CX
hx"-
la fonction cherchée, et par
«0> ''ij ^2, • • • > f^n-l
ses valeurs particulières correspondantes aux valeurs
(le la variable x. Les inconnues du problème seront les coefficients a, h, c, . . ., h des diverses puissances de x dans le polynôme u; et l'on ain^a, pour déterminer ces inconnues, les équations de condition
bxQ bx.
\ «„., =: a 4- 6^„, -+- cx'l^i -+-
hx"-
hx'[-\
{ Ui ^=z a -{- bx2 -i-cxl +...-h/i.r" *,
hx"^^
Cela posé, pour obtenir la valeur explicite de la fonction u, il s'agira uniquement d'éliminer les coefficients a, b, c, . . ., h entre les formules (i) et (2). On y parviendra en ajoutant l'équation (1) aux équations (2), après avoir
multiplié ces dernières par des quantités choisies de manière à faire disparaître la somme des seconds membres. Soient
les quantités dont il s'agit. On trouvera
U Xo"o — ^1 "1 X2«2 • • • — X.,i i Un-i
— (r — Xo — X, — X, — ...— X„,)a
-{- {x — x^y^Q — ^, X, —^2X2 — . . . — .r„,X„ 1) fc -{-{x"^ — ^^Xo —^1X1 — ^^X, — . . .— ^,V , X„i)c
+ (^..-i ^'-1 Xo - o^r ' Xj - :rr ' X2 - . . . - xlz\ \n^^ ) h
et, par suite,
(3) «< =Xo"o+ X,«i + X2«2-4- . . . + X„i?^,,,
attendu que les quantités
Xo. Xl, X2, ..., X;,l
devront être assujetties aux équations de condition
Xo+ Xl + X2 +...+ X„, = r,
a^o Xo -h ^1 X, +.2^2X2 H-. . .-r ^„i X„i=: j:-, :r^.Xo+^?Xi 4-0^^X2 -T-. .. + ^;,,X„-,=:=ic% >
<-iXo+ <-' Xi+ o^r' X2 + . . . + <:}X„,= .r"">.
Si l'on résout ces nouvelles équations par la méthode exposée dans le Chapitre III (§ I), on obtiendra les formules
Xo X,
{X — X^){X — X^) . . .{X — Xnj-\) (^0 — ^1) (-^o — -272). • -(^0 — •^/t-l)
{x — Xq){x — x^). . .{x — .r„i)
( O^l — ^0 ) ( -^1 — J:'2 ) • • . ( ^1 — Xri-\ ) >
en vertu desquelles l'équation (3) se réduit à la formule de Lagrange.
Au reste, la formule de Lagrange est comprise dans une autre plus générale à laquelle on se* trouve conduit, lorsqu'on cherche à déterminer, d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, non plus une fonction entière, mais une fonction rationnelle de la variable x. Concevons, pour fixer les idées, que cette fonction rationnelle doive être de la forme
,-, a + bx -^ cx'--^- . . .-V hx"--'^ ( o ) « =: ^ s 7,
a -h bo; + y o^^ H- . . . + Ôx'"'
Alors les inconnues du problème seront les coefficients
a, b, c, ..., h, oc, 6, y, ..., 6 ou, pour mieux dire, les rapports
dont le nombre est n + m. Il est aisé d'en conclure que la fonction u sera complètement déterminée, si l'on en connaît n -f- m valeurs particulières
correspondantes à n + m valeurs
de la variable x. On arrive encore aux mêmes conclusions, en faisant voir qu'une seconde fonction rationnelle de la forme
ne peut satisfaire aux mêmes conditions que la première, sans lui être identiquement égale. Supposons, en effet, que les fractions (6) et (9) deviennent égales entre elles pour les valeurs particulières de x comprises dans la série (8). L'équation
(a + 6 X 4- . . . + A ^•"-' ) (a' -I- 6'^- + . . . + 9' x'" ) (a'+ b'x + . . .-h h'x"-^){oc + ê ^ -h . . . + 9 x'") =0,
subsistant alors pour n-\-in valeurs de la variable, tandis que son degré reste inférieur à n + m, sera nécessairement une équation identique; d'où il suit (|u'on aura identiquement
a + bx -\- CX- + . . .-\- hx"-'^ a' -\- b' x -\- c' x"^ -\- . . . -\- h' x"^'"^
' " ^ a -+- ê^ + yx'^ + . . .-f- Qx"' ~ "«'+ ê'.-r H- y' x^ + . . . + 6' x'" '
On ne peut donc résoudre que d'une seule manière la question proposée. On la résoudra effectivement en prenant pour valeur générale de u la fraction
\^ ^m-\-\ ) \^ -^w+a ) ■ • • \^ ^ni+n—i ) ,
(, ^0 -^ m + \ )•••(, ■^O ^m + n—\ ) • • • (■^m ^ m-\-\ j • • • \ -^ m '^ in-{-n — \ )
( ^0 -^m ) • • • {-^O •^/n+n—i ) • • • ( •^m — 1 ^m ) • • • {•^m — l ^/ii+ii—l )
dans laquelle le dénominateur doit être remplacé par l'unité, lorsqu'on suppose m=:o, et le numérateur par le produit Mo«i • • • ",>n lorsqu'on suppose nzzzi. Cela posé, on trouvera, pour m r= o,
■ {x — Xi){x — X^). . .{x — X„-i)
(12) 1/ = Uo -. r-, . -, . -f- . . . ;
[Xq — Xi ) [Xq X2 ) • • •{ -^0 -^ n — \ )
pour /?! = 1,
, „, {.-Vq— Xz) {Xq— X3) . . . {Xq— X„) {Xj— X2) {Xj— X3) . . . {Xj— Xn)
( 1 5 ) M = — — zr^
pour /i = I,
//oW,
( '^0 — ■^nt ) ( -^1 ^m ) • • • ( ^iii-\ ^1.
Dans cbacune des formules précédentes, on complétera sans peine le numérateur ou le dénominateur de la fraction qui représente la valeur de u, en ajoutant au premier terme de ce numérateur ou de ce dénominateur tous ceux qu'on peut, en déduire à l'aide d'un ou de plusieurs échanges opérés entre les indices. Par exemple, si l'on suppose en même temps m = i et
nz=z 2, on trouvera, pour la valeur de n complètement développée,
JO — 00 <n OC Ob \ ■'■ " -' "
^0 "i / \7 — ' ; + "o "2 7 TT T + "1 "2
, ., {Xq — x^){a:^ — a;^) ' {x^ — x^) {x^ — x^) - {x^ — x^,) {x^— x^ )
Il est bon de remarquer que la formule (12) est celle de Lagrange, et que pour en déduire la formule (i4) H suffit de remplacer n~i par m, puis de
prendre pour inconnue la fonction -1 supposée entière, au lieu de la fonction u.
CfAirrcs de C. — S. II, t. III. 55
kiï COURS D'ANALYSE.
NOTE YI.
