PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII

de l'expression imaginaire x est positive; la seconde, toutes les fois que, a, a', a", . . . étant positifs, la somme

arclaiif? — h aie lang —, + arc laiig-r. +. . .

"a oc' a

reste comprise entre les limites — -■■> ^- -; et la dernière, toutes les

fois que, a étant positif, le produit

6 • a arc tanff -

est compris entre ces mêmes limites.

Les conventions faites dans le Chapitre VII ne suffisent pas encore pour fixer d'une manière précise le sens des notations

A-*^, L.r, sinx, cos.r, arcsin^, arccos^,

dans le cas où la variable x devient imaginaire. Le moyen le plus simple d'y parvenir étant la considération des séries imaginaires, nous renvoyons ce sujet au Chapitre IX.

D'après ce qui a été dit ci-dessus, toute notation algébrique qui renfermerait, avec les variables x, y, z, ... supposées réelles, des constantes imaginaires, ne peut être employée dans le calcul que dans le cas où, en vertu des conventions établies, elle aurait pour valeur une certaine expression imaginaire. Une semblable expression, dans laquelle la partie réelle et le coefficient de y — i sont nécessairement des fonctions réelles des variables x, yy z, ..., est ce qu'on appelle un^ fonction imaginaire de ces mêmes variables. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par <^(x) Qi'^{x) deux fonctions réelles de .r, une fonction imaginaire de cette variable sera

Quelquefois nous indiquerons une semblable fonction à l'aide d'une seule caractéristique u, et nous écrirons, en conséquence,

OEuvres de C. — S. U, t. UI. • 27

Pareillement, si l'on désigne par o(,T,y, z, . . .), '/,(-t^,y, -, • . •) deux fonctions réelles des variables a:, y, z, . . .,

sera une fonction imaginaire de ces diverses variables, La fonction imaginaire

prend le nom de /onction algébrique, ou exponentielle, ou logarithmique, ou circulaire, etc., et, dans le premier cas, le nom de fonction rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, etc., toutes les fois que les fonctions réelles 9(^,7, z, . . .), yf^,y, -, • ..) jouissent l'nne et l'autre des propriétés que suppose le nom dont il s'agit. Ainsi, en particulier, la forme générale d'une fonction imaginaire et linéaire des variables ce, y^ z, ... sera

(ft -h bx +■ Cf -hdz -+- . . .) + {a' -\- h' X + c'y -\' cl' z -k- . . .)sj - 1

OU, ce qui revient au même,

(a + «'v/^) + (<^H- b'\/—i)x + {c + c' \l—~i)y + {cl + d' \/~~i) z -^ . . .,

a, h, c, d, . . ., a , h' , c , d' , . . . désignant des constantes réelles.

On doit distinguer encore parmi les fonctions imaginaires, comme parmi les fonctions réelles, celles (ju'on nomme explicites, et qui soni immédiatement exprimées au moyen des variables, de celles qu'on nomme implicites, et dont les valeurs déterminées par certaines équations ne peuvent être explicitement connues qu'après la résolution des équations dont il s'agit. Soit

rn(jc) ou T^{a^, y, z, . . .)

une fonction imaginaire implicite déterminée par une seule équation. On pourra représenter cette fonction par u-h i'\/— i , u, ç désignant deux quantités réelles; et, si dans l'équation imaginaire qu'elle doit