PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE

Or, tandis que a diminue, cosa converge vers la limite i : il en sera donc de même a fortiori du rapport ^ toujours compris entre i et

cosa, en sorte qu'on aura

sina

(-) lim =1.

La recherche des limites vers lesquelles convergent les rapports

' > '- étant un des principaux obiets dui.alcul

intinitésimal, nous ne nous y arrêterons pas davantage.

11 nous reste à examiner les valeurs singulières des fonctions de plusieurs variables. Quelquefois ces valeurs sont complètement déterminées et indépendantes des relations que l'on pourrait établir entre les variables. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par

a, 6, ac, y

quatre variables positives, dont les deux premières convergent vers la limite zéro et les deux dernières vers la limite ce, on reconnaîtra sans peine que les expressions

ao, xr, - 1 '^5 y.y, jc-y

JJ o

ont pour limites respectives

o, oc, o, oo, o, 00.

Mais le plus souvent la valeur singulière d'une fonction de plusieurs variables ne peut être entièrement déterminée que dans le cas particulier où, en faisant converger ces variables vers leurs limites respectives, on établit entre elles certaines relations; et, tant que ces relations ne sont pas fixées, la valeur singulière dont il s'agit est une quantité ou totalement indéterminée, ou seulement assujettie à rester comprise entre des limites connues. Ainsi, comme on l'a remarqué plus haut, la valeur singulière à laquelle se réduit le rapport de deux variables infiniment petites, dans le cas où chacune de ces variables s'évanouit, peut être une quantité quelconque finie, nulle ou infinie.

En d'autres termes, cette valeur singulière sera complètement indéterminée. Si, au lieu de deux variables infiniment petites, on considère deux variables infiniment grandes, on trouvera que le rapport de ces dernières, tandis que leurs valeurs numériques croissent indéfiniment, converge encore vers une limite arbitraire, mais positive ou négative, suivant que les deux variables sont de même signe ou de signes contraires. Il est également facile de s'assurer que le produit d'une variable infiniment petite par une variable infiniment grande a pour limite une quantité complètement indéterminée.

Afin de présenter une dernière application des principes qu'on vient d'établir, cberchons quelles valeurs il faut attribuer aux variables X et y pour que la valeur de la fonction

devienne indéterminée. Si l'on désigne par A un nombre supérieur à l'unité, et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on aura évidemment

et, par suite.