PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE II

et leur rapport, savoir

çf^ti-n—-

ii—n

ka"-{i± S.) k i±s k iJz s a

aura évidemment pour limite

-y-i SI I on suppose n' = n, k

o, si l'on suppose «'> n, ± oc, si l'on suppose n'<in.

On prouverait de même que la limite vers laquelle converge le rapport de deux quantités infiniment grandes, tandis que leurs valeurs numériques croissent indéfiniment avec celle d'une même variable x, peut être nulle, finie ou infinie. Seulement, cette limite a un signe déterminé, constamment égal au produit des signes des deux quantités que l'on considère.

Parmi les fractions dont les deux termes convergent avec la variable a vers la limite zéro, on doit placer la suivante

toutes les fois qu'on attribue à la variable x une valeur dans le voisinage de laquelle la fonction /(a;) reste continue. En effet, dans cette

hypothèse, la différence

est une quantité infiniment petite. On peut même remarquer qu'elle est en général un infiniment petit du premier ordre, en sorte que le rapport

converge ordinairement, tandis que la valeur numérique de a diminue,

vers une limite finie différente de zéro. Cette limite sera, par

exemple,

IX, si l'on prend f{x) = xet

Tj.» si I on prend f{x)^i~-

OKnvres de C, S. M, t, UI. Q

Dans le cas particulier où l'on suppose x — o, le rapport

/( .a? + ot ) — /( .X )

se réduit à cet autre

Parmi les rapports de cette dernière espèce, nous nous bornerons ici

à considérer le suivant

sina a

Comme il peut être mis sous la forme

sin( —a)

sa limite restera la même, quel que soit le signe de a. Cela posé, concevons que l'arc a reçoive une valeur positive très petite. La corde de l'arc double 2a étant représentée par 2 sina, on aura évidemment

2 a >- 2 sin a et, par suite,

a > sina.

De plus, la somme des tangentes menées aux extrémités de l'arc 2a étant représentée par 2tanga, et formant une portion de polygone qui enveloppe cet arc, on aura encore 2tanga>2a et, par conséquent,

langa > a.

En réunissant les deux formules qu'on vient d'établir, on trouvera

sin« < a < tanga;

puis, en remettant pour tanga sa valeur,

sina sma < a <

cosa

e(, par suite,

sina cosa

sina

I > > cosa.