X -\- II, X -{- h' , X + II

h, h', h", ... désignant des quantités positives, on n'augmentera pas le nombre maximum des variations de signes entre les coefficients successifs des puissances descendantes de la variable x.

Théorème VII. — Soient, pour le polynôme

(iio) Vi^) = a^)X"' + aiX'"-^ + ...-+- a„i iX + a„„

i24 COURS D'ANALYSE.

m' le nombre minimum des permanences de signes, et m" le nombre minimum des variations de signe entre les coefficients successifs des puissances descendantes de x. Alors, dans' l'équation

(ii4) F(^) = o,

le nombre des racines négatives sera égal ou inférieur à m', le nombre des racines positives égal ou inférieur à m", et le nombre des racines imaginaires égal ou supérieur à la différence

Démonstration. — Pour établir la première partie du théorème, j'observe que, si l'on appelle h, h', Ji", ... les racines négatives de l'équation {i^^^, le polynôme Ff.r) sera divisible pai' le produit

Nommons Q le quotient. D'après le corollaire du théorème précédent, le nombre maximum des variations de signe dans le polynôme Y {x) sera égal ou inférieur au nombre maximum de ces variations dans le polynôme Q, et par conséquent au degré de ce dernier polynôme. Par suite, le nombre minimum des permanences de signe dans le polynôme F(^) sera égal ou supérieur à la différence entre le nombre m et le degré du polynôme Q, c'est-à-dire au nombre des racines réelles et négatives de l'équation

(ii4) F(^)=o.

Pour démontrer la seconde parlie du théorème VII, il suffira de remarquer que, en écrivant — ^ au lieu de x dans l'équation (ii4)» on change à la fois les racines positives en négatives, les variations de signe en permanences, et réciproquement.

Enfin, comme celte équation, étant du degré m, doit avoir m racines réelles ou imaginaires, il est clair que la troisième partie du théorème est une conséquence immédiate des deux autres.

Corollaire. — Pour montrer une application du théorème précédent, considérons en particulier l'équation

NOTE III. i25

On trouvera : i" en supposant m pair,

ni'-—o, m"=iro;

2" en supposant m in)pair,

Par suite, l'équation (ii5) n'a point de racines réelles dans la première hypothèse, et ne peut en avoir (ju'une dans la seconde, savoir, une racine réelle négative.

ORuvres de 6. — S. II. t. 1 11. .5/4

SUK LE DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION ALTERNEE {r~x) {z — y) (z^x) ...{f — x) {t-~-j) (i' — z) ..{f — u).

Désignons par ce la fonction dont il s'agit. Ainsi (lu'on l'a déjà remarqué (Chap. III, § II), cliaque terme de son développement sera équivalent, abstraction faite du signe, au produit des diverses variables rangées dans un certain ordre et respectivement élevées aux puissances marquées par les

nombres

De plus, il est aisé de voir (jue tous les produits de cette espèce peuvent se déduire les uns des autres à l'aide d'un ou de plusieurs écbanges opérés entre les variables |)rises deux à deux. Ainsi, par exemple, on déduira le produit

d'un quelconque des produits de même forme, en faisant passer successivement par de semblables écbanges la lettre o^ à la première place, puis la lettre / à la seconde, puis la lettre z à la troisième, etc. Comme d'ailleurs la fonction cp cbange de signe, en conservant au signe près la môme valeur, toutes les fois qu'on échange deux variables entre elles, on devra conclure : I" que le développement de cette fonction renferme tous les produits cidessus mentionnés, pris les uns avec le signe 4-, les autres avec le signe — ; 2° que, dans le même développement, deux produits, choisis au hasard, sont affectés du même signe, ou de signes contraires, suivant qu'on peut les déduire l'un de l'autre par un nombre pair ou par un nombre impair d'échanges. En parlant de ces remarques, on établira sans difficulté la proposition suivante :

Théorèmk I. — Joignez au produit

x^ y^ z^ . . . M"-2 ,,«-1 tous ceux que l'on peut en déduire à l'aide d'un ou de plusieurs échanges

successivement opérés entre les variables

prises deux à deux. Le nombre des produits que vous obtiendrez sera

et ils se partageront en deux classes distinctes, de telle manière quon ne pourra jamais déduire V un de Vautre deux produits d'une même classe que par un nombre pair d'échanges, ni deux produits de classe différente que par un nombre impair d'échanges. Cela posé, si Von ajoute tous les produits d'une classe pris avec le signe -f- aux produits de Vautre classe pris avec le signe — , on trouvera pour somme, suivant qu'on donnera le signe h- aux produits d'une classe ou à ceux de Vautre, soit le développement de + <p, soit le développement de — cp.

Il suffit évidemment d'avoir égard à la proposition précédente pour construire le développement de la fonction alternée + 9. Toutefois on doit remarquer encore un antre théorème, à l'aide duquel on peut décider immédiatement si deux produits, pris au hasard dans le développement dont il s'agit, s'y trouvent affectés du môme signe ou de signes contraires. Nous nous contenterons d'énoncer ici ce second théorème, sans en donner la démonstration qu'on déduira sans peine des principes que nous avons exposés.

Théokème II. — Pour décider si, dans le développement de la fonction alternée ± cp, deux produits de la forme

sont affectés du même signe, ou de signes contraires, on distribuera les variables ■ '

en plusieurs groupes, en ayant soin de faire entrer deux variables dans un même groupe toutes les fois qu'elles porteront le même exposant dans les deux produits que Von considère, et formant un groupe isolé de chaque variable (jui n'aura pas changé d'exposant dans le passage du premier produit an second. Cela posé, les deux produits seront affectés du même signe, si la différence du nombre total des variables au nombre des groupes est un nombre pair, et ils seront affectés de signes contraires, si cette différence est un nombre impair.

On l'acilite l'usage du théorème qui précède, en écrivant les deux produits l'un sur l'autre, et rangeant dans chacun d'eux les variables d'après l'ordre do grandeur des exposants ([u'eJles portent.

Pour appliquer à un exemple les deux théorèmes ci-dessus énoncés, considérons en particulier cinq variables

F^e produit de leurs différences, ou, si l'on veut, la fonction alternée

{y — x) (3 — x) {z -y) {il - x) {u — y) {u — z) ((• — x) (('—/) {v — z) (r — «),

fournira un développement composé de cent vingt termes respectivement égaux à cent vingt produits dont soixante seront précédés du signe +, et soixante du signe — . L'un des produits affectés du signe + sera celui qui a pour facteurs les premières lettres des binômes

y — x, z — ,r, z—y, . . . , V — II, savoir

Pour juger si un autre produit tel que

doit être pris avec le signe + ou avec le signe —, il suffira d'observer que, si l'on compare les deux produits dont il est ici question sous le rapport des mutations qui ont lieu enjre les variables données lorsqu'on passe de l'un à l'autre, on sera conduite partager ces mêmes variables en trois groupes, dont l'un renfermera la seule variable x, un second les trois variables y, z, r, et un troisième la seule variable u. Si du nombre des variables égal à 5 on retranche le nombre des groupes égal à 3, on aura pour reste 2, c'est-à-dire un nombre pair. Par conséquent les deux produits devront être affectés du même signe; et, puisque le premier est précédé du signe +, le second devra l'être également.