I -H \/ 1,73-2 et

j + \/i,75o puis l'on en conclura que la racine positive h est comprise entre

1 , /jo — o,o43o5 . . . = 1 , 35694 . . - .

On obtiendra donc la valeur approchée de cette racine à un dix-millième près, si l'on prend

(ro5) b ■= i,3o6g.

Quant à la racine négative c de l'équation (91), nous savons déjà (|u'elle est comprise entre les limites

— 3,74i6... et — 2,4i....

On aura donc sa valeur approchée à une unité près, si on la suppose égale à — 3. ('ela posé, faisons dans l'équation (91)

On trouvera

(106) 0,o5 -f- ^ — 0,45^- -h 0,o5 3^rTr O

420 COLRS D'ANALYSE.

ou, ce qui revient au même,

(98) z— — 0,0^ -{- qz^y

la valeur de 7 élaiil déterminée par la formule

(107) (yr=o,45 — o,o5^.

De plus, on reconnaîtra facilement : i" que l'équation (106) a une racine réelle, mais une seule, comprise entre les limites o, — 0,1 ; 2° que la valeur correspondante de <] est renfermée entre les deux nombres

3" que ces deux nombres substitués à la place de la lettre q dans l'équation (100) fournissent deux nouvelles valeurs approchées de z, savoir

, Tz:: — 0,0489 II....

Par suite, la valeur approchée de c à un cent-millième près sera

Au reste, on aurait pu déduire immédiatement la valeur approchée de c des formules (ici) et (io5). En effet, puisque dans l'équation (91) le coefficient de x^ se réduit à zéro, on en conclut

a -\- b + c zzT. o, c^rz — a — b,

et, par conséquent, à très peu près,

I*our terminer cette Note, nous présenterons ici deux théorèmes dont le second comprend la règle énoncée par Descartes relativement à la détermination du nombre des racines positives ou négatives qui appartiennent à une éciuation de degré quelconque. Dans ce dessein, nous allons d'abord exaniin(îr le nombre des variations et des permanences de signes que peut offrir

une snile de quantités, lorsqu'on suppose les différents termes de cette suite comparés l'un à l'autre, dans l'ordre où ils se succèdent. Soit

(109) a^, <7i, rt,. •••■, ^m-i, <^m

la suite que l'on considère, composée de m + i termes. Si aucun de ces termes ne se réduit à zéro, le nombre des variations de signe qu'on obtiendra en les comparant deux à deux, dans l'ordre où ils se succèdent, sera complètement déterminé. Mais, si quelques termes se réduisent à zéro, comme on pourra, dans cette hypothèse, fixer arbitrairement le signe de chacun d'entre eux, le nombre des variations de signe dépendra de cette fixation même, de manière cependant à ne pouvoir s'abaisser au-dessous d'un certain minimum, ni s'élever au-dessus d'un certain maximum. Une semblable remarque peut être faite sur le nombre des permanences de signe. Ajoutons (pie, pour obtenir le iiombre maximum des variations de signe, il suffit de considérer chaque terme qui s'évanouit comme affecté d'un signe contraire à celui du terme précédent. Concevons, par exemple, que la suite (109) se compose des

quatre termes

Le premier de ces termes étant positif, on obtiendra le nombre maximum des variations de signe, en considérant le second terme comme négatif, et le troisième comme positif, ou, ce qui revient au même, en écrivant

Par suite, dans ce cas particulier, le nombre maximum dont il s'agit sera égal à 3. On aurait obtenu au contraire le nombre minimum des variations de signe, égal à l'unité, en affectant chaque terme nul d'un signe semblable à celui du terme précédent, c'est-à-dire en écrivant

Ces principes étant admis, on établira sans difficulté les propositions suivantes :

Théorème VI. — Supposons que, la constanLe h étant réelle et positive, on multiplie le polynôme

(110) a^x'"--^ (7i^"'-' -I- a.,x'"'- -\- . . . + rt„,^, X + a,„

par le facteur linéaire x -1- h. Cette multiplication n'augmentera pas le

nombre maximum des variations de signe entre les coefficients successifs des puissances descendantes de la variable z.

Démonstration. — En multipliant le polynôme (i lo) par x -h h, on obtient un nouveau polynôme dans lequel les puissances descendantes de la variable ont pour coefficients respectifs les quantités

(iri) «0, «1 -+-/'«()» a,+ ha^, ..., a,„4-Aa,„i. /ia,„.

Il suffira donc de prouver que le nombre des variations de signe ne croît pas dans le passage de la suite (log) à la suite (m), lorsqu'on a porté ce nombre au maximum dans l'une et l'autre suite, en affectant chaque terme qui s'évanouit d'un signe contraire à celui du terme précédent. Or, je dis en premier lieu que, les signes étant fixés d'après cette règle, chaque terme de la suite (i 1 1), représenté par un binôme de la forme

prendra le même signe que l'un des termes a„, a„, de la suite (log). Cette assertion est également évidente dans les deux cas qui peuvent se présenter, savoir : i° lorsque les deux termes «„i, r/„ sont originairement, ou en vertu de la règle adoptée, affectés de signes contraires, par exemple lorsque a„ s'évanouit; 2" lorsque, a,i ayant une valeur différente de zéro, «„, est affecté du môme signe que a„. En conséquence, si l'on attribue aux quantités

(112) Aao, hai, ha.2, ..., ha,„^, ha,„

les mêmes signes qu'aux termes correspondants de la suite (109), on pourra, sans altérer en aucune manière la succession des signes dans la suite (m), y remplacer chaque binôme de la forme

a„-hAr/„,

par l'un des deux monômes a„, /ia„^i. En opérant ainsi, on obtiendra une nouvelle suite dans laquelle chaque terme de la forme «„ se trouvera suivi d'un autre terme égal, soit au monôme «,,4-1, soit au monôme ha„, qui est la seconde partie du binôme a„j^i-i- ha„, tandis que chaque terme de la forme //«„ se trouvera suivi du monôme ha„^f, ou du monôme «,,4-2» ^"i <'st la première partie du binôme a,,^^-^ ^^(^ii+i- Cela posé, concevons que dans la nouvelle suite on distingue : 1" chaque terme de la forme a„ auquel suc-

cède un aulre terme de la forme lia,,; 2" cliaque terme de la forme hàn auquel succède un aulre terme de la forme a„+^; et soient respectivement

a s, ha,t, «r„, /i«w,

les différents termes de l'une et l'autre espèce rangés d'après l'ordre de grandeur des indices qui affectent la lettre a. La nouvelle suite, composée des monômes

(ii3) <

' lla^,, /lCli,^i, • • •> ''^iv> (^^w-hif ^'^ivt-SJ • • •» ^^/nj

ne présentera évidemment que des variations de signe propres à la suite ( rog) avec celles qui peuvent naître dans le passage de /*«„ à «,i+.2, de /m„, à a^^,^.^, .... D'ailleurs il est aisé de voir que, si les deux quantités

ha„ et «,,+2, ou, ce qui revient au même,

•7,, et «„^2

sont affectés de signes contraires, la variation de signe correspondante ne fera que remplacer une autre variation de signe propre à la suite (109), savoir celle qui avait lieu entre le terme a^+i et l'un des deux termes a„, «„+.2. Une remarque toute semblable s'applique au cas où les monômes /««„,, a^^,+2 sont affectés de signes contraires, etc. On peut donc conclure que le nombre maximum des variations de signe n'augmente pas lors'qu'on passe de la suite (109) à la suite (1 13), et par conséquent à la suite (ni); ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — Si l'on multiplie le polynôme (uo) par plusieurs facteurs linéaires de la forme