X -— p(cosÇ H- y'— I sinC

en sorte que la notation xf^ désignera l'expression imaginaire

p" cosaÇ -1- p" sinaC v/ — ^*

Il suit encore des conventions et des principes ci-dessus établis (Chap. VII, §§ III et IV), que, pour une valeur numérique fractionnaire de la constante a, la notation

représente à la fois plusieurs expressions imaginaires, dont les valeurs sont données par les deux formules

{Xx)Y — x"- {{\)Y\ ((i))"'~ zo%ika'K±i\j'^^\ ^mikaTz,

lorsque la partie réelle a de l'expression imaginaire ic est positive, et par les deux suivantes

((— i))*= cos(2/r -+- !)«:: ±y/ — i sin(2/>- + i)^::,

lorsque la quantité a devient négative \{x^oir, à ce sujet, dans le § IV du Chapitre Vil, les équations (25) et (26)]. La même notation ne peut plus être employée dans le cas où la valeur numérique de a devient irrationnelle.

Les expressions de la forme

conservent les mêmes propriétés pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires de la variable, tant que l'exposant a pour valeur numérique un nombre entier; mais ces propriétés ne subsistent plus que sous certaines conditions dans le cas contraire. Soient, pur exemple,

plusieurs expressions imaginaires, qui se réduiront à des quantités réelles si ê, ^ , ^" s'évanouissent. Désignons, en outre, para, b, c, ... des quantités réelles quelconques, dont les valeurs numériques soient fractionnaires ou irrationnelles, et par m, m' , m", . . . plusieurs nombres entiers. On aura constamment, en vertu des principes établis dans le Chapitre VII,

jf^m j^>n' x'"" :::= ^m-\-m'+in"+...

(2) l X""^ CC~"^' X~^^^' — nf'—ni — m'—in"—...

j^±>n nr±in' j^±in" -~ ^±in±iii'±in"±i...

chacun des nombres m, m , m", . . . devant être affecté du même signe dans les deux membres;

^m yiii i-in ——/^Yz y«

On trouvera, au contraire, que des trois formules

(6) x"'f''z''... — {xyz...)",

la première subsiste uniquement toutes les fois que la partie réelle a