'éther de part et d'autre de chacun des trois plans coordonnés, il suffira évidemment d’assigner à la fonction de a, b, c, u, +, æw, &, n, € désignée par s une forme telle que la valeur de 2 déterminée

MP Re OU 0e TON Pr de

EXTRAIT Ne 471. 283

par la formule (3) demeure invariable après un changement opéré dans le sens suivant lequel se mesurent les coordonnées parallèles à un seul axe, ou, ce qui revient au même, dans le signe de ces coordonnées. Mais, si l’on change, par exemple, le signe des coordonnées parallèles à l’axe des æ, on devra changer a en — a, u en — u, et £ en — Ë. Donc un tel changement devra laisser inaltérable la valeur de s, et cette valeur ne devra pas non plus être altérée, si l'on change simultanément ou b en — b, 6 en — +, n en — n, ou bien cen —c, tre = "4,0 60 + C.

D'autre part, la valeur de 8, dans l'équation (3), est nécessairement une fonction linéaire homogène, non seulement de a, b, ce, mais encore de 6, n, €. Donc elle se compose de neuf parties respectivement

égales aux produits

(5) ‘an, bn, cn,

æ ds, dE, 4 4

multipliés par neuf fonctions entières de w, v, æ. Or, des neuf produits compris dans le Tableau (5), trois, savoir,

aë,: bu; 5tt,

restent invariables quand on change simultanément le sens dans lequel se mesurent.les coordonnées parallèles à un axe quelconque. Done, pour que la condition ci-dessus énoncée soit remplie, il faudra que, dans la valeur de 8, ces trois produits se trouvent multipliés par trois fonctions paires de &, v, æ. Quant aux deux produits

ils changeront de signe quand on changera les signes des coordonnées parallèles à l'axe des y ou des z, mais resteront invariables quand on changera les signes des coordonnées parallèles à l’axe des æ. Donc, dans la valeur de 8, ces produits devront être multipliés par des fonctions paires de w, qui soient en même temps des fonctions impaires de # et de w. En d’autres termes, les produits 6, cn devront être, dans la valeur de 8, multipliés par le produit ew et par des fonctions

paires de &, v, w. Pareillement on devra, dans la valeur de s, multiplier les produits

cé, ai par le produit wu et par des fonctions paires de &, v, w; enfin les produits

an, DE par le produit w et par des fonctions paires de w, », æ. Donc, pour que le cristal donné ait la faculté de propager de la même manière et suivant les mêmes lois les mouvements simples de l’éther de part et d'autre de chacun des plans coordonnés, il suffira que la valeur de s soit de la forme

| S—aLE+ bn + cNE

‘6 Ye + PH(bDRE + cL'n) + wu(cDE + aD'E) + uv(aRn + bR'E),

LR, 2%, P, 2, R, ®’, 2’, &’ étant des fonctions entières et paires de &, °, #, par conséquent des fonctions entières de &?, e?, æ?.

La valeur de 8 étant ainsi déterminée, on pourra en conclure immédiatement la forme que devront prendre, dans l'hypothèse admise, les équations (1). Pour y parvenir, il suffira de réduire, dans la formule (3), jointe aux équations (4) et (6), deux. des cosinus a, b, c à zéro et le troisième à l’unité. En prenant successivement pour

celui-ci a, b et c, on obtiendra les trois équations SE—£E+urAn+uwdE, que l’on peut écrire comme il suit :

(— KL )Ë = u(rRn+wŸ'E), (7) (— 2 )n = 0e (WE +uR'E), (5— I )f —w(u DE +vPn).

Telles sont les formules qui paraissent devoir représenter généralement le mouvement de la lumière dans un cristal divisible en deux

parties symétriques par l’un quelconque de trois plans rectangulaires

entre eux.

TT OMR PT PE PU PP UT ee DIET EE

cb dv de dar de dc à

dE er rt ui

Si l’on veut réduire à l’homogénéité les équations (7), comme on peut généralement le faire dans une première approximation, les coefficients

LE FN AO RE. AS réduits à des constantes, représenteront six paramètres distincts, tandis que les coefficients £, 30, 2%, réduits à des fonctions linéaires et homogènes de &?, e?, æ?, renfermeront neuf autres paramètres. Donc alors les équations (7) renfermeront quinze paramètres. Ces quinze paramètres peuvent d’ailleurs être réduits à neuf dans les équations (7) et à six dans l’équation de la surface des ondes, sous la condition que nous avons indiquée dans le préambule, et que nous examinerons de nouveau dans un autre article.