PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XI

Supposons maintenant que la substitution de a; + :; au lieu de x dans la fonction F(^) donne généralement

(6) l\x + z) = ¥ {x) + z¥,{x) + z^¥^{x) ~[- . . . . On en déduira

et l'équation (5) deviendra

/(^o 4- s) r= Ao [Fi (^o) + - Fî (>^o) + • • • ] -*- -Z.

Lorsqu'on fait dans cette dernière 5 = 0, elle se réduit à

/(a?o)=:AoFi(^o), et l'on en conclut

On trouverait, par un calcul entièrement semblable,

'^'«-»"FU^,„-i)' Les valeurs qu'on vient d'obtenir pour

Ao, A], Aj, .... A,„i

sont évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle ttt— : ; d'où il résulte que cette fraction

ne peut être décomposée que d'une seule manière en fractions simples qui aient pour dénominateurs les facteurs linéaires du polynôme F(x) avec des numérateurs constants.

Il est aisé de voir comment l'équation (7) et la formule (3) du {)a-

ragraphe précédent s'accordent entre elles. En effet, F, (ic„) est ce que , devient le polynôme

p. ^^ Vf ^x F(-^o~^-) F(^) Fi(cro) + 2F2(.2'o)+...= ^ ~ ^. ^,

lorsqu'on y fait :; = o ou a? = a^^ ; et par suite, si l'on pose

on aura

Fi(^o) = 9(-3?o)»

Pour montrer une application des formules ci-dessus établies, supposons qu'il s'agisse de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

n désignant un nombre entier inférieur à m. On aura, dans ce cas particulier,

et, si l'on représente par h un n(?mbre entier qui ne surpasse pas —y les diverses racines de l'équation F(^)=:o, toutes inégales entre elles, seront comprises dans la formule

cos ±: V — 1 sin

Soit a l'une de ces racines, et chercbons le numérateur A de la fraction simple qui a pour dénominateur x — a. Ce numérateur sera

l\{a) ~ ¥i{a) la valeur de F, (a) étant déterminée par l'équation

F(a) -t- z F,(a) +. . . =: F(a + s) = (a + z)"'— i =. a'"—i + ma"'-^z H-