PREMIÈRE PAHTIE. — CHAPITRE XI

les racines de l'équation

supposées inégales. On aura, en désignant par k un coefficient constant,

et, en vertu des principes établis dans le paragraphe qui précède, la fraction rationnelle iA— ^ pourra dont la première sera de la forme

fraction rationnelle ^,—\ pourra être décomposée en deux autres

Ao représentant une constante, tandis que la seconde aura pour dénominateur

= A: ( .^ — J?! ) ( J? — ^Tj) . . . (^ — X,n-x)'

En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode, on obtiendra :

i'' Une nouvelle fraction simple de la forme

2*^ Une fraction qui aura pour dénominateur k{x — x^). . . {x~ x,„i). En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynôme

tous les facteurs linéaires qu'il renferme ; en sorte qu'on réduira définitivement ce polynôme à la constante k. Donc, lorsque, par une suite de décompositions partielles semblables à celles que nous venons d'indiquer, on aura extrait de la fraction Ç— une suite de fractions sim-

pics de la forme

X — Xf^ X — X^ X — X.2 X — ^,„i

le reste ne pourra être qu'une fraction rationnelle à dénominateur constant, c'est-à-dire une fonction entière de la variable x. En désignant par R cette fonction entière, on trouvera

(3) ^;=:R + -Ao^Ai__^k+...H- '^'"-^ .

t{x) X — Xq X — Xi X — X^ ^ — -^m-l

Il reste maintenant à savoir quelles sont les valeurs des constantes

Ao> Aj, Ao, •••, A,n-i.

Ces valeurs se déduiraient sans difficulté de la méthode de décomposition indiquée dans le § I. Mais on parvient plus directement à leur détermination à l'aide des considérations suivantes :

Si l'on multiplie par F(^) les deux membres de l'équation (3), on en tirera

f{x) rr: R F(^) + A» + A, — -— -

Si dans les deux membres de cette dernière formule on fait

la somme

Dr. X i F(:r) , F(.r) . F(^)

RF(a^) + Ai -4- Aï — ^^—- 4- ...-+- A„,, ^ '

qui est évidemment un polynôme en x divisible par x — ^„, prendra la forme

Z désignant une fonction entière de z^ et l'on aura, par suite,

(5) /(^o+5)=rAo-^— ^ -^-h^Z.