DES NOMBRES FIGURES

On appelle nombres figurés du premier, du second, du troisième ordre, etc. ceux qui servent de coefficients aux puissances successives de x dans les développements des expressions

(i + j:)--, {i^xY\ {\ + x)-\

Cette définition fournit un moyen facile de les calculer. En eiîet, nous avons prouvé, dans le Chapitre VI (§ IV), qu'on a, pour des valeurs réelles quelconques de ]x et pour des valeurs numériques de x inférieures à l'unité,

[ i\-\- xy-—i+^--x-^ ^Sl^Jj x^ + . . .

Si dans l'équation précédente on pose ii=: — {m-hi), m désignant un nombre entier quelconque, on trouvera

l ( r -i- x\- zn I X H — ^ x^ — . . .

Comme on a d'ailleurs évidemment

il en résulte que l'équation (2) peut s'écrire ainsi qu'il suit :

( I + ^ -'"- ' 5 îi— r,-^ œ

, , , 1 3 . 4 . 5 ...(/?? + 2 ) „ n in -{- V\ . . An -\- ni — i)

f , ( /? + I ) ( « H- 2 ) . . . ( /iH- m ) ,,

Les coefficients numériques des puissances successives de x dans le second membre de cette dernière formule, savoir